La Teoria delle probabilità non è altro
che buon senso ridotto a calcolo.
(Pierre-Simon de Laplace)
In Matematica viene definito Calcolo delle probabilità il complesso di regole e di procedimenti con i quali si riesce ad avere informazioni utili, in merito al verificarsi di determinati eventi, il cui esito è legato al caso.
L’evolversi di questa disciplina ha consentito, negli ultimi tre secoli, non solo di affrontare con maggiore consapevolezza molti problemi pratici, ma soprattutto di ampliare in maniera determinante i confini di diversi campi del sapere umano, dalla Fisica alla Biologia, dalla Chimica alla Psicologia, dalla Geologia alla Sociologia.
I primi concetti del Calcolo delle probabilità sono stati elaborati da alcuni sommi scienziati (come Gerolamo Cardano, Galileo Galilei e Blaise Pascal), analizzando alcune questioni relative al lancio dei dadi. In generale, infatti, le regole e gli strumenti dei giochi aleatori, essendo sintetici e lineari, si prestano a essere facilmente interpretati mediante un modello matematico schematico e funzionale.
Per acquistare confidenza con questa importante branca della Matematica, è necessario chiarire i fondamentali concetti di probabilità e di frequenza, su cui si basa.
• Probabilità di un evento: è un valore teorico, potenzialmente ricavabile con diversi procedimenti; corrisponde a una stima, formulata a priori, della possibilità che un determinato evento ha di verificarsi.
Secondo la definizione più antica (detta classica), la probabilità di un determinato evento è uguale alla quantità dei casi favorevoli a quell’evento, diviso la quantità di tutti i casi possibili (a condizione che questi siano tutti ugualmente possibili).
Ad esempio, se si vuole determinare la probabilità di ottenere testa, lanciando una moneta una sola volta, bisogna considerare che:
– c’è un solo caso favorevole (la faccia con testa);
– ci sono due casi possibili, tutti ugualmente possibili (le due facce della moneta).
Il valore della probabilità richiesta, quindi, è uguale a: 1/2 = 0,5.
Indipendentemente dal metodo usato per ricavarlo, il valore di una probabilità viene espresso mediante un numero decimale compreso tra 0 e 1. Ovviamente, più è grande questo valore, maggiore è il grado di fiducia che si ripone nel verificarsi dell’evento in questione.
• Frequenza di un evento: è un valore pratico, che si ricava al termine di un’apposita sperimentazione; corrisponde al valore che si ottiene effettuando una divisione tra la quantità di volte in cui un determinato evento si è verificato e la quantità totale di prove effettuate.
Ad esempio, se dopo aver lanciato una moneta 100 volte, si rileva che la testa è uscita 50 volte, si può affermare che la frequenza di uscita di testa è uguale a: 50/100 = 1/2 = 0,5.
Siccome il numero di successi ottenuti non può essere superiore a quello delle prove effettuate, anche il valore di una frequenza corrisponde a un numero decimale compreso tra 0 e 1.
• Mentre, in relazione a un determinato evento, il valore della probabilità corrisponde a un numero fisso (ricavato mediante un calcolo matematico), quello della frequenza cambia al variare della quantità di prove effettuate e di quella dei successi ottenuti. In definitiva, quando si calcola la probabilità di un evento, si cerca di valutare a priori la frequenza che si potrebbe ottenere, effettuando un considerevole numero di prove.
• L’esistenza di uno stretto legame tra i concetti di probabilità e frequenza è sancita dalla cosiddetta Legge dei grandi numeri, enunciata per la prima volta, verso i primi del ’700, dal matematico francese Jakob Bernoulli.
Questo fondamentale teorema matematico afferma sostanzialmente che quanto più è alta la quantità di prove effettuate (al limite, infinita), tanto più la frequenza di un determinato evento tende alla relativa probabilità.
Il Calcolo delle probabilità consente di ottenere risultati estremamente utili, in innumerevoli campi di applicazione. È bene tener presente, però, che si tratta della branca Matematica dove è più facile essere tratti in errore. Utilizzando i suoi strumenti, può capitare non solo di ottenere una soluzione falsa e ritenerla vera, ma anche di ottenerne una vera e considerarla falsa. Spesso, infatti, le conclusioni a cui porta appaiono inattendibili, anche dopo aver esaminato con attenzione una loro rigorosa dimostrazione.
