Cuando alguien pone por escrito una ecuación, no hay un repentino trueno tras el cual todo es diferente. La mayoría de las ecuaciones tiene poco o ningún efecto (yo las pongo por escrito todo el rato, y créeme, lo sé). Pero incluso las mejores y más influyentes ecuaciones necesitan ayuda para cambiar el mundo: modos eficientes de resolverlas, gente con la imaginación y el instinto para explotar lo que nos quieren decir, mecanismos, recursos, materiales, dinero. Teniendo esto en mente, las ecuaciones han establecido repetidamente nuevas direcciones para la humanidad, y actuado como nuestras guías a medida que las exploramos.
Se necesitaron más que diecisiete ecuaciones para llevarnos a donde estamos en la actualidad. Mi lista es una selección de algunas de las más influyentes, y cada una de ellas requiere de un montón de otras antes de pasar a ser útil en serio. Pero cada una de las diecisiete enteramente merece la inclusión, porque desempeñó un papel fundamental en la historia. Pitágoras llevó a métodos prácticos para medir nuestras tierras y hacernos camino hacia otras nuevas. Newton nos dijo cómo se mueven los planetas y cómo enviar sondas espaciales para explorarlos. Maxwell proporcionó una pista vital que llevó a la radio, televisión y las comunicaciones modernas. Shannon obtuvo límites inevitables de cómo de eficientes pueden ser esas comunicaciones.
Con frecuencia, a lo que nos condujo una ecuación ha sido bastante diferente con respecto a lo que interesaba a su inventor/descubridor. ¿Quién habría predicho en el siglo XV que un número desconcertante, y aparentemente imposible, con el que nos tropezamos mientras resolvíamos problemas de álgebra estaría indeleblemente vinculado al mundo, todavía más desconcertante y aparentemente imposible, de la física cuántica —dejando de lado que esto pavimentaría el camino a instrumentos milagrosos que pueden resolver un millón de problemas de álgebra cada segundo, y permitiéndonos instantáneamente ser vistos y oídos por amigos al otro lado del planeta—? ¿Cómo habría reaccionado Fourier si se le hubiese dicho que su nuevo método para estudiar el flujo del calor se convertiría en máquina del tamaño de una baraja, capaz de pintar imágenes de un modo extraordinariamente preciso y detallado de cualquier cosa a la que esté apuntando, en color, incluso en movimiento, con miles de ellas contenidas en algo del tamaño de una moneda?
Las ecuaciones desencadenaron sucesos, y los sucesos, parafraseando al ex primer ministro británico Harold Macmillan, son los que nos dejan dormir por la noche. Cuando se libera una ecuación revolucionaria, desarrolla una vida propia. Las consecuencias pueden ser buenas o malas, incluso cuando la intención original era benevolente, como lo era para todo el mundo de mis diecisiete ecuaciones. La nueva física de Einstein nos dio un nuevo entendimiento del mundo, pero una de las cosas para las que la usamos fue para las armas nucleares. No tan directamente como reclama el mito popular, pero, no obstante, jugó su parte. La ecuación de Black-Scholes creó un sector financiero vibrante y luego amenazó con destruirlo. Las ecuaciones son lo que hacemos de ellas, y el mundo puede cambiarse para lo peor, del mismo modo que para lo mejor.
Hay muchos tipos de ecuaciones. Algunas son verdades matemáticas, tautologías; piensa en los logaritmos neperianos. Pero las tautologías todavía pueden ser ayudas potentes para el pensamiento y acción humana. Algunas son afirmaciones sobre el mundo físico, que según lo que sabemos podrían haber sido diferentes. Las ecuaciones de este tipo nos hablan de las leyes de la naturaleza, y al resolverlas nos dicen las consecuencias de dichas leyes. Algunas tienen ambos elementos: la ecuación del teorema de Pitágoras es un teorema en la geometría euclidiana, pero también gobierna las mediciones hechas por los topógrafos y los navegantes. Algunas son poco más que las definiciones, pero i y la información nos dicen mucho una vez que las hemos definido.
Algunas ecuaciones son universalmente válidas. Algunas describen el mundo muy exactamente, pero no perfectamente. Algunas son menos precisas, confinadas a reinos más limitados, aunque ofrecen un entendimiento vital. Algunas son básicamente erróneas sin más, aunque pueden actuar como peldaños hacia algo mejor. Todavía podrían tener un efecto enorme.
Algunas incluso desvelan cuestiones difíciles, de naturaleza filosófica, sobre el mundo en que vivimos y nuestro lugar en él. El problema de las mediciones cuánticas, escenificadas por el desafortunado gato de Schrödinger, es una de ellas. La segunda ley de la termodinámica presenta temas profundos sobre el desorden y la flecha del tiempo. En ambos casos, algunas de las paradojas aparentes pueden ser resueltas, en parte, pensando menos en el contenido de la ecuación y más en el contexto en el que se aplica. No en los símbolos, sino en las condiciones de contorno. La flecha del tiempo no es un problema sobre la entropía; es un problema sobre el contexto en el cual pensamos en la entropía.
Las ecuaciones existentes pueden adquirir una nueva importancia. La búsqueda de la energía de fusión, como una alternativa limpia a la energía nuclear y los combustibles fósiles, requiere una comprensión de cómo un gas extremadamente caliente, formando un plasma, se mueve en un campo magnético. Los átomos del gas pierden electrones y pasan a estar eléctricamente cargados. De modo que es un problema en la magnetohidrodinámica, y se necesita una combinación de las ecuaciones existentes para fluidos y para electromagnetismo. La combinación llega a un nuevo fenómeno, sugiriendo cómo mantener el plasma estable a la temperatura necesaria para que se produzca la fusión. Las ecuaciones son viejas favoritas.
