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G. LudykRelativitätstheorie nur mit Matrizenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-60658-2_1

1. Spezielle Relativitätstheorie

Günter Ludyk1  
(1)
Physics and Electrical Engineering, University of Bremen, Bremen, Deutschland
 
 
Günter Ludyk
Email: guenter.ludyk@nord-com.net

Das Kapitel beginnt mit den klassischen Sätzen von Gallilei und Newton und der Galilei-Transformation. Die Spezielle Relativitätstheorie, von Einstein 1905 entwickelt, führt zur vierdimensionalen Raumzeit von Minkowski und der Lorentz-Transformation. Danach wird die Relativität von gleichzeitigen Ereignissen, die Längenkontraktion von bewegten Körpern und die Zeitdilatation diskutiert. Darauf folgt die Formel für die Addition von Geschwindigkeiten in der relativistischen Mechanik. Das nächste Thema ist die Formel $$E=mc^2$$ für die Äquivalenz von Energie E und Masse m, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Invarianz besonderer Formen der Gleichungen der Dynamik und der Maxwellschen Elektrodynamik gegenüber einer Lorentz-Transformation wird gezeigt.

1.1 Galilei-Transformation

1.1.1 Relativitätsprinzip von Galilei

Ein Ereignis findet in Raum und Zeit statt, zum Beispiel ein Blitz in einer Raumecke. Ereignisse finden in einem einzigen Punkt statt. Wir ordnen jedem Ereignis eine Menge von vier Koordinaten $$t, x_1, x_2$$ und $$x_3$$ zu, oder t und den dreidimensionalen Ortsvektor
$$ \varvec{x}=\left( \begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \in \text{ R }^3. $$
Die Zeit t und der Ortsvektor $$\varvec{x}$$ bilden ein Bezugssystem $$\mathcal {X}$$. In ihm hat das Newtonsche Grundgesetz der Mechanik mit dem Impuls $$\varvec{p}$$ und der Kraft $$\varvec{f}$$ die Form
$$\frac{ \mathrm{d}\varvec{p}}{\mathrm{d}t}= \varvec{f}$$
oder, wenn die Masse m im Impuls
$$\varvec{p}=m \frac{\mathrm{d}{\displaystyle \varvec{x}}}{\mathrm{d}t}$$
konstant ist,
$$\begin{aligned} m\,\frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}}{\mathrm{d}t^2}=\varvec{f}. \end{aligned}$$
(1.1)
Es möge nun ein Beobachter selbst eine beliebige Bewegung ausführen. Gesucht ist die Gleichung, die an die Stelle von
$$\frac{ \mathrm{d}\varvec{p}}{\mathrm{d}t}= \varvec{f}$$
für den bewegten Beobachter tritt. Mit dem bewegten Beobachter sei das Koordinatensystem $$\mathcal{X'}$$ fest verbunden. Es sei achsenparallele mit dem Koordinatensystem $$\mathcal{X}$$ (Abb. 1.1). $$\varvec{x}_o$$ sei die Lage des Koordinatenursprungs von $$\mathcal{X'}$$ gemessen in $$\mathcal{X}$$. Dann ist
$$ \varvec{x}'=\varvec{x} - \varvec{x}_o. $$
oder
$$\begin{aligned} \varvec{x}=\varvec{x}' + \varvec{x}_o. \end{aligned}$$
(1.2)
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Abb. 1.1

Zwei gegeneinander verschobene Bezugssysteme

$$\varvec{x}$$ ist dabei der Ortsvektor des Ereignisses, der von einem Beobachter im ruhenden Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ gemessen wird und $$\varvec{x}'$$ ist das, was ein Beobachter im bewegten Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ misst. Gl. (1.2) nach der Zeit t differenziert,
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}\,t} = \frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}\,t} -\frac{\mathrm{d}\varvec{x}_o}{\mathrm{d}\, t}, \end{aligned}$$
(1.3)
ergibt das Additionstheorem der Geschwindigkeiten der klassischen Mechanik.
$$\varvec{v}'(t)=\varvec{v}(t) - \varvec{v}_0(t).$$
Für die Beschleunigungen erhält man nach einer weiteren Differentiation nach der Zeit
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}'}{\mathrm{d}\, t^2} = \frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}}{\mathrm{d}\, t^2} - \frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}_o}{\mathrm{d}\, t^2}. \end{aligned}$$
(1.4)
Die auf die Masse m wirkende Kraft $$\varvec{f}$$ ist vom gewählten Koordinatensystem unabhängig, also ist $$\varvec{f}' = \varvec{f}$$. Dies und Gl. (1.3) in (1.1) eingesetzt, ergibt
$$\begin{aligned} \varvec{f}' - m\,\frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}_o}{\mathrm{d}t^2}= m\,\frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}'}{\mathrm{d}t^2}. \end{aligned}$$
(1.5)
Das mechanische Grundgesetz hat seine Gültigkeit verloren! Ist dem bewegten Beobachter die äußere Kraft $$\varvec{f}'$$ bekannt, so kann er durch Messungen in $$\mathcal{X}'$$ seine Beschleunigung gegenüber dem ruhenden System $$\mathcal{X}$$ ermitteln. Wenn dagegen die Bewegung von $$\mathcal{X}'$$ gegenüber $$\mathcal{X}$$ geradlinig und gleichförmig ist, also $$\varvec{x}_o = \varvec{v}\, t$$ bei konstantem $$\varvec{v}$$ (Abb. 1.2), dann wird aus (1.5)
$$\begin{aligned} \varvec{f}' = m\,\frac{\mathrm{d}^2\varvec{x}'}{\mathrm{d}t^2} \end{aligned}$$
(1.6)
und das mechanische Grundgesetz hat in $$\mathcal{X}'$$ die gleiche Form wie in $$\mathcal{X}$$. Der bewegte Beobachter hat keine Möglichkeit seine eigene Bewegung gegenüber $$\mathcal{X}$$ durch ein mechanisches Experiment zu ermitteln. Galilei führte als Beispiel ein sich in einem Hafen gleichförmig bewegendes Schiff an, dessen Insassen nicht entscheiden können, ob sich das Schiff gegenüber dem Hafen oder ob sich der Hafen gegenüber dem Schiff bewegt. Heutzutage würde man als Beispiel einen ICE-Zug in einem Bahnhof nehmen. Wenn in einem Bezugssystem alle Bewegungen geradlinig und gleichförmig verlaufen, nennt man es Inertialsystem.
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Abb. 1.2

Zwei gegeneinander bewegte Bezugssysteme

Man erhält so das Relativitätsprinzip von Galilei:

Alle Naturgesetze sind in jedem Zeitpunkt in allen Inertialsystemen die gleichen.

Alle Bezugssysteme, die sich gleichförmig linear gegenüber einem Inertialsystem bewegen, sind selbst Inertialsysteme.

Bewegen sich zwei Bezugssysteme $$\mathcal {X}$$ und $$\mathcal {X}'$$ mit der konstanten Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ gegeneinander, so gilt bei unbeschränkter Geschwindigkeit
$$\begin{aligned} \varvec{x}' = \varvec{x}-\varvec{v}\ t \ \text {und} \ t' = t. \end{aligned}$$
(1.7)
Mit dem vierdimensionalen Spaltenvektor
$$ \varvec{\vec {x}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}t \\ \varvec{x}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^4 $$
kann man die beiden Gl. (1.7) zu einer Gleichung zusammenfassen und erhält die Galilei-Transformation in Matrizenschreibweise zu:
$$\begin{aligned}\underline{\underline{\varvec{\vec {x}}'= \left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^T\\ -\varvec{v}&{}\varvec{I}\end{array}\right) \varvec{\vec {x}}=\varvec{T}_{{}_{Galilei}}\ \varvec{\vec {x}}}}. \end{aligned}$$
Betrachtet man die umgekehrte Transformation von $$\mathcal {X}'$$ nach $$\mathcal {X}$$, dann gilt
$$\begin{aligned}t = t' \, {\text {und}}\, \varvec{x} = \varvec{v}\ t + \varvec{x}'. \end{aligned}$$
bzw.
$$\begin{aligned}\varvec{\vec {x}}= \left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^T\\ \varvec{v}&{}\varvec{I}\end{array}\right) \varvec{\vec {x}}'=\varvec{T}_{{}_{Galilei}}'\varvec{\vec {x}}'. \end{aligned}$$
Beide Transformationen hintereinandergeschaltet, ergeben
$$\begin{aligned}\varvec{T}_{{}_{Galilei}}\varvec{T}_{{}_{Galilei}}'\varvec{\vec {x}}' =\left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^T\\ -\varvec{v}&{}\varvec{I}\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^T\\ \varvec{v}&{}\varvec{I}\end{array}\right) \varvec{\vec {x}}'=\left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^T\\ \varvec{o}&{}\varvec{I}\end{array}\right) \varvec{\vec {x}}'=\varvec{\vec {x}}', \end{aligned}$$
d. h., die Matrix $$\varvec{T}_{{}_{Galilei}}'$$ ist invers zu der Matrix $$\varvec{T}_{{}_{Galilei}}$$.
Für die zeitlichen Ableitungen des Vierervektors $$\vec {\varvec{x}}$$ erhält man
$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}t} = \left( \begin{array}{c}1\\ \frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}\end{array}\right) \quad \text {und} \quad \frac{\mathrm{d}^2 \vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}t^2} = \left( \begin{array}{c}0\\ \frac{\mathrm{d}^2 {\varvec{x}}}{\mathrm{d}t^2}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
Mit $$\vec {\varvec{f}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}0\\ \varvec{f}\end{array}\right) $$ kann man die Grundgleichung der Mechanik auch schreiben
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}} = m \frac{\mathrm{d}^2 \vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}\ t^2}. \end{aligned}$$
(1.8)
Diese Gleichung von links mit der Transformationsmatrix $$\varvec{T}_{{}_{Galilei}} $$ multipliziert, liefert in der Tat wieder die gleiche Form:
$$ \underbrace{\varvec{T}_{{}_{Galilei}}\vec {\varvec{f}}}_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \vec {\varvec{f}}'} = m \underbrace{\varvec{T}_{{}_{Galilei}} \frac{\mathrm{d}^2\vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}\ t^2}}_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{\mathrm{d}^2\vec {\varvec{x}}'}{\mathrm{d}\ t'^2}}, $$
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}'=m \frac{\mathrm{d}^2\vec {\varvec{x}}'}{\mathrm{d}\ t'^2}. \end{aligned}$$
(1.9)
Die Grundgleichung der Dynamik ist also bezüglich dieser Galilei-Transformation invariant, d. h., sie behält ihre Form unabhängig vom Bezugssystem. Darin enthalten ist natürlich das oben angegebene Newtonsche Axiom 1.1.

1.1.2 Allgemeine Galilei-Transformation

Bis hierher wurden in der Galilei-Transformation nur die gleichförmige Bewegung der beiden Inertialsysteme gegeneinander mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ und ein fester Anfangszeitpunkt $$t=0$$, ein fester Anfangspunkt $$\varvec{x}_0=\varvec{0}$$ des neuen Koordinatensystems $$\mathcal{X}'$$ und keine Drehung des Koordinatensystems berücksichtigt.

Man geht nun im Allgemeinen davon aus, dass alle Naturgesetze konstant bleiben, also invariant hinsichtlich einer Zeitverschiebung sind. Wenn $$\varvec{x}(t)$$ eine Lösung von $$m\ddot{\varvec{x}}=\varvec{f}$$ ist, dann ist für alle $$t_o\in \mathbb {R}$$ auch $$\varvec{x}(t+t_o)$$ eine Lösung.

Weiter geht man davon aus, dass die betrachteten Räume homogen sind, also die gleichen Eigenschaften an allen Punkten vorhanden sind. Ist also wieder $$\varvec{x}(t)$$ eine Lösung von $$m\ddot{\varvec{x}}=\varvec{f}$$, dann ist auch $$\varvec{x}(t)+\varvec{b}$$ eine Lösung, jetzt aber für den Anfangsort $$\varvec{x}_0+\varvec{b}$$.

