6.

Strategie ottimali

Nessuno può vincere,

senza che un altro perda.

(Seneca)

Ogni giorno ci troviamo a prendere una quantità di decisioni di vario genere. Molte di queste riguardano questioni di poco conto, non destinate ad avere un’influenza determinante sulla nostra esistenza o su quella di qualche altro individuo. Non di rado, però, ci capita di assumere decisioni molto più importanti. In casi del genere, il compito che ci attende è alquanto delicato, soprattutto se le conseguenze di una scelta sbagliata possono essere piuttosto gravi (anche se, a volte, riusciamo a valutare solo in seguito l’incidenza di alcune decisioni...).

In ogni caso, indipendentemente dalla rilevanza della scelta, ogni processo decisionale presenta un grado di analisi che può essere più o meno complesso. Le cose si complicano notevolmente quando gli esiti delle decisioni da prendere non dipendono solo dalle nostre scelte, ma anche da quelle di altre persone. Questo particolare genere di problematiche viene studiato da una branca della Matematica detta Teoria dei giochi, che analizza situazioni di potenziale contrapposizione tra due o più individui e che, tramite l’esame di opportuni modelli, cerca di determinare i comportamenti ottimali (competitivi o cooperativi) da assumere. La nascita di questa disciplina coincide con la pubblicazione del libro Theory of Games and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern, avvenuta nel 1944. Lo studioso più famoso che se ne è occupato successivamente è il matematico statunitense John Nash, alla cui singolare figura è stato dedicato il film di Ron Howard A Beautiful Mind.

Nella loro opera, Von Neumann e Morgenstern affermarono, in maniera innovativa, che tutte le problematiche relative ai comportamenti di conflitto sono affrontabili con gli stessi strumenti matematici ricavabili dall’analisi dei giochi di competizione tra due contendenti.

La Teoria dei giochi è in grado di fornire indicazioni molto utili a livello sociale, economico, militare e politico; ma si occupa anche di analizzare i comportamenti più razionali da tenere, nel campo dei... giochi di puro e semplice divertimento. In particolare, un suo fondamentale teorema afferma che, se un gioco di competizione tra due contendenti possiede le seguenti caratteristiche:

• ogni sua partita termina dopo un numero finito di mosse;

• entrambi i giocatori, a ogni istante, conoscono la disposizione completa del materiale di gioco;

• l’effettuazione di ogni singola mossa non dipende dal caso, ma è affidata alla libera scelta del giocatore che la compie;

allora, per un gioco del genere (che viene detto determinato), è possibile sicuramente individuare una strategia ottimale che può essere:

– vincente, se consente a uno dei due giocatori di conseguire la vittoria, contro ogni possibile difesa dell’avversario;

– pattante, se consente a uno dei due giocatori di imporre il pareggio all’avversario, contro ogni sua possibile difesa.

Ovviamente, un gioco determinato che non prevede il risultato di parità (o patta) ammette solo una strategia vincente per uno (e uno solo...) dei due giocatori.

La garanzia dell’esistenza di una strategia ottimale non fornisce, però, alcuna informazione sulla sua struttura. Esistono molti giochi (come gli scacchi e la dama) che, pur essendo determinati, continuano ad appassionare milioni di persone in tutto il mondo proprio perché le loro strategie ottimali non sono state ancora trovate (anche se si ha la certezza matematica della loro esistenza).

Per poter applicare, in pratica, una strategia vincente bisogna essere in grado di riconoscere quali configurazioni, ottenibili nel corso di una partita, debbano considerarsi vincenti e quali perdenti, secondo le seguenti definizioni:

– una configurazione è detta vincente se determina la vittoria immediata del giocatore di turno o se gli consente di effettuare almeno una mossa che generi una configurazione sfavorevole all’avversario;

– una configurazione è detta perdente se determina la sconfitta immediata del giocatore di turno o se gli consente di effettuare solo mosse che generino configurazioni favorevoli all’avversario.

Lo schema seguente mette in evidenza le connessioni esistenti tra i due diversi insiemi di configurazioni (dove V = vincenti e P = perdenti).

Come si può notare:

– da una configurazione vincente è possibile generare sia configurazioni perdenti sia vincenti;

– da una configurazione perdente è possibile generare solo configurazioni vincenti.

Di conseguenza, per un giocatore che parte da una configurazione vincente, l’esecuzione corretta di una strategia vincente consiste nel compiere sempre e solo mosse che generino configurazioni perdenti per l’avversario. Costituirebbe per lui un errore fatale l’effettuazione di una mossa che portasse l’avversario in una configurazione vincente (cosa sempre possibile, in teoria).

Un giocatore che parte da una configurazione perdente, invece, può solo generare configurazioni vincenti per l’avversario; quindi, la sua unica possibilità di ribaltare la situazione è affidata alla speranza che l’altro commetta un errore.