Hay (o podría haber) una ecuación, sobre todas, por la que los físicos y los cosmólogos darían su brazo derecho por ponerle las manos encima: una Teoría del Todo, la cual en la época de Einstein era llamada una teoría del campo unificado. Esta es la ecuación largamente buscada que unifica la mecánica cuántica y la relatividad, y Einstein pasó sus últimos años en una búsqueda sin frutos para encontrarla. Estas dos teorías son exitosas, pero sus éxitos suceden en dominios diferentes: el muy pequeño y el muy grande. Cuando se solapan, son incompatibles. Por ejemplo, la mecánica cuántica es lineal, la relatividad no lo es. Se busca una ecuación que explique por qué ambas son tan exitosas, pero que haga el trabajo de ambas sin inconsistencias lógicas. Hay muchas candidatas a la teoría del todo, la más conocida es la teoría de supercuerdas. Esta, entre otras cosas, introduce dimensiones extra del espacio; seis (siete en algunas versiones). Las supercuerdas son matemáticamente elegantes, pero no hay pruebas convincentes para ellas como una descripción de la naturaleza. En cualquier caso, es desesperadamente difícil llevar a cabo los cálculos necesarios para extraer predicciones cuantitativas a partir de la teoría de supercuerdas.
Hasta donde sabemos, podría no haber una teoría del todo. Todas nuestras ecuaciones para el mundo físico podrían ser solo modelos demasiado simplificados, que describen reinos de la naturaleza limitados en un modo que podemos comprender, pero no capturar la estructura profunda de la realidad. Incluso si la naturaleza realmente obedece leyes rígidas, podrían no ser ecuaciones expresables.
Incluso si las ecuaciones son relevantes, no necesariamente son simples. Podrían ser tan complicadas que no podamos ni siquiera escribirlas. Los 3.000 millones de bases del ADN del genoma humano son, en cierto sentido, parte de la ecuación para el ser humano. Son parámetros que podrían insertarse en una ecuación más general para el desarrollo biológico. Es (apenas) posible imprimir el genoma en papel, necesitaríamos alrededor de dos mil libros del tamaño de este. Pero cabe en la memoria de un ordenador bastante fácilmente. Sin embargo, es solo una parte diminuta de una hipotética ecuación humana.
Cuando las ecuaciones se hacen complejas, necesitamos ayuda. Los ordenadores ya están extrayendo ecuaciones a partir de grandes conjuntos de datos, en circunstancias donde los métodos humanos habituales fracasan o son demasiado opacos para ser útiles. Una nueva aproximación llamada computación evolutiva extrae patrones significativos: específicamente fórmulas para cantidades que se conservan, cosas que no cambian. Uno de dichos sistemas llamado Eureqa, formulado por Michael Schmidt y Hod Lipson, ha alcanzado cierto éxito. Software como este podría ayudar. O podría no llevar a ningún sitio que realmente importe.
Algunos científicos, especialmente aquellos con formación en computación, creen que es el momento de que abandonemos las ecuaciones tradicionales, especialmente las continuas como las ecuaciones ordinarias o en derivadas parciales. El futuro es discreto, se presenta en números enteros, y las ecuaciones deberían dar paso a los algoritmos, recetas para calcular cosas. En lugar de resolver ecuaciones, deberíamos simular el mundo digitalmente ejecutando los algoritmos. De hecho, el propio mundo podría ser digital. Stephen Wolfram defendió esta visión en su polémico libro A New Kind of Science (Un nuevo tipo de ciencia), que aboga por un tipo de sistema complejo llamado un autómata celular. Esto es una matriz de células, habitualmente pequeños cuadrados, cada uno existiendo en una variedad de estados distintos. Las células interactúan con sus células vecinas según unas reglas fijadas. Se parece un poco a un juego de ordenador de los ochenta con bloques de colores persiguiéndose unos a otros por la pantalla.
Wolfram expone varias razones por las que los autómatas celulares deberían ser superiores a las ecuaciones matemáticas tradicionales. En concreto, algunos de ellos pueden llevar a cabo cualquier cálculo que pueda realizarse con un ordenador, siendo el más simple el famoso autómata Regla 110. Este puede encontrar dígitos sucesivos de r, resolver ecuaciones del problema de tres cuerpos numéricamente, implementar la fórmula de Black-Scholes para una opción de compra, lo que sea. Los métodos tradicionales para resolver ecuaciones son más limitados. Yo no encuentro este argumento demasiado convincente, porque es también cierto que cualquier autómata celular puede simularse por un sistema dinámico tradicional. Lo que cuenta no es si un sistema matemático puede simular a otro, sino cuál es más efectivo para resolver problemas o proporcionar algún entendimiento. Es más rápido sumar una serie tradicional para r a mano de lo que es calcular el mismo número de dígitos usando el autómata Regla 110.
Sin embargo, es todavía totalmente creíble que podríamos pronto encontrar nuevas leyes de la naturaleza basadas en estructuras y sistemas digitales discretos. El futuro quizá consista en algoritmos, no ecuaciones. Pero hasta que esa época comience, si lo hace, nuestro mayor entendimiento de las leyes de la naturaleza tiene la forma de ecuaciones, y deberíamos aprender a comprenderlas y apreciarlas. Las ecuaciones tienen una trayectoria. Realmente han cambiado el mundo, y lo cambiarán de nuevo.