Außerdem nimmt man an, dass die betrachteten Räume isotrop sind, d. h. keine Richtungsabhängigkeit von Eigenschaften besteht. Ist also wieder $$\varvec{x}(t)$$ eine Lösung von $$m\ddot{\varvec{x}}=\varvec{f}$$, dann ist auch $$\varvec{D}\varvec{x}(t)$$ eine Lösung für den Anfangsort $$\varvec{D}\varvec{x}_0$$. Hierbei muss aber auch für die Abstände gelten
$$ \rho (\varvec{x}_1,\varvec{x}_2)=\rho (\varvec{D}\varvec{x}_1,\varvec{D}\varvec{x}_2). $$
Das hat für die Drehmatrix $$\varvec{D}$$ zur Folge, dass sie orthogonal sein muss; denn es soll sein
$$\begin{aligned} \rho (\varvec{D}\varvec{x}_1,\varvec{D}\varvec{x}_2)&=\sqrt{(\varvec{D}\varvec{x}_2-\varvec{D}\varvec{x}_1)^{^\intercal }(\varvec{D}\varvec{x}_2-\varvec{D}\varvec{x}_1)}\\&=\sqrt{(\varvec{x}_2-\varvec{x}_1)^{^\intercal }\varvec{D}^{^\intercal }\varvec{D}(\varvec{x}_2-\varvec{x}_1)}\ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \rho (\varvec{x}_1,\varvec{x}_2)=\sqrt{(\varvec{x}_2-\varvec{x}_1)^{^\intercal }(\varvec{x}_2-\varvec{x}_1)}, \end{aligned}$$
also
$$\varvec{D}^{^\intercal }\varvec{D}\ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \varvec{I}.$$
Die Zeitinvarianz, die Homogenität und die Isotropie kann man wie folgt in der allgemeinen Galilei-Transformation, zusammenfassen:
Ist $$t'$$ gegenüber t um $$t_0$$ verschoben, d. h., gilt
$$\begin{aligned} t'=t_0 + t, \end{aligned}$$
(1.10)
ist weiterhin das neue Koordinatensystem gegenüber dem alten um $$\varvec{x}_0$$ verschoben und um die Drehmatrix $$\varvec{D}$$ gedreht, so gilt, zunächst für $$\varvec{v}=\varvec{0}$$,
$$\begin{aligned} \varvec{x}'=\varvec{D}\varvec{x}+\varvec{x}_0, \end{aligned}$$
(1.11)
also
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}t'\\ \varvec{x}'\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^{^\intercal }\\ \varvec{o}&{}\varvec{D}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}t\\ \varvec{x}\end{array}\right) +\left( \begin{array}{c}t_o\\ \varvec{x}_o\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.12)
Bewegt sich auch noch wie oben der Koordinatenursprung des neuen Koordinatensystems mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$, bekommt man schließlich die allgemeine Galilei-Transformation:
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{x}}'=\left( \begin{array}{cc}1&{}\varvec{o}^{^\intercal }\\ -\varvec{v}&{}\varvec{D}\end{array}\right) \vec {\varvec{x}}+\vec {\varvec{x}}_o, \end{aligned}$$
(1.13)
mit
$$ \vec {\varvec{x}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}t\\ \varvec{x}\end{array}\right) \,\text {und}\,\vec {\varvec{x}}_o\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}t_o\\ \varvec{x}_o\end{array}\right) . $$
Das ist  eine affine Abbildung oder affine Transformation.
Eine lineare Transformation bekommt man, in dem man den erweiterten Vektor einführt:
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}t\\ \varvec{x}\\ 1\end{array}\right) \in \mathbb {R}^5, \end{aligned}$$
(1.14)
nämlich
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}t'\\ \varvec{x}'\\ 1\end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc}1&{}\varvec{o}^{^\intercal }&{} t_0\\ -\varvec{v}&{}\varvec{D}&{}\varvec{x}_0\\ 0&{}\varvec{o}^{^\intercal }&{}1\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}t\\ \varvec{x}\\ 1\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.15)
Auch gegenüber einer solchen Transformation sind die Newtonschen Grundgesetze invariant. Eine allgemeine Galilei–Transformation ist durch die 10 Parameter $$t_o, \varvec{x}_o\in \mathbb {R}^3, \varvec{v}\in \mathbb {R}^3$$ und $$\varvec{D}\in \mathbb {R}^{3\times 3}$$. bestimmt. Die Drehmatrix $$\varvec{D}$$ hat in der Tat nur drei wesentliche Parameter, da jede allgemeine Drehung durch nacheinander ausgeführte Drehungen um die $$x_1$$-, $$x_2$$- und $$x_3$$-Achsen zusammengesetzt, also insgesamt durch die drei Winkel $$\varphi _1, \varphi _2$$ und $$\varphi _3$$ gekennzeichnet ist, wobei z. B. die Drehung um die $$x_1$$-Achse durch die Matrix
$$ \left( \begin{array}{ccc}1&{}0&{}0\\ 0&{}\cos \varphi _1&{}\sin \varphi _1\\ 0&{}-\sin \varphi _1&{}\cos \varphi _1\end{array}\right) $$
erreicht wird.

1.1.3 Maxwellsche Gleichungen und Galilei-Transformation

Ganz anders sieht es aber mit den Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik aus. Sie sind nicht invariant gegenüber einer Galilei-Transformation! Denn eine in einem Inertialsystem $$\mathcal{X}$$ ruhende Ladung q erzeugt dort nur ein statisches elektrisches Feld; in einem sich dazu mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ bewegenden Inertialsystem stellt $$q\varvec{v}$$ aber einen Strom dar, der dort auch ein magnetisches Feld erzeugt!

Im 19. Jahrhundert war man der Auffassung, dass alle physikalischen Erscheinungen mechanischer Natur sind und die elektromagnetischen Kräfte auf Spannungszustände eines Weltäthers, die Maxwellschen Spannungen, zurückgeführt werden können. Dieser Weltäther, der den Raum erfüllt, ist dann der Träger der elektromagnetischen Erscheinungen.

Wenn ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist, in dem Galileis Trägheitsprinzip gilt, dann behauptet Einstein in seinem allgemeinen Relativitätsprinzip:

Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an.

Für das Grundgesetz der Mechanik wurde das oben hergeleitet. Das Relativitätsprinzip gilt aber nicht für die Elektrodynamik, also auch nicht für die Optik. Wie müssen die Grundgleichungen der Elektrodynamik modifiziert werden, damit das Relativitätsprinzip gilt? Das ist der Inhalt von Einsteins Spezieller Relativitätstheorie aus dem Jahr 1905. Noch weiter geht Einstein in der Allgemeinen Relativitätstheorie von 1915. In ihr wird behandelt, wie die Naturgesetze modifiziert werden müssen, damit sie auch in beschleunigten oder gegeneinander nicht gleichförmig bewegten Bezugssystemen gelten.

1.2 Lorentz-Transformation

1.2.1 Einleitung

Am Ende des 19. Jahrhunderts wurden Experimente erdacht, die die Geschwindigkeit der Erde gegen den ruhenden Weltäther bestimmen sollten. Diese Relativgeschwindigkeit zum Äther kann nur durch einen elektromagnetischen Effekt, z. B. der Lichtausbreitung, gemessen werden. Mit dem Michelson-Morley-Experiment wurde aber 1881 und 1887 keine Driftgeschwindigkeit festgestellt. Einstein schloss daraus:

Die Lichtgeschwindigkeit c ist immer konstant.

Unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle und des Beobachters hat die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem den gleichen Wert.

Angenommen, es wird zum Zeitpunkt $$t=t'=0$$ im dann gemeinsamen Ursprung der beiden achsenparallelen Bezugssysteme $$\mathcal {X}$$ und $$\mathcal {X}'$$ ein Lichtimpuls erzeugt. Wenn sich das Licht im Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, dann ist z. B. $$x_1'=c\ t$$. Aus Gl. (1.7) folgt dann für die $$x_1$$-Richtung, wenn $$\varvec{v}$$ die $$x_1$$-Richtung hat,
$$ x_1=x_1' + v\ t= (c+v) t, $$
d. h. im Widerspruch zum Michelson-Morley-Versuch eine Ausbreitungsgeschwindigkeit für das Licht von $$c+v>c$$. Es muss also eine andere als die Galilei-Transformation gelten. Wir setzen eine lineare Transformation an:
$$\begin{aligned} t = f\ t' + \varvec{e}^{^\intercal }\varvec{x'}, \end{aligned}$$
(1.16)
$$\begin{aligned} \varvec{x} = \varvec{b}\ t' + \varvec{A}\ \varvec{x}', \end{aligned}$$
(1.17)
d. h.,
$$ \varvec{\vec {x}} = \hat{\varvec{L}}'\ \varvec{\vec {x}'} $$
mit
$$ \hat{\varvec{L}}' \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cc}f &{} \varvec{e}^{^\intercal }\\ \varvec{b} &{} \varvec{A}\end{array}\right) . $$

1.2.2 Ermittlung der Komponenten der Transformationsmatrix

Dass sich $$t'$$ von t unterscheidet (bei Galilei war das ja nicht der Fall, sondern es war $$t'=t$$), geht aus der folgenden Betrachtung zweier Beobachter (siehe Abb. 1.3): Beobachter $$\varvec{A}$$ bewegt sich relativ zu Beobachter $$\varvec{B}$$, z. B. in einem Raumschiff, mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$. Das Raumschiff mit Beobachter $$\varvec{A}$$ hat das Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$, und Beobachter $$\varvec{B}$$ auf der Erde hat das Bezugssystem $$\mathcal {X}$$. Ein Lichtstrahl bewegt sich vom Ursprung $$\varvec{x}=\varvec{x}'=\varvec{o}$$ der Bezugssysteme $$\mathcal {X}$$ und $$\mathcal {X}'$$ zum Zeitpunkt $$t=t'=0$$ aus senkrecht zur Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ und erreicht für den Beobachter $$\varvec{A}$$ im bewegten Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ nach $$t'$$ Sekunden einen Spiegel, der sich mit dem Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ bewegt. Für Beobachter $$\varvec{B}$$ im ruhenden Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ erreicht der Lichtstrahl den Spiegel nach t Sekunden, der inzwischen in $$\varvec{v}$$-Richtung einen Weg von $$v\ t$$ zurückgelegt hat.
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Abb. 1.3

Verschiedene Lichtwege: a) Gesehen von einem Beobachter $$\varvec{A}$$ in $$\mathcal{X'}$$, b) Gesehen von einem Beobachter $$\varvec{B}$$ in $$\mathcal{X}$$

Da in allen Bezugssystemen die Lichtgeschwindigkeit gleich c ist, gilt nach dem Satz von Pythagoras
$$ (c\ t)^2 = (v\ t)^2 + (c\ t')^2, $$
bzw. nach t aufgelöst
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ t = \gamma \ t'}} \end{aligned}$$
(1.18)
mit
$$\begin{aligned} \gamma \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}}. \end{aligned}$$
(1.19)
Ein Vergleich von (1.18) mit (1.16) für $$\varvec{{x'}}=\varvec{{o}}$$ liefert
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ f = \gamma }}. \end{aligned}$$
(1.20)
Für $$\varvec{{x'}}=\varvec{{o}}$$ ist $$\varvec{x} = \varvec{v}\ t$$ und aus (1.17) folgt: $$\varvec{{x}} = \varvec{b}\ t'$$. Also ist $$\varvec{b}\, t'=\varvec{v}\, t$$, d. h., $$\varvec{b} = \varvec{v}\frac{t}{t'}$$. Aus Gl. (1.18) folgt andererseits $$\frac{t}{t'}=\gamma $$, also ist
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ \varvec{b} = \gamma \ \varvec{v}}}. \end{aligned}$$
(1.21)
Bisher wurden die folgenden Transformationsgleichungen ermittelt:
$$\begin{aligned} t = \gamma \ t' + \varvec{e}^{^\intercal }\varvec{x}', \end{aligned}$$
(1.22)
$$\begin{aligned} \varvec{x} = \gamma \ \varvec{v}\ t' + \varvec{A}\ \varvec{x}'. \end{aligned}$$
(1.23)
(1.22 und 1.23) liefern eine Transformation von $$\mathcal {X}'$$ nach $$\mathcal {X}$$. Will man diese Transformation rückgängig machen, muss man $$\varvec{v}$$ durch $$-\varvec{v}$$, $$\varvec{x}$$ durch $$\varvec{x}'$$ usw. ersetzen, sowie t durch $$t'$$ usw. umgekehrt ersetzen (da $$\varvec{A}$$ und $$\varvec{e}$$ von $$\varvec{v}$$ abhängen können, wird im Folgenden zunächst $$\varvec{\tilde{A}}$$ und $$\varvec{\tilde{e}}$$ geschrieben):
$$ t' = \gamma \ t + \varvec{\tilde{e}}^{^\intercal }\varvec{x}, $$
$$ \varvec{x}' = - \gamma \ \varvec{v}\ t + \varvec{\tilde{A}}\ \varvec{x}, $$
zusammengefasst zu
$$\begin{aligned} \varvec{\vec {x}'}=\left( \begin{array}{cc}\gamma &{} \quad \varvec{\tilde{e}}^{^\intercal }\\ -\gamma \ \varvec{v} &{} \quad \varvec{\tilde{A}}\end{array}\right) \varvec{\vec {x}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \hat{\varvec{L}}\ \varvec{\vec {x}}. \end{aligned}$$
(1.24)
Beide Transformationen hintereinander ausgeführt, muss die Einheitsmatrix ergeben:
$$\begin{aligned} \hat{\varvec{L}}'\hat{\varvec{L}}\ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \varvec{I}. \end{aligned}$$
(1.25)
Für das (1, 1)-Element des Matrizenprodukts $$\hat{\varvec{L}}'\hat{\varvec{L}}$$ folgt dann:
$$ (\gamma \ ,\ \varvec{e}^{^\intercal })\left( \begin{array}{c}\gamma \ \\ -\gamma \varvec{v}\end{array}\right) =\gamma ^2 -\gamma \ \varvec{e}^{^\intercal }\varvec{v} \ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ 1. $$
und daraus
$$\begin{aligned} \gamma \ \varvec{e}^{^\intercal }\varvec{v} = \gamma ^2 - 1. \end{aligned}$$
(1.26)
Den Ansatz für $$\varvec{e}$$
$$\begin{aligned} \varvec{e}^{^\intercal }= \alpha \ \varvec{v}^{^\intercal }\end{aligned}$$
(1.27)
in (1.26) eingesetzt, ergibt
$$ \gamma \ \alpha \ v^2 = \gamma ^2 -1 $$
und weiter
$$ \gamma \ \alpha = \left( \frac{c^2}{c^2 - v^2} - 1\right) /v^2 = \frac{1}{c^2 - v^2} = \frac{\gamma ^2}{c^2}, $$
d. h.,
$$\begin{aligned} \alpha = \frac{\gamma }{c^2}. \end{aligned}$$
(1.28)
$$\alpha $$ nach (1.28) in Gl. (1.27) eingesetzt, ergibt schließlich
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\varvec{e}^{^\intercal }=\frac{ \gamma }{c^2} \varvec{v}^{^\intercal }}}. \end{aligned}$$
(1.29)
Damit wurde bisher berechnet:
$$ \hat{\varvec{L}}' = \left( \begin{array}{cc}\gamma &{} \quad \frac{\gamma }{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }\\ \gamma \ \varvec{v} &{} \quad \varvec{A} \end{array}\right) . $$
Offensichtlich ist
$$ \varvec{\tilde{e}}^{^\intercal }= - \frac{\gamma }{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }. $$
Nehmen wir jetzt an, dass in Gl. (1.24) die $$3\times 3$$-Matrix $$\varvec{\tilde{A}} = \varvec{A}$$ ist. Dann erhält man für das Matrizenelement unten rechts in dem Matrizenprodukt $$\hat{\varvec{L}}'\hat{\varvec{L}}$$ in (1.25)
$$ (\gamma \ \varvec{v}, \ \varvec{A})\left( \begin{array}{c}-\frac{\gamma }{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }\\ \varvec{A} \end{array}\right) = - \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }+ \varvec{A}^2 \ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \varvec{I}, $$
d. h.,
$$\begin{aligned} \varvec{A}^2 = \varvec{I} + \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }. \end{aligned}$$
(1.30)
Aus Gl. (1.26) folgt durch Einsetzen von (1.29):
$$ \frac{\gamma ^2}{c^2}\ v^2 = \gamma ^2 - 1. $$
Das in Gl. (1.30) eingesetzt liefert
$$\begin{aligned} \varvec{A}^2 = \varvec{I} + (\gamma ^2-1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}. \end{aligned}$$
(1.31)
Für $$\gamma ^2 -1$$ kann man schreiben
$$\begin{aligned} \gamma ^2-1=(\gamma -1)^2+2(\gamma -1). \end{aligned}$$
(1.32)
(1.32) in Gl. (1.31) eingesetzt, ergibt
$$ \varvec{A}^2 = \varvec{I} + 2(\gamma -1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}+(\gamma - 1)^2\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}=\left( \varvec{I} + (\gamma -1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\right) ^2, $$
wobei
$$ \frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }\ \varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^4}=\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}. $$
verwendet wurde. Es ist also
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ \varvec{A} = \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}}}. \end{aligned}$$
(1.33)
Tatsächlich ist $$\varvec{A}(-\varvec{v}) = \varvec{A}(\varvec{v})$$, d. h., die obige Annahme, daß $$\varvec{\tilde{A}} = \varvec{A}$$ ist, war richtig.

Damit wurde die Matrix $$\hat{\varvec{L}}$$ der Lorentz-Transformation vollständig ermittelt:

$$\begin{aligned} \hat{\varvec{L}} = \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{}-\frac{\gamma }{c^2}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline - \gamma \ \varvec{v}&{} \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.34)
Für $$c \rightarrow \infty $$ wird $$\gamma =1$$ und die Lorentz-Transformation geht in die Galilei–Transformation über. Für den Sonderfall, dass die Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ in Richtung der $$x_1$$-Achse verläuft, d. h.,
$$ \varvec{v} = \left( \begin{array}{c}v\\ 0\\ 0\end{array}\right) $$
ist, erhält man
$$ \hat{\varvec{L}}=\left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{c^2}(v,\ 0,\ 0)\\ \hline -\gamma \left( \begin{array}{c}v\\ 0\\ 0\end{array}\right) &{} \varvec{I}+\frac{(\gamma -1)}{v^2}\left( \begin{array}{ccc}{v^2\phantom {\int ^{\sum }}}&{}0&{}0\\ 0&{}0&{}0\\ 0&{}0&{}0\end{array}\right) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc}\gamma &{}-\frac{\gamma \ v}{c^2} &{} 0 &{} 0\\ -\gamma \ v&{} \gamma &{} 0&{}0\\ 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0\\ 0&{}0&{}0&{}1\end{array}\right) , $$
also
$$\begin{aligned} \begin{array}{l} t' = \gamma \, t-\frac{\gamma }{c^2}\, v \, x_1,\\ x_1' = - \gamma \, v\, t + \gamma \, x_1,\\ x_2' = x_2,\\ x_3' = x_3. \end{array} \end{aligned}$$
(1.35)
Führt man als vierte Komponente in dem Vektor $$\varvec{\vec {x}}$$ die mit der Lichtgeschwindigkeit c multiplizierte Zeit, also $$c\, t$$ ein, dann erhält man aus (1.34) die Transformation
$$\begin{aligned} \varvec{\vec {x}}'\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}c\ t'\\ \varvec{x}' \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{ c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v} &{} \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}c\ t\\ \varvec{x} \end{array}\right) , \end{aligned}$$
(1.36)
d. h., die neue Transformationsmatrix
$$\begin{aligned} \varvec{L}(\varvec{v})\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{ c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v} &{} \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}{^{^\intercal }}}{v^2}\end{array}\right) \end{aligned}$$
(1.37)

ist jetzt eine symmetrische Matrix und im Einzelnen gilt nach Division der ersten Gleichung durch c

$$\begin{aligned}&\nonumber t' = \gamma \, t-\frac{\gamma }{c^2}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}, \\&\varvec{x}' = \varvec{x} + (\gamma - 1)\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}}{v^2}\,\varvec{v} - \gamma \,\varvec{v}\, t. \end{aligned}$$
(1.38)

1.2.3 Gleichzeitigkeit an verschiedenen Orten

Ereignisse an verschiedenen Orten, die gleichzeitig für einen Beobachter in $$\mathcal{X}$$ sind, sind für einen bewegten Beobachter in $$\mathcal{X}'$$ im Allgemeinen nicht gleichzeitig. Das wird durch die endliche Lichtgeschwindigkeit verursacht. Das Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ bewege sich gegenüber dem ruhenden Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$. Wenn die beiden Ereignisse (1) und (2) in $$\mathcal {X}$$ die Koordinaten $$\vec {\varvec{x}}_1$$ und $$\vec {\varvec{x}}_2$$ haben, dann sind sie gleichzeitig, wenn $$t_1=t_2$$ ist. Sind diese beiden Ereignisse dann aber auch für einen Beobachter im Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ gleichzeitig? Es ist nach Gl. (1.36)
$$ ct_1'=\gamma c t_1 -\frac{\gamma }{c}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}_1 $$
und
$$ ct_2'=\gamma c t_2 -\frac{\gamma }{c}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}_2. $$
Beide Gleichungen durch c dividiert und voneinander subtrahiert, ergibt
$$ t_1'-t_2'=\gamma (t_1- t_2) +\frac{\gamma }{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }(\varvec{x}_1-\varvec{x}_2), $$
also
$$ \underline{\underline{t_1'-t_2'=\frac{\gamma }{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }(\varvec{x}_1-\varvec{x}_2)}}. $$
Die ortsverschiedenen Ereignisse $$\vec {\varvec{x}}_1'$$ und $$\vec {\varvec{x}}_2'$$ sind nur dann ebenfalls gleichzeitig, wenn die Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ senkrecht zur Ortsdifferenz $$\varvec{x}_1-\varvec{x}_2$$ ist. Schlussfolgerung:

Ereignisse an verschiedenen Orten, die im Bezugssystem $$\mathcal{X}$$ gleichzeitig sind, müssen vom Bezugssystem $$\mathcal{X}'$$ aus gesehen nicht gleichzeitig sein.

Beispiel: Für den Sonderfall $$\varvec{v}=[v, 0,0]^{^\intercal }$$ braucht man nur die ct- und die x-Koordinate zu betrachten. Die y- und die z-Komponente werden durch die Lorentz-Transformation nicht verändert. Man kann sich also auf die Betrachtung der zweidimensionalen Transformation
../images/311137_1_De_1_Chapter/311137_1_De_1_Fig4_HTML.png
Abb. 1.4

Gleichzeitigkeit

$$ \left( \begin{array}{c}ct'\\ x'\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}\gamma &{} -\frac{\gamma }{c}v\\ -\frac{\gamma }{c}v &{} \gamma \end{array}\right) \left( \begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right) $$
beschränken. Das Ereignis $$\left( \begin{array}{c}0\\ x_1\end{array}\right) $$ wird nach
$$ \left( \begin{array}{c}ct_1'\\ x_1'\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}\gamma &{} -\frac{\gamma }{c}v\\ -\frac{\gamma }{c}v &{} \gamma \end{array}\right) \left( \begin{array}{c}0\\ x_1\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}-\frac{\gamma }{c}vx_1\\ \gamma x_1\end{array}\right) $$
und entsprechend das in $$\mathcal{X}$$ gleichzeitige Ereignis $$\left( \begin{array}{c}0\\ x_2\end{array}\right) $$ nach $$\left( \begin{array}{c}-\frac{\gamma }{c}vx_2\\ \gamma x_2\end{array}\right) $$ transformiert. In Abb. 1.4 ergibt sich dann auf der $$ct'$$-Achse die Differenz
$$ct_2'-ct_1'=\frac{\gamma }{c}\, v\,(x_1-x_2)\ne 0,$$
wenn $$v\ne 0$$ und $$x_1\ne x_2$$ sind, d. h., im bewegten Bezugssystem $$\mathcal{X}'$$ sind die beiden Ereignisse (1) und (2) nicht mehr gleichzeitig.