A titolo di esempio, prendiamo in considerazione il seguente semplice gioco di strategia, per due contendenti.

1. Si ha a disposizione una tavoletta di cioccolato, analoga a quella qui sotto raffigurata, il cui primo quadretto in alto a sinistra (contrassegnato da una A) contiene un pezzetto d’aglio.

A
A
A
A
A

2. Il giocatore di turno spezza la tavoletta in due parti, lungo una qualsiasi linea di divisione dei quadretti; effettuata tale operazione, tiene per sé una delle due parti e consegna l’altra all’avversario, il quale deve proseguire la suddivisione, con le stesse modalità.

3. Perde chi è costretto a prendere il quadratino con l’aglio.

Esiste una strategia che può consentire di vincere con sicurezza, a chi inizia a giocare per primo?

Per prima cosa, si può osservare che chi riceve un pezzo di cioccolato di forma rettangolare, con il lato minore uguale a quello di un solo quadretto, ha la possibilità di vincere immediatamente, isolando con un’unica mossa il quadretto all’aglio e consegnandolo all’avversario.

Se ne deduce che, per sconfiggere l’avversario, bisogna indurlo a generare, prima o poi, un pezzo di tale forma.

A tale riguardo, è fondamentale notare che, se si divide un quadrato, si possono solo ottenere dei rettangoli; mentre, se si divide un rettangolo, è sempre possibile ottenere un quadrato.

Di conseguenza, la strategia vincente di questo gioco consiste nel lasciare all’avversario, a ogni mossa, una porzione di forma quadrata (configurazione perdente), in modo che questo ne possa generare solo una di forma rettangolare (configurazione vincente).

In definitiva, il giocatore che ha l’opportunità di muovere per primo può impostare subito una tale strategia, se spezza la tavoletta, in modo da consegnare all’avversario una porzione di forma quadrata, come indicato nella seguente figura.

A
A
A
A
A

Un altro semplice esempio di gioco determinato può essere descritto con le seguenti regole.

1. Si mettono sul tavolo, in ordine sparso, 15 fiammiferi.

2. Dopo aver stabilito a chi spetta la prima mossa, ogni giocatore, al proprio turno, deve togliere un numero di fiammiferi compreso tra 1 e 4, a sua scelta.

3. Perde chi è costretto a prendere l’ultimo fiammifero.

Per prima cosa, si può notare che questo gioco non ammette un risultato di pareggio, per cui la sua strategia ottimale è, più precisamente, vincente.

Per individuare tale strategia, il sistema migliore è quello di partire dalla configurazione finale e procedere a ritroso fino a ritornare a quella iniziale.

A questo scopo (denominando le configurazioni in base al numero di fiammiferi da cui sono composte), si può cominciare a osservare che:

• 0 è vincente, perché l’ultimo fiammifero è stato tolto dal giocatore che ha appena effettuato la mossa e, quindi, chi è adesso di turno ha vinto la partita.

• 1 è perdente, perché il giocatore di turno non può far altro che prelevare l’unico fiammifero rimasto.

• 2, 3, 4, 5 sono vincenti, perché il giocatore di turno ha la possibilità di effettuare una mossa che lasci a tavola un solo fiammifero.

• 6 è perdente perché, il giocatore di turno, qualsiasi mossa faccia, non può fare a meno di porgere all’avversario una configurazione vincente (2, 3, 4, o 5).

Proseguendo con questo ragionamento, non è difficile costruire la seguente tabella, nella quale, in corrispondenza di ogni possibile configurazione, è riportata la relativa caratteristica (P = perdente ; V = vincente) e la quantità di fiammiferi che bisogna togliere per effettuare la mossa giusta.

Config.	Caratt.	Mossa
0	V	0
1	P	–
2	V	1
3	V	2
4	V	3
5	V	4
6	P	–
7	V	1
8	V	2
9	V	3
10	V	4
11	P	–
12	V	1
13	V	2
14	V	3
15	V	4

Sintetizzando le indicazioni riportate nella tabella, si può enunciare la seguente semplice strategia:

• per vincere, bisogna prelevare un numero di fiammiferi tale che sul tavolo ne restino o 11 o 6 o 1.

Se non è possibile effettuare una mossa del genere, vuol dire che la configurazione che si ha di fronte è perdente e che, quindi, non si ha alcun modo per influire direttamente su un esito vittorioso della partita (si può solo sperare che l’avversario, al proprio turno, compia una mossa sbagliata...).

Osservando il prospetto precedente, si può notare, in particolare, che il giocatore a cui spetta la prima mossa ha la possibilità di vincere la partita, in quanto la configurazione di partenza (15 fiammiferi sul tavolo) è vincente.