L’inganno in cui si cade più frequentemente riguarda il conteggio dei casi favorevoli a un determinato evento e di tutti quelli possibili. Anche perché non sempre un’operazione del genere può essere compiuta in maniera diretta (come è stato possibile fare nei semplici esempi finora proposti), soprattutto se la quantità degli elementi a disposizione diventa troppo elevata.
Questa insidiosa caratteristica del Calcolo delle probabilità può essere messa in evidenza, in maniera divertente, confezionando dei sorprendenti paradossi. Piuttosto intrigante, ad esempio, è il gioco di prestigio che può essere effettuato, con le seguenti modalità.
1. Prendete un mazzo di 40 carte e mescolatelo più volte.
2. Togliete le prime due carte che si trovano in cima al mazzo e ponetele scoperte sul tavolo.
3. Dichiarate al vostro pubblico che queste due carte sono in grado di fornire delle indicazioni in merito ad altre due, a esse collegabili.
4. Osservate i valori delle due carte e sottraete ognuno di loro dal numero 11 (ad esempio, se sono stati estratti un 5 e un 7, dovete calcolare: 11–5 = 6 e 11–7 = 4).
5. Annunciate che, tra le prime carte del mazzo rimanente, ci sarà molto probabilmente almeno una carta di uno dei due valori così ricavati (nel nostro caso: almeno un 6 o un 4).
6. Prendete il mazzo e scoprite le sue prime tre carte: la vostra previsione si avvererà, con buona probabilità.
7. Se ciò non dovesse accadere, dichiarate che nessuna delle due carte attese è uscita, perché queste sono rimaste intrappolate all’interno del mazzo, agganciate l’una all’altra.
8. Sfogliate lentamente le carte del mazzo e, con una discreta probabilità, avrete modo di verificare che, al suo interno, se ne trovano effettivamente due contigue, con i valori indicati.
L’esecuzione di questo gioco risulta piuttosto sorprendente, in quanto la probabilità che si verifichi una delle due situazioni pronosticate è sensibilmente più alta di quella che si tenderebbe a ipotizzare. In particolare, si può calcolare che questa arriva complessivamente all’83%; in pratica, il gioco funziona, in media, almeno 8 volte su 10.
Per giustificare un tale valore, servono delle nozioni più complesse di quelle esposte finora. A titolo indicativo, comunque, qui di seguito viene messo in luce come anche solo il semplice calcolo dei casi favorevoli ai due eventi possa fornire risultati diversi da quelli intuitivi.
• Nella prima fase del gioco, ci sono 8 carte che consentono di realizzare l’evento annunciato; infatti, ciascuno dei 2 valori determinati deve essere associato a ognuno dei possibili 4 semi delle carte. In dettaglio, rappresentando con X e Y due diversi valori, le 8 carte in questione possono essere così indicate (b = bastoni, c = coppe, d = denari, s = spade):
Xb – Xc – Xd – Xs
Yb – Yc – Yd – Ys
• Nella seconda fase del gioco, sono 32 le coppie di carte che consentono di realizzare l’evento annunciato. In questo caso, bisogna considerare che ognuna delle precedenti 8 carte, di un determinato valore, deve essere accoppiata con una delle 4 carte dell’altro valore. In dettaglio, mantenendo il simbolismo precedente, le 32 coppie di carte in questione possono essere così indicate:
XbYb – XcYb – XdYb – XsYb
XbYc – XcYc – XdYc – XsYc
XbYd – XcYd – XdYd – XsYd
XbYs – XcYs – XdYs – XsYs
YbXb – YcXb – YdXb – YsXb
YbXc – YcXc – YdXc – YsXc
YbXd – YcXd – YdXd – YsXd
YbXs – YcXs – YdXs – YsXs
È interessante notare che l’espediente di sottrarre da 11 ognuno dei due valori scoperti all’inizio, oltre a donare una spruzzatina di esoterismo all’esibizione, serve a garantire che nessuno dei due valori così determinati coincida con uno dei due iniziali; altrimenti, i casi favorevoli alla riuscita della prima fase del gioco non sarebbero più 8.