1.2.4 Kontraktion bewegter Körper (Joggen macht schlank)

Einstein war 1905 der Erste, der zeigen konnte, dass eine Längenkontraktion die Folge der neuen Beschreibung von Raum und Zeit ist. Die Längenkontraktion erhält man einfach wie folgt aus der Lorentz-Transformation. Das Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ sei ruhend und das Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ bewege sich ihmgegenüber mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$. Ein Lineal habe in dem ruhenden System die beiden Endpunkte $$\varvec{x}_1$$ und $$\varvec{x}_2$$. Für seine Ruhelänge gilt dann
$$\begin{aligned} \varvec{l}_0 =\varvec{x}_2 - \varvec{x}_1, \end{aligned}$$
(1.39)
d. h., es ist
$$\begin{aligned} l_0^2 = (\varvec{x}_2 - \varvec{x}_1)^{^\intercal }(\varvec{x}_2 - \varvec{x}_1). \end{aligned}$$
(1.40)
Zur Zeit $$t'$$ haben die Endpunkte des Lineals im bewegten Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ die Koordinaten $$\varvec{x}_1'$$ und $$\varvec{x}_2'$$. Mit Gl. (1.34) erhält man
$$\begin{aligned} \varvec{l}_0 = \varvec{x}_2 - \varvec{x}_1 = \varvec{A}(\varvec{x}_2' - \varvec{x}_1') \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{A}\ \varvec{l}. \end{aligned}$$
(1.41)
Daraus ergibt sich
$$\begin{aligned} l_0^2=\varvec{l}_0^{^\intercal }\varvec{l}_0 = \varvec{l}^{^\intercal }\varvec{A}^2\varvec{l}. \end{aligned}$$
(1.42)
Mit Gl. (1.31) wird daraus
$$\begin{aligned} l_0^2 = \varvec{l}^{^\intercal }\left( \varvec{I} + (\gamma ^2 -1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\right) \varvec{l} = \varvec{l}^{^\intercal }\varvec{l} + (\gamma ^2 - 1)\frac{(\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{l})^2}{v^2}. \end{aligned}$$
(1.43)
In dem Produkt $$\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{l}$$ kommt von $$\varvec{l}$$ nur der Anteil $$\varvec{l}_{\Vert }$$ zur Wirkung, der parallel zur Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ ist, d. h., es ist $$\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{l} = \varvec{v}^{^\intercal }\varvec{l}_{\Vert }$$. Damit wird
$$ l_0^2 = l^2 + (\gamma ^2 -1)\frac{(\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{l}_{\Vert })^2}{v^2} = l^2 + (\gamma ^2 -1){l}_{\Vert }^2, $$
also
$$\begin{aligned} \underline{\underline{l^2 = l_0^2 - (\gamma ^2 -1){l}_{\Vert }^2}}. \end{aligned}$$
(1.44)
Da stets $$\gamma ^2 -1 \ge 0$$ ist, folgt aus Gl. (1.44)
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ l \le l_0}}. \end{aligned}$$
(1.45)
Das Ergebnis der Längenmessung des Lineals hängt also davon ab, in welchem Bezugssystem die Längenmessung vorgenommen wurde. Zu sagen, das Lineal wird kürzer, gibt die Tatsachen missverständlich wieder.

Liegt das Lineal parallel zur Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$, so ist $$\varvec{l}=\varvec{l}_{\Vert }$$ und aus (1.44) wird $$\gamma {l}={l}_0$$, oder

$$\begin{aligned} l =\frac{1}{\gamma }\,{l}_0=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,{l}_0, \end{aligned}$$
(1.46)

d. h., für $$v\rightarrow c$$ geht $$l\rightarrow 0$$. Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit $$v=0{,}8\, c$$ ist, also 80 % der Lichtgeschwindigkeit, dann ist $$l'=0{,}6 \, l_0$$.

1.2.5 Zeitdilation (Reisen erhält jung)

Zeitdilation ist der Unterschied in der vergehenden Zeit zwischen zwei Ereignissen, die von zwei Beobachtern gemessen werden, die sich relativ zueinander bewegen. Nach Gl. (1.18) gilt

$$\begin{aligned} t = \gamma \, t', \end{aligned}$$
(1.47)
wobei
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \ge 1 $$
ist. Sei $$t'$$ die Zeit einer Lichtuhr, die ein Beobachter in dem bewegten Inertialsystem $$\mathcal{X}'$$ für das Zurücklegen des Weges zwischen den Spiegeln misst. Dann ist t die Zeit, die für einen ruhenden Beobachter in $$\mathcal{X}$$ für das Zurücklegen des Weges zwischen den beiden Spiegeln der bewegten Uhr gemessen wird. Sie ist umso länger, je schneller sich die Uhr bewegt, d. h., je größer v ist. Wenn z. B. für den mitbewegten Beobachter $$t' = 1$$ s vergangen ist, sind für den ruhenden Beobachter $$t = \gamma \ge 1$$ s vergangen. Ist also v gerade so groß, dass $$\gamma = 20$$ ist, dann sind beispielsweise für den ruhenden Beobachter $$t = 20$$ Jahre vergangen, wenn für den bewegten Beobachter nur $$t' = 1$$ Jahr vergangen ist!
../images/311137_1_De_1_Chapter/311137_1_De_1_Fig5_HTML.png
Abb. 1.5

Zwillingsparadoxon

Zwillingsparadoxon

Von zwei Zwillingen $$\varvec{A}$$ und $$\varvec{B}$$ startet $$\varvec{A}$$ mit einer Rakete und fliegt mit hoher Geschwindigkeit davon, während der andere Zwilling $$\varvec{B}$$ auf der Erde zurückbleibt. Während des Fluges altert $$\varvec{A}$$ langsamer als $$\varvec{B}$$. Nach einiger Zeit wird die Rakete abgebremst und $$\varvec{A}$$ kehrt wieder mit hoher Geschwindigkeit zur Erde zurück. Während des Fluges ist $$\varvec{A}$$ weniger gealtert als $$\varvec{B}$$, der in Ruhe auf der Erde blieb. Jetzt kommt das Paradoxe: Die Geschwindigkeiten sind relativ! Man könnte doch auch Zwilling $$\varvec{A}$$ in seinem mitgeführtem Koordinatensystem als ruhend ansehen und $$\varvec{B}$$ als sich dazu mit großen Geschwindigkeiten bewegend betrachten. Das ist richtig; doch ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass Zwilling $$\varvec{A}$$ sich nicht ständig in demselben sich gleichförmig bewegenden Inertialsystem befindet, sondern im Umkehrpunkt, wo die Rückreise beginnt, das Inertialsystem wechselt! Das ist für $$\varvec{B}$$ nicht der Fall: Er bleibt immer im selben Inertialsystem. Deshalb liegt kein Paradoxon vor (Abb. 1.5).

1.3 Invarianz der Quadratischen Form

Der Michelson-Morley-Versuch besagt, dass sich in jedem Bezugssystem das Licht nach allen Seiten mit der gleichen Geschwindigkeit c ausbreitet. Wird im Koordinatenursprung $$\varvec{x} = \varvec{o} $$ von $$\mathcal {X}$$ ein Lichtblitz gezündet, so breitet er sich mit der Lichtgeschwindigkeit c kugelförmig aus. Nach der Zeit t hat das Lichtsignal alle Punkte der Kugel mit dem Radius $$c\, t$$ erreicht. Für die Punkte auf der Kugel gilt:
$$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (c\ t)^2, \quad \text {d}.\,\text {h}., \quad (c\ t)^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 = 0. \end{aligned}$$
(1.48)
Befinden sich die Koordinatenursprünge der beiden Bezugssysteme $$\mathcal {X}$$ und $$\mathcal {X}'$$ im Zündzeitpunkt $$t = t'=0$$ des Lichtblitzes im selben Raumpunkt $$\varvec{x}(t=0) = \varvec{x}'(t'=0) = \varvec{o}$$, so breitet sich auch im Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ das Licht gemäß diesem Gesetz aus:
$$\begin{aligned} (c\ t')^2 - x_1'^2 - x_2'^2 - x_3'^2 = 0. \end{aligned}$$
(1.49)
Diese Größe ist also invariant.

Man kann sich (1.48) auch erzeugt denken durch die Quadratische Form

$$\begin{aligned} \varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{\vec {x}} = 0, \end{aligned}$$
(1.50)
mit der Minkowski-Matrix
$$ \varvec{M} \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cccc}1&{}0&{}0&{}0\\ 0&{}-1&{}0&{}0\\ 0&{}0&{}-1&{}0\\ 0&{}0&{}0&{}-1\end{array}\right) $$
und dem von Minkowski vorgeschlagenen vierdimensionalen Vektor:
$$\begin{aligned} \varvec{\vec {x}} \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ = \left( \begin{array}{c}\ c\, t\\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.51)
Minkowski war der Erste, der Einsteins Relativitätstheorie mittels vierdimensionaler Raumzeitvektoren darstellte.
Invarianz gegenüber Lorentz-Transformation
Jetzt soll noch die Invarianz der quadratischen Form (1.50) gegenüber einer Lorentz-Transformation untersucht werden. Es ist $$\varvec{\vec {x}}' = \varvec{L}\ \varvec{\vec {x}}$$, d. h., es ist
$$\begin{aligned} \varvec{\vec {x}}'{^{^\intercal }} \varvec{M}\ \varvec{\vec {x}}' = \varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{L}^{^\intercal }\ \varvec{M}\ \varvec{L}\ \varvec{\vec {x}}. \end{aligned}$$
(1.52)
Hierbei erhält man für das Matrizenprodukt $$\varvec{L}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{L}$$ unter Zurhilfenahme von (1.30) und (1.33)
$$\begin{aligned} \varvec{L}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{L}&= \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v} &{} \varvec{A} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline \frac{\gamma }{c}\ \varvec{v} &{} -\varvec{A} \end{array}\right) \\&= \left( \begin{array}{c|c}\gamma ^2 - \frac{\gamma ^2}{c^2}\ \varvec{v}^{^\intercal }\varvec{v} &{}\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\varvec{A} -\frac{\gamma ^2}{c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline \frac{\gamma }{c}\varvec{A}\varvec{v} - \frac{\gamma ^2}{c}\varvec{v} &{} \frac{\gamma ^2}{c^2}\ \varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }-\varvec{A}^2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc}1 &{}\varvec{o}^{^\intercal }\\ \varvec{o} &{} -\varvec{I} \end{array}\right) = \varvec{M}. \end{aligned}$$
Damit gilt in der Tat für die quadatischen Formen
$$ \varvec{\vec {x}}'{^{^\intercal }} \varvec{M}\ \varvec{\vec {x}}' = \varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{\vec {x}}, $$
also, dass sie invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation sind!
Bei der Betrachtung der quadratischen Form wurde von der Ausbreitung von Licht ausgegangen und dafür war die quadratische Form $$\varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{\vec {x}}$$ gleich null. Betrachtet man dagegen die Bewegung eines Masseteilchens, so wird sich das Licht stets schneller ausbreiten als das Teilchen, d. h., es wird stets
$$c^2t^2 > \varvec{x}^{^\intercal }\varvec{x}$$
sein, also auch
$$(ct)^2-\varvec{x}^{^\intercal }\varvec{x}=\varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M}\ \varvec{\vec {x}} > 0.$$
Wenn wir den zwischen den beiden Ereignissen zurückgelegten Weg mit $$\Delta \varvec{x}$$ und die vergangene Zeit mit $$\Delta t$$ bezeichnen, erhalten wir das vierdimensionale Raumzeitintervall $$\Delta s$$. In diesem Fall ist
$$\begin{aligned} \Delta s^2 =\Delta \varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M} \Delta \varvec{\vec {x}} \end{aligned}$$
(1.53)
Der „Abstand“ $$\Delta s$$ zwischen den beiden Ereignissen ist das invariante Intervall in der vierdimensionalen Raumzeit. Da die rechte Seite von Gl. (1.53) invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation ist, hat $$\Delta s$$, unabhängig vom gewählten Inertialsystem, immer die gleiche Länge. Die Relativitätstheorie relativiert also nicht alles! $$\Delta s^2$$ ist negativ, wenn der Abstand $$\Delta \varvec{\vec {x}}_1$$ so weit vom Ursprung entfernt ist, dass kein Lichtsignal vom Ursprung zum Ereignis $$\varvec{\vec {x}}_1$$ in endlicher Zeit gelangen kann. Diese Möglichkeit wird im nächsten Abschnitt näher untersucht.
Lichtkegel

Ein Lichtblitz  im Zeitpunkt $$t_0=0$$ breitet sich im dreidimensionalen Raum kugelförmig mit Lichtgeschwindigkeit c aus. Im Zeitpunkt $$t_1>t_0$$ hat das Licht eine Kugelfläche mit dem Radius $$r_1=c\, t_1$$ erreicht, im Zeitpunkt $$t_2>t_1$$ eine Kugelfläche mit dem größeren Radius $$r_2=c\, t_2$$, usw. Man kann diese Bewegung der Lichtwellen in ein Raumzeitdiagramm umsetzen, in dem die Zeitkoordinate $$c\, t$$ senkrecht und eine Raumkoordinate $$\varvec{x}$$ horizontal dargestellt sind (Abb. 1.6). Da als Zeitkoordianate die mit der Lichtgeschwindigkeit c multiplizierte Zeit t dargestellt wird, bewegen sich Photonen in dieser Darstellung auf Geraden, die unter $$45^\circ $$ geneigt sind. Für Photonen ergibt sich so für die möglichen Bahnen ein nach oben geöffneter Kegel, dessen Wand eine Neigung von $$45^\circ $$ hat. Die Bahn eines sich bewegenden Teilchens, dessen Geschwindigkeit immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein muss, muss immer innerhalb des Lichtkegels verlaufen mit einer Steigung, die immer kleiner als $$45^\circ $$ gegenüber der Zeitachse $$c\ t$$ ist.

