Anhang

16.1    Wichtige mathematische Begriffe und Sätze

In diesem Abschnitt finden Sie wichtige mathematische Begriffe und Sätze kurz zusammengefasst. Damit sie anschaulicher und einfacher werden, verzichte ich auf die sonst übliche formale mathematische Strenge.

16.1.1    Grundlegende Begriffe der Mathematik

• Funktion

  Eine Funktion f ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Wert x aus einer Definitionsmenge D_f einen Wert y aus der Wertemenge W_f zuweist.

  Jedes Element x der Definitionsmenge D_f heißt Argument von f. Das dem Argument x zugeordnete Element y aus der Wertemenge W_f heißt Funktionswert y = f(x). Der Term f(x) heißt Funktionsterm, die Gleichung y = f(x) Funktionsgleichung der Funktion f [Kammermeyer: 11].

• Grenzwert

  Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert g, wenn für jede Umgebung um g herum gilt, dass fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder innerhalb dieser Umgebung liegen.

  Der Grenzwert einer unendlichen Reihe ist identisch mit ihrer Summe.

  Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist derjenige Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert.

• Stetigkeit
  Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Funktionsgraph in einem Linienzug ohne Lücken und Sprünge gezeichnet werden kann [vgl. Maas: 66].

• Differenzialquotient
  Der Differenzialquotient ƒ'(x₀) gibt die Steigung einer Tangente an der Stelle x₀ der Funktion ƒ(x) an.

• Bestimmtes Integral
  Mit dem bestimmten Integral kann der Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen G_f und der x-Achse im Abschnitt a bis b der x-Achse berechnet werden.

• Unbestimmtes Integral

  Das unbestimmte Integral gibt für eine Funktion ƒ die Menge aller Stammfunktionen F an:

  

16.1.2    Wichtige Sätze der Mathematik

In der Mathematik müssen Sätze widerspruchsfrei sein und logisch korrekt aufeinander aufbauen. Ein Satz ist wahr, wenn er mit einem Beweis belegt werden kann, also wenn er aus feststehenden Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

• Satz des Thales
  Alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke sind rechtwinklig.

• Satz des Pythagoras

  

  Abbildung 16.1     Rechtwinkliges Dreieck mit Thales-Kreis

  In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

  

• Höhensatz

  

• Kathetensatz

  

• Satz des Heron

  Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:

  

  mit:

  

• Kosinussatz

  

• Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
  Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder selbst eine Primzahl oder ist ein Produkt von Primzahlen [Beutelspacher15: 20].

• Satz von Euler

  Für zwei teilerfremde Zahlen gilt:

  Die eulersche φ(n)-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der natürlichen Zahlen von 1 bis n zu, die zu n teilerfremd sind.

  n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  φ(n)	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4

• Fundamentalsatz der Algebra
  Im Bereich der komplexen Zahlen hat jedes Polynom n-ten Grades n Nullstellen.

• Nullstellensatz von Bolzano
  Eine stetige Funktion ƒ hat in dem Intervall [a,b] mindestens eine Nullstelle, wenn gilt ƒ(a) < 0 und ƒ(b) > 0 (oder auch ƒ(a) > 0 und ƒ(b) < 0) [Heuser: 223].

• Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

  Die Operationen von Differenziation und Integration verhalten sich invers zueinander. Jede differenzierbare Funktion ƒ(x) hat eine Stammfunktion F(x). Es gilt:

  

  Für den Flächeninhalt A_ab zwischen dem Graphen einer stetigen Funktion ƒ(x) und der x-Achse gilt im Intervall [a,b]: