71. El hotel Tropicana

Dibujemos la secuencia de apertura (a) y cierre (c) de las puertas del siguiente modo:

1. c

2. ca

3. c_a

4. cac

…

Las puertas que quedan cerradas son las que se cierran y abren un número impar de veces.

Hay que recordar la propiedad matemática de que los divisores de los números naturales tienen un divisor complementario (por ejemplo, 16 tiene el 8 y el 2), excepto los cuadrados perfectos, cuya raíz cuadrada no tiene divisor complementario porque es él mismo (por ejemplo, 16 tiene también 4 y 4). Por lo tanto, las puertas que quedarán cerradas son cuadrados perfectos.

La solución se ve inverosímil, pero es absolutamente cierta. Se puede probar iterando con Excel.