Die in der Zeit vor $$t_0=0$$, z. B. in dem Zeitintervall von $$t_{-1}<t_0$$ bis $$t_0$$, den Punkt $$\varvec{E}$$ im Zeitpunkt $$t_0$$ erreichenden Photonen, kommen alle aus dem nach unten offenen Kegel. Insgesamt erhält man wieder einen Kegel, den Kegel der Ereignisse, die das Ereignis $$\varvec{E}$$ erreichen können, also von $$\varvec{E}$$ aus auch beobachtbar sind.

In der Minkowskischen Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie sind in jedem Ereignispunkt die Lichtkegel parallel ausgerichtet; die Mittelachsen der Lichtkegel sind alle parallel zur Zeitachse. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die Raumkrümmung das nicht mehr immer der Fall sein, d. h., die Mittelachsen der Lichtkegel sind nicht mehr immer parallel zur Zeitachse.

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Abb. 1.6

Lichtkegel

Eigenzeit
Wenn man von irgendeinem Inertialsystem aus eine sich ganz beliebig bewegende Uhr betrachtet, kann man in jedem Zeitaugenblick diese Bewegung als gleichförmig auffassen. Führt man in jedem Zeitpunkt ein mit der Uhr fest verbundenes Koordinatensystem ein, dann ist das auch wieder ein Inertialsystem. In dem infinitesimalen Zeitabschnitt $$\mathrm{d}t$$, gemessen mit der Uhr des Beobachters im Inertialsystem $$\mathcal{X}$$, legt die bewegte Uhr die Strecke $$(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2)^{1/2}$$ zurück. In dem mit der Uhr verbundenem Inertialsystem $$\mathcal{X'}$$ bewegt sich die Uhr nicht, es ist $$\mathrm{d}x'=\mathrm{d}y'=\mathrm{d}z'=0$$, aber es vergeht die mit der bewegten Uhr angezeigte Zeit $$\mathrm{d}t'$$. Wegen der Invarianz der quadratischen Form
$$ \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}^{^\intercal }\varvec{M}\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}=\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}\varvec{M}\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}' $$
gilt mit
$$\begin{aligned} \mathrm{d}\vec {\varvec{x}}^{^\intercal }&=[c\mathrm{d}t,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y, \mathrm{d}z]\quad \text {und}\quad \mathrm{d}\vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }} =[c\mathrm{d}t', 0,0,0] \nonumber \\ \mathrm{d}s^2&=c^2 \mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2=c^2\mathrm{d}t'^2, \end{aligned}$$
(1.54)
also
$$\begin{aligned} \mathrm{d}t'=\frac{1}{c}\mathrm{d}s&=\frac{1}{c}\sqrt{c^2 \mathrm{d}t^2-\mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2}\\&=\mathrm{d}t\sqrt{1-\frac{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}{c^2\mathrm{d}t^2}}, \end{aligned}$$
oder mit
$$ v^2=\frac{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}{\mathrm{d}t^2}, $$
wobei v die Geschwindigkeit der bewegten Uhr gegenüber dem Beobachter ist, schließlich wieder die Beziehung (1.18)
$$\begin{aligned} \mathrm{d}t'=\mathrm{d}t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \end{aligned}$$
(1.55)
Wenn also die unbewegte Uhr des Beobachters das Zeitintervall $$t_2-t_1$$ anzeigt, dann zeigt die bewegte Uhr das Intervall $$t_2'-t_1'$$ der Eigenzeit an,
$$\begin{aligned} t_2'-t_1'=\int ^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}\,\mathrm{d}t. \end{aligned}$$
(1.56)
Das Eigenzeitintervall einer sich bewegenden Uhr ist nach (1.55) und (1.56) immer kleiner als das Zeitintervall im unbewegten System. Allgemein wird die Eigenzeit einer bewegten Uhr mit $$\tau $$ statt mit $$t'$$ bezeichnet. Nach Gl. (1.54) gilt also für die Eigenzeit
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}s/c}}. \end{aligned}$$
(1.57)

1.4 Relativistische Geschwindigkeitsaddition

1.4.1 Galileische Addition von Geschwindigkeiten

Galilei beobachtete ein Schiff, das sich mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ relativ zur Küste bewegt, und einen Matrosen, der sich auf dem Schiff mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u}$$ bewegt. Er berechnete die Geschwindigkeit, mit der sich der Matrose relativ zur Küste bewegt, als Addition der beiden Geschwindigkeiten $$\varvec{v}$$ und $$\varvec{u}$$. Wenn die Geschwindigkeiten, mit denen sich das Schiff und der Matrose bewegen, klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind, erhält man die Vektorsumme
$$\varvec{w}=\varvec{v}+\varvec{u},$$
wobei $$\varvec{w}$$ die Geschwindigkeit des Matrosen relativ zur Küste ist.

1.4.2 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten

Gegeben seien die drei Bezugssysteme $$\mathcal {X},\ \mathcal {X}'$$ und $$\mathcal {X}''$$ (Abb. 1.7). Das Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ bewegt sich gegenüber dem Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ und das Bezugssystem $$\mathcal {X}''$$ gegenüber dem Bezugssystem $$\mathcal {X}'$$ mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u} = \frac{\mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}t'}$$. Mit welcher Geschwindigkeit $$\varvec{w}\,{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ }\,\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}$$ bewegt sich dann das Bezugssystem $$\mathcal {X}''$$ gegenüber dem Bezugssystem $$\mathcal {X}$$? Für das obige Problem von Galilei ist $$\mathcal {X}$$ das zur Küste gehörige Bezugssystem; $$\mathcal {X}'$$ ist das Bezugssystem für das Schiff und $$\mathcal {X}''$$ das Bezugssystem für den Matrosen.
../images/311137_1_De_1_Chapter/311137_1_De_1_Fig7_HTML.png
Abb. 1.7

Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Es ist
$$\begin{aligned} \varvec{w}=\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t'}\left( \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}\right) ^{-1}. \end{aligned}$$
(1.58)
Zwischen $$\vec {\varvec{x}}$$ und $$\vec {\varvec{x}}'$$ besteht die Beziehung $$\vec {\varvec{x}}'=\varvec{L}(v)\vec {\varvec{x}}$$, oder, nach $$\vec {\varvec{x}}$$ aufgelöst,
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{x}}=\varvec{L}^{-1}(v)\vec {\varvec{x}}'. \end{aligned}$$
(1.59)
Im Einzelnen gilt
$$\begin{aligned} t=\gamma _v t' + \frac{\gamma _v}{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}', \end{aligned}$$
(1.60)
und
$$\begin{aligned} \varvec{x} = \varvec{x}' + (\gamma _v -1)\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}'}{v^2}\varvec{v} +\gamma _v\varvec{v} t'. \end{aligned}$$
(1.61)
Aus Gl. (1.60) folgt
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}=\gamma _v +\frac{\gamma _v}{c^2}\varvec{v}^{^\intercal }\frac{\mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}t'}=\gamma _v\left( 1+\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) \end{aligned}$$
(1.62)
und aus Gl. (1.61)
$$ \frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t'}=\frac{\mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}t'}+(\gamma _v-1)\frac{\varvec{v}\varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\frac{\mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}t'}+\gamma _v\varvec{v} $$
$$\begin{aligned} =\varvec{u}+(\gamma _v-1)\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{v^2}\varvec{v} +\gamma _v\varvec{v}. \end{aligned}$$
(1.63)
Die Beziehungen (1.62) und (1.63) in Gl. (1.58) eingesetzt, liefert
$$\begin{aligned} \varvec{w}=\frac{\varvec{v} + \frac{1}{\gamma _v}\varvec{u} +\left( 1-\frac{1}{\gamma _v}\right) \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{v^2}\varvec{v}}{1 + \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}, \end{aligned}$$
(1.64)
oder nach Addition von $$\varvec{u}-\varvec{u}=\varvec{o}$$ im Zähler
$$\begin{aligned} \varvec{w}=\frac{\varvec{v} + \varvec{u} +(\frac{1}{\gamma _v}-1)\left( \varvec{u} - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{v^2}\varvec{v}\right) }{1 +\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}. \end{aligned}$$
(1.65)
Das ist also die Geschwindigkeit des Punktes $$\varvec{P}$$ relativ zum Bezugssystem $$\mathcal {X}$$. Gl. (1.65) soll noch etwas umgeformt werden, um ihr Verhalten besser überblicken zu können. Für ein doppeltes vektorielles Produkt gilt nämlich
$$\begin{aligned} \varvec{a}\times (\varvec{b}\times \varvec{c})=(\varvec{a}^{^\intercal }\varvec{c})\varvec{b} - (\varvec{a}^{^\intercal }\varvec{b})\varvec{c}. \end{aligned}$$
(1.66)
Damit kann man die letzte Klammer im Zähler von (1.65) wie folgt umformen:
$$ \varvec{u}-\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{v^2}\varvec{v} = \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{v}}{v^2}\varvec{u}-\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{v^2}\varvec{v}=\frac{1}{v^2}(\varvec{v}\times (\varvec{u}\times \varvec{v})), $$
d. h., statt (1.65) kann man auch schreiben,
$$\begin{aligned} \varvec{w}=\frac{\varvec{v} + \varvec{u} +\frac{1}{v^2}(\frac{1}{\gamma _v}-1)\left( \varvec{v}\times (\varvec{u}\times \varvec{v})\right) }{1 + \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}. \end{aligned}$$
(1.67)
Sind die beiden Geschwindigkeiten $$\varvec{v}$$ und $$\varvec{u}$$ parallel, so ist $$\varvec{v}\times \varvec{u} = \varvec{0}$$, und aus Gl. (1.67) ist klar ersichtlich, dass sich für die Summe der beiden Geschwindigkeiten
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ \varvec{w} =\frac{\varvec{v} + \varvec{u}}{1 + \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}}} \end{aligned}$$
(1.68)
ergibt. Sind dagegen die beiden Geschwindigkeiten $$\varvec{v}$$ und $$\varvec{u}$$ senkrecht zueinander, so ist $$\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u} = \varvec{0}$$, und jetzt folgt aus Formel (1.65) für die Summe der beiden Geschwindigkeiten
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ \varvec{w}=\varvec{v} + \frac{1}{\gamma _v}\varvec{u}}}. \end{aligned}$$
(1.69)
Für den weiteren Sonderfall, in dem sowohl der Vektor $$\varvec{u}$$ nur eine Komponente in der x-Richtung hat,
$$\varvec{u}=\left( \begin{array}{c}u_{1}\\ 0\\ 0\end{array}\right) $$
als auch der Vektor
$$ \varvec{v}=\left( \begin{array}{c}v_{1}\\ 0\\ 0\end{array}\right) , $$
ist ($$w_2=w_3=0$$)
$$\begin{aligned} \underline{\underline{w_1=\frac{v_{1}+u_{1}}{1+\frac{u_{1}v_{1}}{c^2}}}.} \end{aligned}$$
(1.70)