Ad esempio, se dopo aver girato un 5 e un 7, si annunciasse l’estrazione di un 5 e di un’altra qualsiasi carta (diversa da un 5 e da un 7), i casi favorevoli all’evento scenderebbero a 7, perché i 5 presenti nel mazzo sarebbero solo 3.
Analogamente, se dopo aver girato un 5 e un 7, si annunciasse l’estrazione proprio di un 5 e di un 7, i casi favorevoli all’evento scenderebbero a 6, perché nel mazzo ci sarebbero un 5 e un 7 di meno.
Ovviamente, il gioco avrebbe ancora meno probabilità di riuscire se all’inizio venissero scoperte 2 carte dello stesso valore. In una tale eventualità, infatti, ci sarebbero solo 4 casi favorevoli, corrispondenti a quell’unico valore, per ognuno dei 4 possibili semi. In un caso del genere, quindi, conviene ripetere l’operazione iniziale, adducendo una scusa qualsiasi...
I risultati erronei, derivabili da un’incauta applicazione del Calcolo delle probabilità, sono sicuramente in grado di generare delle situazioni divertenti, ma possono avere anche delle implicazioni piuttosto drammatiche.
A causa del massiccio proliferare di nuove forme legali di gioco d’azzardo, a cui si sta assistendo da diversi anni in Italia, le cronache registrano con sempre maggiore frequenza casi di persone che finiscono per rovinarsi completamente, praticando ossessivamente questo genere di allettanti passatempi, apparentemente innocui. È sconcertante notare, però, come molti di quei mezzi di informazione che denunciano tali drammatici episodi non rifuggano dalla tentazione di dispensare, in apposite rubriche, inconsistenti consigli per arricchirsi matematicamente al gioco. È, infatti, proprio la fiducia posta nei sedicenti metodi sicuri per vincere la causa principale delle perdite in denaro più cospicue.
La maggioranza di tali sistemi (che interpreta erroneamente la Legge dei grandi numeri) si basa sulla falsa convinzione che, col trascorrere del tempo, tutti gli eventi legati a una determinata situazione siano destinati a realizzarsi una stessa quantità di volte; per cui, più uno di questi tarda a manifestarsi, più cresce, per compensazione, la sua probabilità di verificarsi nell’immediato futuro.
La validità del teorema di Bernoulli, però, non implica che un eventuale scarto dal valore atteso, riscontrato nell’effettuazione dei primi tentativi, debba necessariamente essere compensato da quelli successivi (anche se ciò può sembrare una contraddizione). In realtà, ogni risultato fa storia a sé. La convergenza tra frequenza e probabilità è garantita semplicemente dal fatto che, con l’aumentare del numero di tentativi effettuati, l’incidenza di un eventuale scarto dal valore atteso diventa sempre più trascurabile (anche se può non estinguersi del tutto).
Si immagini, ad esempio, di aver eseguito una lunghissima serie di lanci di una moneta e di aver ottenuto i risultati riportati nella seguente tabella.
Numero |
Teste uscite |
Teste attese |
Scarto tra |
Frequenza delle teste |
10 |
4 |
5 |
1 |
0,4 |
100 |
45 |
50 |
5 |
0,45 |
1.000 |
475 |
500 |
25 |
0,475 |
10.000 |
4.875 |
5.000 |
125 |
0,4875 |
100.000 |
49.375 |
50.000 |
625 |
0,49375 |
1.000.000 |
496.875 |
500.000 |
3.125 |
0,496875 |
Come si può notare, mentre la frequenza di uscita delle teste si avvicina sempre di più al valore 0,5 della relativa probabilità, lo scarto tra i valori attesi e quelli effettivamente usciti non si compensa, ma anzi cresce in maniera esponenziale.
In definitiva, l’unica cosa che la Matematica può fare, nei confronti delle aspettative di una vincita sicura, è dimostrare quanto siano illusorie le aspettative di una vincita sicura...
D’altra parte, se esistesse realmente un sistema per vincere con certezza, tutti i biscazzieri del mondo (e non solo il nostro Ministero delle Finanze...) avrebbero dichiarato fallimento da tempo.
Al di là di qualsiasi considerazione matematica, una tale semplice riflessione dovrebbe bastare da sola a liquidare la questione...