1.5 Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit

Wie müssen die Grundgleichungen der Mechanik umgeschrieben werden, damit sie invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation sind? Wir gehen aus von der Transformationsgleichung (1.36)
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{x}}' = \varvec{L}\, \vec {\varvec{x}} \end{aligned}$$
(1.71)
mit dem vierdimensionalen Raumzeitvektor
$$\vec {\varvec{x}}=\left( \begin{array}{c}c\ t\\ \varvec{x}\end{array}\right) $$
und der Transformationsmatrix gemäß (1.37)
$$ \varvec{L} = \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{ c}\ \varvec{v}\\ \hline -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v}^{^\intercal }&{} \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\end{array}\right) . $$
Differenziert man Gl. (1.71) nach der Zeit $$t'$$, erhält man
$$ \frac{\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}'}{\mathrm{d}t'}=\left( \begin{array}{c}c\\ \frac{ \mathrm{d}\varvec{x}'}{\mathrm{d}t'} \end{array}\right) =\varvec{{L}}\,\frac{\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}. $$
Nach (1.34) ist mit $$\varvec{u}\,{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ }\,\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}$$ (das ist jetzt ein anderes $$\varvec{u}$$ als im vorhergehenden Abschnitt)
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( -\frac{\gamma }{c^2}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x} + \gamma t\right) =-\frac{\gamma }{c^2}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u} + \gamma . \end{aligned}$$
(1.72)
Damit erhält man
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}'\end{array}\right) = \varvec{L}\,\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \,\frac{1}{\gamma }\,\frac{1}{1 -\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}. \end{aligned}$$
(1.73)
Wie man an Gl. (1.73) sieht, transformiert sich der Geschwindigkeitsvektor $$\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) $$ nicht mittels einer Lorentz-Transformation in den getrichenen Geschwindigkeitsvektor $$\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}'\end{array}\right) $$. Damit das der Fall ist, muss die Definition der Geschwindigkeit modifiziert werden. Hierzu eine kurze Zwischenrechnung.
Die zweite Blockzeile von (1.73) liefert
$$ \varvec{u}'=\frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) }(\varvec{A}\,\varvec{u} - \gamma \varvec{v}). $$
Multipliziert man diesen Vektor skalar mit sich selbst, erhält man
$$ u'^2\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{u}'{^{^\intercal }} \varvec{u}' = \left( \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) }\right) ^2(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{A}^{^\intercal }-\gamma \varvec{v}^{^\intercal })(\varvec{A}\,\varvec{u} - \gamma \varvec{v}). $$
Da $$\varvec{A}$$ symmetrisch ist, $$\varvec{A}=\varvec{A}^{^\intercal }$$, und $$\varvec{A}^2=\varvec{I}+\frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{vv}^{^\intercal }$$, wird daraus
$$ u'^2 = \frac{1}{\gamma ^2\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) ^2}\left( u^2 - \frac{\gamma ^2}{c^2} (\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2 - 2\gamma ^2(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2 + \gamma ^2 v^2\right) $$
$$\begin{aligned} =\frac{1}{\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) ^2}\left( \frac{1}{\gamma ^2}u^2 - \frac{1}{c^2} (\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2 - 2(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2 + v^2\right) . \end{aligned}$$
(1.74)
Mit
$$ \frac{u^2}{\gamma ^2}=\left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right) u^2=u^2-\frac{v^2u^2}{c^2} $$
wird aus Gl. (1.74) (ohne $$\gamma $$)
$$\begin{aligned} u'^2 = \frac{1}{\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) ^2}\left( u^2 + \frac{-(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2-v^2u^2}{c^2} - 2(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{v})^2 + v^2\right) . \end{aligned}$$
(1.75)
Mit Hilfe von (1.75) erhält man für
$$\begin{aligned} 1-\frac{u'^2}{c^2}&= \frac{1}{\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) ^2}\left( 1 - \frac{u^2}{c^2} -\frac{v^2}{c^2}+\frac{v^2u^2}{c^4}\right) \\&= \frac{1}{\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) ^2}\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) \left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right) \end{aligned}$$
und daraus
$$ \sqrt{1-\frac{u'^2}{c^2}} = \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Bigg /\left( 1 - \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) , $$
bzw. mit
$$\gamma _u\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$
und
$$\gamma _{u'}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u'^2}{c^2}}}$$
schließlich
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\gamma \left( 1-\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}\right) =\frac{\gamma _{u'}}{\gamma _u}}}. \end{aligned}$$
(1.76)
Setzt man das Ergebnis (1.76) in Gl. (1.73) ein, erhält man
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}'\end{array}\right) = \varvec{L}\,\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \,\frac{\gamma _{u}}{\gamma _{u'}}, \end{aligned}$$
(1.77)
oder
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}\gamma _{u'}c\\ \gamma _{u'}\varvec{u}'\end{array}\right) = \varvec{L}\,\left( \begin{array}{c}\gamma _u c\\ \gamma _u\varvec{u}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.78)
Der so modifizierte neue Geschwindigkeitsvektor
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\vec {\varvec{u}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u\left( \begin{array}{c} c\\ \varvec{u}\end{array}\right) }} \end{aligned}$$
(1.79)
transformiert sich jetzt mittels einer Lorentz-Transformation $$(\varvec{L})$$ in den gestrichenen Vektor $$\vec {\varvec{u}}'$$:
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{u}}' = \varvec{L}\,\vec {\varvec{u}}. \end{aligned}$$
(1.80)

Damit eignet sich die so definierte Geschwindigkeit $$\vec {\varvec{u}}$$ viel besser zur Formulierung physikalischer Gesetze, da sie in jedem Bezugssystem die gleiche Form aufweisen. Dies wäre mit $$\varvec{u}$$ nicht der Fall. Zur Klarstellung sei nochmals hervorgehoben, dass sich ein Masseteilchen oder ein Schwerpunkt mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u}$$ in einem Bezugssystem $$\mathcal{X}'$$ bewegt, das sich selbst mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ gegenüber einem anderen Bezugssystem bewegt oder bewegen kann. Das ist der Unterschied zwischen $$\varvec{u}$$ und $$\varvec{v}$$!

Übrigens ist natürlich auch die quadratische Form für die Geschwindigkeit
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{u}}^{^\intercal }\varvec{M}\vec {\varvec{u}} = \gamma _u^2c^2 - \gamma _u^2\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{u}=\frac{c^4}{c^2-u^2} - \frac{c^2u^2}{c^2-u^2} = c^2 \end{aligned}$$
(1.81)
invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation, denn es ist – wie man leicht zeigen kann – auch $$\vec {\varvec{p}}'{^{^\intercal }}\varvec{M}\vec {\varvec{p}}'=m_0 c^2$$.
In (1.57) wurde die Eigenzeit durch $$\mathrm{d}\tau =\frac{1}{c}\mathrm{d}s$$ eingeführt. Es ist
$$ \mathrm{d}s^2=\varvec{\vec {x}}^{^\intercal }\varvec{M\vec {x}}=c^2\mathrm{d}t^2-\varvec{x}^{^\intercal }\varvec{x}=c^2\mathrm{d}t^2\left( 1-\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}\varvec{x}^{^\intercal }}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}\right) , $$
also mit $$\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}=\varvec{u}$$
$$ \mathrm{d}\tau =\mathrm{d}t\left( 1-\frac{1}{c^2}\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{u}\right) ^{\frac{1}{2}}=\mathrm{d}t\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) ^{\frac{1}{2}}, $$
oder mit $$\gamma _u=\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) ^{-\frac{1}{2}}$$
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\mathrm{d}t=\gamma _u \mathrm{d}\tau }}. \end{aligned}$$
(1.82)
Das ist der gleiche Zusammenhang wie bei der Zeitdehnung in (1.73). $$\tau $$ ist also die Zeit, die eine mitbewegte Uhr anzeigt, während t die Zeit ist, die ein ruhender Beobachter misst. Die bewegte Uhr muss sich allerdings jetzt nicht mehr geradlinig und gleichförmig bewegen!
In (1.79) ist $$\varvec{u}=\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}$$. Ersetzt man darin $$\mathrm{d}t$$ durch Gl. (1.82), dann ist $$\varvec{u}=\frac{1}{\gamma _u}\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}\tau }$$ bzw. $$\gamma _u\varvec{u}=\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}\tau }$$. Weiterhin ist
$$ \mathrm{d}\vec {\varvec{x}}=\left( \begin{array}{c}c\mathrm{d}t\\ \mathrm{d}\varvec{x}\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}c\gamma _u\mathrm{d}\tau \\ \mathrm{d}\varvec{x}\end{array}\right) , $$
also
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\frac{\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}\tau }}}=\left( \begin{array}{c}\gamma _u c \\ \gamma _u\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}\tau }\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}\gamma _u c\\ \gamma _u\varvec{u}\end{array}\right) =\underline{\underline{\varvec{\vec {u}}}}. \end{aligned}$$
(1.83)
Ist also die Trajektorie in der Raumzeit durch die Eigenzeit $$\tau $$ parameterisiert, $$\vec {\varvec{x}}=\vec {\varvec{x}}(\tau )$$, dann ist $$\vec {\varvec{u}}=\frac{\mathrm{d}{\vec {\varvec{x}}}}{\mathrm{d}\tau }$$ die Vierergeschwindigkeit entlang der Trajektorie.

1.6 Lorentz-Transformation des Impulses

Multipliziert man die Gleichung $$\vec {\varvec{u}}'=\varvec{L}\,\vec {\varvec{u}}$$ mit der Ruhemasse $$m_0$$, erhält man
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} m_0\gamma _{u'} c\\ m_0\gamma _{u'}{\varvec{u}}'\end{array}\right) = \varvec{L}\left( \begin{array}{c}m_0\gamma _{u} c\\ m_0\gamma _{u}{\varvec{u}}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.84)
Hierin kann
$$\begin{aligned} m_0\gamma _u\varvec{u} =m_u \varvec{u} = m_u\frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}t}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{p} \end{aligned}$$
(1.85)
mit
$$ m_u\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ m_0\gamma _u= \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} $$
wie üblich als Impuls definiert werden. Der Impulsvektor
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{p}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}m_u\, c\\ \varvec{p}\end{array}\right) = m_0\,\vec {\varvec{u}} = m_0\gamma _u\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \end{aligned}$$
(1.86)
transformiert sich also wieder gemäß
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{p}}' = \varvec{L}\,\vec {\varvec{p}}. \end{aligned}$$
(1.87)
Auch die hierzu gehörige quadratische Form
$$ \vec {\varvec{p}}^{^\intercal }\varvec{M}\vec {\varvec{p}} = m_0^2\vec {\varvec{u}}^{^\intercal }\varvec{M}\vec {\varvec{u}} = m_0^2c^2 $$
ist invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation, denn es ist auch
$$\vec {\varvec{p}}'{^{^\intercal }}\varvec{M}\vec {\varvec{p}}'=m_0^2 c^2.$$

1.7 Transformierbare Beschleunigungen und Kräfte

1.7.1 Beschleunigung

Die Beschleunigung wird allgemein als die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit definiert. Differenziert man den modifizierten vierdimensionalen Geschwindigkeitsvektor
$$\vec {\varvec{u}} = \left( \begin{array}{c}\gamma _u c \\ \gamma _u \varvec{u}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^4$$
nach der Zeit t, dann erhält man für die Ableitung der vektoriellen Komponente dieses Vektors
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma _u\varvec{u})=\frac{\mathrm{d}\gamma _u}{\mathrm{d}t}\varvec{u} + \gamma _u\frac{\mathrm{d}\varvec{u}}{\mathrm{d}t}. \end{aligned}$$
(1.88)
Insbesondere für $$\frac{\mathrm{d}\gamma _u}{\mathrm{d}t}$$ erhält man mit dem üblichen dreidimensionalen Beschleunigungsvektor
$$\varvec{a}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{\mathrm{d}\varvec{u}}{\mathrm{d}t}\in \mathbb {R}^3$$
und
$$\frac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{u}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\varvec{u}^{^\intercal }}{\mathrm{d}t}\varvec{u}+\varvec{u}^{^\intercal }\frac{\mathrm{d}\varvec{u}}{\mathrm{d}t}=2\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}$$
das Ergebnis für
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\gamma _u}{\mathrm{d}t}&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) ^{-1/2} =-\frac{1}{2}\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) ^{-3/2}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( 1-\frac{u^2}{c^2}\right) \nonumber \\&=-\frac{1}{2}\gamma _u^3\cdot \frac{-2\varvec{u}^{^\intercal }}{c^2}\cdot \varvec{a}, \end{aligned}$$
(1.89)
also
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ \frac{\mathrm{d}\gamma _u}{\mathrm{d}t}=\frac{\gamma _u^3}{c^2}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}}}. \end{aligned}$$
(1.90)
Mit Gl. (1.90) erhält man für Gl. (1.88)
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma _u\varvec{u})= \gamma _u\cdot \varvec{a}+\frac{\gamma _u^3}{c^2}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}\cdot \varvec{u}}}. \end{aligned}$$
(1.91)
Differenziert man die Geschwindigkeitsgleichung (1.78)
$$\left( \begin{array}{c}\gamma _{u'}c \\ \gamma _{u'}\varvec{u}'\end{array}\right) = \varvec{L}\,\left( \begin{array}{c}\gamma _u c\\ \gamma _u\varvec{u}\end{array}\right) $$
nach der Zeit $$t'$$, erhält man
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\left( \begin{array}{c}\gamma _{u'}c\\ \gamma _{u'}\varvec{u}'\end{array}\right) = \varvec{L}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \begin{array}{c}\gamma _u c\\ \gamma _u\varvec{u}\end{array}\right) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}. \end{aligned}$$
(1.92)
Aus den Gl. (1.72) und (1.76) folgt
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}=\frac{\gamma _u}{\gamma _{u'}}. \end{aligned}$$
(1.93)
Das eingesetzt in Gl. (1.92) ergibt mit dem neu definierten vierdimensionalen Beschleunigungsvektor
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{a}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec {\varvec{u}}\in \mathbb {R}^4 \end{aligned}$$
(1.94)

die Lorentz-Transformation des vierdimensionalen Beschleunigungsvektors $$\vec {\varvec{a}}$$,

$$\begin{aligned} \vec {\varvec{a}}' = \varvec{L}\,\vec {\varvec{a}}. \end{aligned}$$
(1.95)
Der in Gl. (1.94) definierte Beschleunigungsvektor
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{a}}= \gamma _u\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \begin{array}{c}\gamma _uc\\ \gamma _u\varvec{u}\end{array}\right) \end{aligned}$$
(1.96)
ist also geeignet, physikalische Gesetze in relativistischer Form zu formulieren! Mit $$\mathrm{d}t=\gamma _u \mathrm{d}\tau $$ und $$\varvec{\vec {u}}=\frac{\mathrm{d}\varvec{\vec {x}}}{\mathrm{d}\tau }$$ kann man für den Beschleunigungsvektor (1.96) auch schreiben,
$$\begin{aligned} \varvec{\vec {a}}=\frac{\mathrm{d}\varvec{\vec {u}}}{\mathrm{d}\tau }= \frac{\mathrm{d}^2\varvec{\vec {x}}}{\mathrm{d}\tau ^2}. \end{aligned}$$
(1.97)

Für den Vektor $$\vec {\varvec{a}}$$ erhält man unter Verwendung von (1.90) und (1.91) außerdem

$$\begin{aligned} \vec {\varvec{a}}=\left( \begin{array}{c}\frac{\gamma _u^4}{c}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}\\ \gamma _u^2\cdot \varvec{a}+\frac{\gamma _u^4}{c^2}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}\cdot \varvec{u}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.98)
Wird $$\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{M\vec {u}}=c^2$$ nach der Eigenzeit $$\tau $$ differenziert, erhält man
$$ \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{M}\frac{\mathrm{d}\varvec{\vec {u}}}{\mathrm{d}\tau }+\frac{\mathrm{d}\varvec{\vec {u}}^{^\intercal }}{\mathrm{d}\tau }\varvec{M\vec {u}}= 2\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{M}\frac{\mathrm{d}\varvec{\vec {u}}}{\mathrm{d}\tau }=2\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{M}\varvec{\vec {a}}=0, $$
d. h., die beiden Vektoren $$\varvec{\vec {u}}$$ und $$\varvec{M}\varvec{\vec {a}}$$ sind im vierdimensionale Raum orthogonal zueinander.
Für jeden Zeitpunkt einer beliebig beschleunigten Bewegung, lässt sich immer ein Bezugssystem $$\mathcal{X}'$$ angeben, das ein Inertialsystem ist, genannt „lokales Inertialsystem“. Man erhält die zugehörige Lorentz-Transformation, indem man $$\varvec{L}(\varvec{u})$$ als Transformationsmatrix wählt. Dann ist mit
$$ \varvec{A}(\varvec{u})\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{I}+(\gamma _u-1)\frac{\varvec{u}\varvec{u}^{^\intercal }}{u^2}, $$
in der Tat
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{a}}'&={ \varvec{L}}(\varvec{u})\,\vec {\varvec{a}}=\left( \begin{array}{c|c}\gamma _u &{}-\frac{\gamma _u}{c}\ \varvec{u}^{^\intercal }\\ \hline -\frac{\gamma _u}{ c}\ \varvec{u}&{}\varvec{I} +(\gamma _u - 1)\frac{\varvec{u}\ \varvec{u}^{^\intercal }}{u^2} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c}\frac{\gamma _u^4}{c}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}\\ \gamma _u^2\cdot \varvec{a}+\frac{\gamma _u^4}{c^2}\cdot \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}\cdot \varvec{u} \end{array}\right) \\&=\left( \begin{array}{c}-\gamma _u^3\frac{\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}}{c}-\gamma _u^5\frac{(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a})(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{u})}{c^3}+\gamma _u^5 \frac{\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}}{c}\\ \\ \gamma _u^2\varvec{A}(\varvec{u})\varvec{a}+\gamma _u^4\frac{\varvec{u}(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a})}{c^2}+(\gamma _u-1)\gamma _u^4\frac{\varvec{u}(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{u})(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a})}{c^2u^2}-\gamma _u^5 \frac{(\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a})\varvec{u}}{c^2}\end{array}\right) \\&=\left( \begin{array}{c}0\\ \gamma _u^2\varvec{A}(\varvec{u})\varvec{a}\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}0\\ \gamma _u^2\varvec{a}+\gamma _u^2(\gamma _u-1)\frac{\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{a}}{u^2}\varvec{u}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}0\\ \varvec{a}'\end{array}\right) . \end{aligned}$$

1.7.2 Bewegungsgleichung und Kraft

Gesucht wird jetzt die vierdimensionale Verallgemeinerung $$\vec {\varvec{f}}$$ des dreidimensionalen Kraftvektors $$\varvec{f}$$. Die relativistische Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt muss Lorentzinvariant sein, und im Ruhesystem des betrachteten Massenpunktes muss das Newtonsche Trägheitsgesetz gelten:
$$\begin{aligned} m_0\frac{\mathrm{d}\varvec{u}}{\mathrm{d}t}=\varvec{f}\in \mathbb {R}^3. \end{aligned}$$
(1.99)
Das dazugehörige Bezugssystem sei $$\mathcal{X}$$. Weiterhin sei wieder $$\mathcal{X}'$$ das Inertialsystem, das sich relativ zu $$\mathcal{X}$$ mit der konstanten Geschwindigkeit $$\varvec{u}(t_0)$$ bewegt. Das Masseteilchen ruht momentan zur Zeit $$t = t_0$$ in $$\mathcal{X}'$$. Die Bewegungsgleichung (1.99) bezieht sich auf einen Zeitpunkt und eine kleine Umgebung. Für diese Umgebung zum Zeitpunkt $$t = t_0\pm \mathrm{d}t$$ ist die Geschwindigkeiten in $$\mathcal{X}'$$ beliebig klein. Für Geschwindigkeiten $$v\ll c$$ gilt (1.99). Wir gehen jetzt davon aus, dass auch in $$\mathcal{X}'$$ exakt gilt:
$$\begin{aligned} m_0\frac{\mathrm{d}\varvec{u}'}{\mathrm{d}t'}=\varvec{f}\in \mathbb {R}^3. \end{aligned}$$
(1.100)
Aus dieser Gl. (1.100) können die relativistischen Bewegungsgleichungen in einem beliebigen Bezugssystem abgeleitet werden. In Gl. (1.100) ist $$m_0$$ die Ruhemasse und $$\varvec{f}'$$ die dreidimensionale Kraft in $$\mathcal{X}'$$. Jetzt erweitern wir den Vektor $$\varvec{f}'$$ in (1.100) zu einem Vierervektor und nennen das Ergebnis $$\vec {\varvec{f} }'$$:
$$\begin{aligned} m_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} \left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}'\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}0\\ \varvec{f}\end{array}\right) \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \vec {\varvec{f}}'. \end{aligned}$$
(1.101)
Dadurch ist $$\vec {\varvec{f}}'$$ im ruhenden System $$\mathcal{X}'$$ festgelegt. In dem Bezugssystem $$\mathcal{X}$$, in dem sich der Massenpunkt mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u}$$ bewegt, erhält man durch eine Lorentz-Transformation mittels $$\varvec{L}(-\varvec{u})$$:
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}} = \varvec{L}(-\varvec{u})\left( \begin{array}{c}0\\ \varvec{f}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}\frac{\gamma _u}{c}\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}\\ \varvec{A}(\varvec{u})\varvec{f}\end{array}\right) \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}f_0\\ \varvec{f}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.102)
Die Gleichung
$$ m_0\gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \begin{array}{c}\gamma c\\ \gamma \varvec{u}\end{array}\right) =\vec {\varvec{f}}=\left( \begin{array}{c}f_0\\ \varvec{f}\end{array}\right) , $$
d. h.
$$\begin{aligned} m_0\, \vec {\varvec{a}} = \vec {\varvec{f}}, \end{aligned}$$
(1.103)
besitzt alle gewünschten Eigenschaften! Die Vierervektoren $$\vec {\varvec{a}}$$ und $$\vec {\varvec{f}}$$ sind Lorentzinvariant und im Ruhesystem des Teilchens reduziert sich diese Gleichung auf die Newtonsche Bewegungsgleichung
$$ m_0\left( \begin{array}{c}0\\ \frac{\mathrm{d}\varvec{u}'}{\mathrm{d}t}\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}0\\ \varvec{f}'\end{array}\right) . $$
Mit der geschwindigkeitsabhängigen Masse
$$m_u\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u m_0$$
erhält man für die letzte vektorielle dreidimensionale Komponente der Bewegungsgleichung (1.103)
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}(m_u\varvec{u})}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma _u}\varvec{f}. \end{aligned}$$
(1.104)
Auch in der Relativitätstheorie wird die Zeitableitung von $$m_u\,\varvec{u}$$ als Kraft interpretiert. Die Komponenten $$f_i$$ der relativistischen Bewegungsgleichung sind also nach (1.103)
$$\begin{aligned} \underline{\underline{ f_0=\gamma _u\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m_u\, c)=\frac{\gamma _u}{c}\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}'}} \end{aligned}$$
(1.105)
und
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\varvec{f}=\gamma _u\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m_u\,\varvec{u})=\varvec{A}(\varvec{u})\varvec{f}'}}. \end{aligned}$$
(1.106)

1.7.3 Energie und Ruhemasse

Die Gl. (1.105) mit $$\frac{c}{\gamma _u}$$ multipliziert, liefert
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m_u c^2)=\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{k}. \end{aligned}$$
(1.107)
Da in Gl. (1.107) $$\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{k}$$ die von der Kraft $$\varvec{k}$$ pro Zeiteinheit geleistete Arbeit ist, muss die linke Seite die zeitliche Änderung der Energie sein, $$m_uc^2 = m_0\gamma _uc^2$$ ist also eine Energie. In Gl. (1.103) ist also die erste Komponente die zeitliche Änderung der Energie dar und die letzten drei Komponenten die zeitliche Änderung des Impulses. Es liegt nahe, diese relativistische Energie einzuführen:
$$E = m_uc^2= m_0\gamma _uc^2. $$

Für $$\varvec{u} = \varvec{0}$$ ist $$\gamma _u = 1$$, d. h., es ist

$$E_0 = m_0c^2, $$

die „Ruheenergie“ in Einsteins berühmter Formel.

Der vierdimensionale Impulsvektor $$\vec {\varvec{p}}$$ wird dann als Kombination von Energie und Impuls angesehen:
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{p}}=\left( \begin{array}{c}E/c\\ \varvec{p}\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.108)
Für die quadratische Form
$$\vec {\varvec{p}}^{^\intercal }\varvec{M}\vec {\varvec{p}}=m_0^2c^2$$
erhält man jetzt
$$\vec {\varvec{p}}^{^\intercal }\varvec{M}\vec {\varvec{p}}=(E/c)\left( \begin{array}{c}E/c\\ Mbf{p}\end{array}\right) =E^2/c^2-p^2=m_0^2c^2,$$
d. h.
$$\begin{aligned} E=\sqrt{(m_0c^2)^2+p^2c^2}. \end{aligned}$$
(1.109)
Für hohe Geschwindigkeiten überwiegt der Impulsausdruck $$p^2c^2$$. Dann ist $$E=pc$$, wie für Neutrinos in Teilchenbeschneunigern (CERN). Für kleine Geschwindigkeiten $$u<< c$$ kann man die Näherung ansetzen
$$\begin{aligned} E_{kin}\approx m_0c^2+\frac{1}{2}m_0u^2. \end{aligned}$$
(1.110)
Der erste Term ist die Ruheenergie $$E_0$$, der zweite Term die klassische Energie $$E_{kin}$$. Die relativistische kinetische Energie ist
$$\begin{aligned} E_{kin}=E-m_0c^2=(\gamma _u-1)m_0c^2. \end{aligned}$$
(1.111)
Für $$v\rightarrow c$$ geht $$E_{kin}\rightarrow \infty $$. Gl. (A.79) ist der Grund dafür, dass Masseteilchen nicht auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden können!

1.7.4 Abstrahlung von Energie

Ein in $$\mathcal {X}'$$ ruhender Körper mit der Ruhemasse $$m_{0,vorher}$$ strahle in einer bestimmten Zeit die Energie $$E'_{Strahlung}$$ in Form von Licht oder Wärmestrahlung aus. Diese Ausstrahlung soll symmetrisch so erfolgen, dass der Gesamtimpuls der abgestrahlten Energie in $$\mathcal {X}'$$ gleich null ist, d. h., der Körper bleibt während des Abstrahlungsvorganges in Ruhe. Der Impuls-Energie-Vektor der Strahlung in $$\mathcal {X}'$$ ist also
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}E'_{Strahlung}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.112)
Gegenüber dem Bezugssystem $$\mathcal {X}$$ bewege sich der Körper mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$. In diesem Bezugssystem ist der Gesamtimpuls gleich dem Impuls des Körpers $$\varvec{p}_{vor} = m_{0,vor}\gamma _u\,\varvec{u}$$. Nach der Abstrahlung hat der Körper den Impuls $$\varvec{p}_{nachher} = m_{0,nachher}\gamma _u\,\varvec{u}$$, und der Impuls der abgebenen Strahlung berechnet sich mit der Lorentz-Rücktransformation $$\varvec{L}(-\varvec{u})$$ von $$\mathcal {X}'$$ nach $$\mathcal {X}$$ aus (1.112) zu
$$ \vec {\varvec{p}} = \varvec{L}(-\varvec{u})\left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}E'_{Strahlung}\\ 0 \\ 0\\ 0\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}\gamma _u\frac{1}{c}E'_{Strahlung}\\ \\ \gamma _u\varvec{u}\frac{E'_{Strahlung}}{c^2}\end{array}\right) . $$
Während der Aussendung der Strahlung hat also der Körper den Impuls $$\gamma _u\varvec{u}\frac{E'_{Strahlung}}{c^2}$$ abgegeben, ohne seine Geschwindigkeit zu ändern. Das ist nur möglich, wenn der Körper seine Ruhemasse geändert hat! Wegen des Erhaltungssatzes des Impulses, gilt:
$$ \gamma _u m_{0,\, vor}\varvec{u}=\gamma _u m_{0,\, nach}\varvec{u} +\gamma _u\varvec{u}\frac{E'_{Strahlung}}{c^2}. $$
Daraus folgt
$$\begin{aligned} m_{0,\, nachher} = m_{0,\, vorher} - \frac{E'_{Strahlung}}{c^2}. \end{aligned}$$
(1.113)
Mit Einsteins Worten: „Gibt ein Körper die Energie $$E'$$ in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um $$E'/c^2$$.“

Auf dem Inhalt von Gl. (1.113) beruht die Funktion von Kernkraftwerken und Atombomben!

1.8 Relativistische Elektrodynamik

1.8.1 Maxwell-Gleichungen

Das magnetische Feld mit der Induktion1 $$\varvec{b}$$ und das elektrische Feld mit der Feldstärke $$\varvec{e}$$, deren Quellen die Ladung q und der Strom $$\varvec{j}$$ sind, genügen den Maxwellschen Gleichungen
$$\begin{aligned} {\text {rot}}\, \varvec{b} \ =&\frac{1}{c}\left( \frac{\partial \varvec{e}}{\partial t} + \varvec{j}\right) \end{aligned}$$
(1.114)
$$\begin{aligned} {\text {div}}\, \varvec{e} \ =&\rho \end{aligned}$$
(1.115)
$$\begin{aligned} \mathbf{rot }\, \varvec{e} \ =&- \frac{1}{c} \,\frac{\partial \varvec{b}}{\partial t}\end{aligned}$$
(1.116)
$$\begin{aligned} {\text {div}}\, \varvec{b} \ =&0 \end{aligned}$$
(1.117)
Die Operatoren rot (fett gedruckt, da ein Vektor erzeugt wird) und div können auch mit Hilfe des Nablaoperators
$$ \nabla \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \\ \frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right) , $$
ausgedrückt werden2
$$\begin{aligned} \text {div}\,\varvec{e}=\nabla ^{^\intercal }\varvec{e} = \frac{\partial e_x}{\partial x} + \frac{\partial e_y}{\partial y} + \frac{\partial e_z}{\partial z} \end{aligned}$$
(1.118)
$$\begin{aligned} \mathbf{rot }\,\varvec{b} = \nabla \times \varvec{b} = -\varvec{b}\times \nabla = -\varvec{B}_{\times } \nabla \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}\frac{\partial b_z}{\partial y} - \frac{\partial b_y}{\partial z}\\ -\frac{\partial b_z}{\partial x} + \frac{\partial b_x}{\partial z}\\ \frac{\partial b_y}{\partial x} - \frac{\partial b_x}{\partial y}\end{array}\right) \end{aligned}$$
(1.119)
mit
$$\begin{aligned} \varvec{B}_{\times }\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{ccc}0 &{} -b_z &{} b_y \\ b_z &{} 0 &{} -b_x\\ -b_y &{} b_x &{} 0\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.120)
Die beiden ersten Maxwellschen Gleichungen kann man nach geringfügiger Umstellung zu dem folgenden Gleichungssystem zusammenfassen:
$$\begin{aligned} \begin{array}{cccccc} &{}\frac{\partial e_x}{\partial x}&{} + \frac{\partial e_y}{\partial y}&{} + \frac{\partial e_z}{\partial z}&{} =&{}\rho \\ \\ -\frac{1}{c}\frac{\partial e_x}{\partial t} &{} &{}+\frac{\partial b_z}{\partial y} &{}-\frac{\partial b_y}{\partial z}&{} =&{}\frac{1}{c} j_1\\ \\ -\frac{1}{c}\frac{\partial e_y}{\partial t}&{}-\frac{\partial b_z}{\partial x}&{} &{} +\frac{\partial b_x}{\partial z}&{}=&{}\frac{1}{c} j_2 \\ \\ -\frac{1}{c}\frac{\partial e_z}{\partial t}&{}+\frac{\partial b_y}{\partial x}&{} - \frac{\partial b_x}{\partial y}&{} &{}=&{}\frac{1}{c} j_3, \end{array} \end{aligned}$$
(1.121)
oder in Matrixform
$$\begin{aligned} \underbrace{\left( \begin{array}{cc}0&{}\varvec{e}^{^\intercal }\\ -\varvec{e}&{}-\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) }_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{F}_{B, e}}\underbrace{\gamma \left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\\ \nabla \end{array}\right) }_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \vec {\nabla }} =\frac{1}{c}\underbrace{\gamma \left( \begin{array}{c}c\ \rho \\ \varvec{j}\end{array}\right) }_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \vec {\varvec{j}}}, \end{aligned}$$
(1.122)
also
$$ \varvec{F}_{B, e}\vec {\nabla }=\frac{1}{c}\,\vec {\varvec{j}}. $$
(Der Faktor $$\gamma $$ wurde auf beiden Seiten hinzugefügt, damit später bei der Invarianz dieser Gleichung gegenüber einer Lorentz-Transformation keine Schwierigkeiten entstehen.) Die aus $$\varvec{B}_{\times }$$ und $$\varvec{e}$$ zusammengesetzte schiefsymmetrische Matrix $$\varvec{F}_ {B, e}$$ wird Faraday-Matrix genannt. Eine ähnlich aufgebaute Feldstärkematrix erhält man, wenn man die restlichen Maxwell-Gleichungen auch umstellt und zu dem folgenden Gleichungssystem zusammenfasst:
$$\begin{aligned} \begin{array}{cccccc} &{}-\frac{\partial b_x}{\partial x}&{} - \frac{\partial b_y}{\partial y}&{} - \frac{\partial b_z}{\partial z} &{}=&{}0\\ \\ +\frac{1}{c}\frac{\partial b_x}{\partial t} &{}&{}+\frac{\partial e_z}{\partial y} &{}- \frac{\partial e_y}{\partial z} &{}=&{}0\\ \\ +\frac{1}{c}\frac{\partial b_y}{\partial t}&{}-\frac{\partial e_z}{\partial x}&{} &{} + \frac{\partial e_x}{\partial z}&{}=&{}0\\ \\ +\frac{1}{c}\frac{\partial b_z}{\partial t}&{}+\frac{\partial e_y}{\partial x}&{} - \frac{\partial e_x}{\partial y}&{} &{}=&{}0, \end{array} \end{aligned}$$
(1.123)
oder in Matrixform
$$\begin{aligned} \underbrace{ \left( \begin{array}{cc}0 &{}-\varvec{b}^{^\intercal }\\ \varvec{b}&{}-\varvec{E}_{\times }\end{array}\right) }_{\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{F}_{E, b}}\underbrace{\gamma \left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\\ \nabla \end{array}\right) }_{\vec {\nabla }} =\varvec{o}. \end{aligned}$$
(1.124)
d. h.
$${\varvec{F}_{E, b}}\vec {\nabla }=\varvec{0}.$$
Die Matrix $$\varvec{F}_{E, b}$$ nennen wir Maxwell-Matrix.

Gl. (1.122) und (1.124) stellen also den Inhalt der Maxwellschen Gleichungen in neuer Form dar:

$$\begin{aligned} \varvec{F}_{B, e} \vec {\nabla }=\frac{1}{c}\, \vec {\varvec{j}} \,\quad \text {und} \quad \,\, \varvec{F}_{E, b}\vec {\nabla } = \varvec{o}. \end{aligned}$$
(1.125)

Diese Formen haben den großen Vorteil, dass sie beim Übergang in ein anderes Bezugssystem, also gegenüber einer Lorentz-Transformation, forminvariant sind, d. h., in jedem Bezugssystem die gleiche äußerliche Form behalten! Die darin auftretenden Größen nehmen jedoch in jedem Bezugssystem andere Werte an. Dies soll jetzt gezeigt werden.

1.8.2 Lorentz-Transformation der Maxwellschen Gleichungen

Es ist $$\vec {\varvec{x}}'=\varvec{L}\vec {\varvec{x}}$$. Beide Seiten nach $$\vec {\varvec{x}}'$$ differenziert, ergibt
$$\displaystyle \frac{\partial \vec {\varvec{x}}'}{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} =\varvec{I}_4=\varvec{L}(\varvec{v})\displaystyle \frac{\partial \vec {\varvec{x}}}{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} ,$$
also ist
$$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial \vec {\varvec{x}}}{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} =\varvec{L}^{-1}=\varvec{L}(-\varvec{v}). \end{aligned}$$
(1.126)
Weiter ist
$$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} =\displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}^{^\intercal }} \displaystyle \frac{\partial \vec {\varvec{x}}}{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} , $$
also mit Gl. (1.126)
$$\displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}'{^{^\intercal }}} =\displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}^{^\intercal }} \varvec{L}^{-1},$$
d. h., transponiert (die Matrix $$ \varvec{L}^{-1}$$ ist symmetrisch),
$$\displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}'} =\varvec{L}^{-1}\displaystyle \frac{\partial }{\partial \vec {\varvec{x}}} .$$
Für die Nablaoperatoren gilt also
$$\begin{aligned} \underline{\underline{{\vec {\nabla }}'=\varvec{L}^{-1}\vec {\nabla }.}} \end{aligned}$$
(1.127)
Multipliziert man Gl. (1.122) von links mit $$\varvec{L}$$ und fügt $$\varvec{L}\varvec{L}^{-1}=\varvec{I}$$ ein, erhält man
$$\begin{aligned} \underbrace{\varvec{L}\,\varvec{F}_{B,e}\,\varvec{L}}_{\varvec{F}'_{B', e'}}\underbrace{\varvec{L}^{-1}\,\vec {\nabla }}_{{\vec {\nabla }}'}=\frac{1}{c}\,\underbrace{\varvec{L}\,\vec {\varvec{j}}}_{\vec {\varvec{j}}'}. \end{aligned}$$
(1.128)
Für die neue Faraday-Matrix $$\varvec{F}'_{B', e'}$$ gilt ausgeschrieben
$$\begin{aligned} \varvec{F}'_{B', e'}&=\left( \begin{array}{cc}0 &{} \varvec{e}'{^{^\intercal }}\\ -\varvec{e}' &{} -\varvec{B}'_{\times }\end{array}\right) \nonumber \\&=\left( \begin{array}{cc}\gamma _v&{}-\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}^{^\intercal }\\ - \frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}&{}\varvec{A}(\varvec{v}) \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}0&{}\varvec{e}^{^\intercal }\\ -\varvec{e}&{}-\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} \gamma _v&{}-\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}^{^\intercal }\\ -\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}&{}\varvec{A}(\varvec{v}) \end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.129)
Nach Ausmultiplikation der drei Matrizen erhält man für den links unten stehenden Vektor $$\varvec{e}'$$ mit $$\varvec{A}=\varvec{A}(\varvec{v})=\varvec{I}+(\gamma -1)\frac{\varvec{vv}^{^\intercal }}{v^2}$$ und $$\gamma =\gamma _v$$:
$$ -\varvec{e}' = \frac{\gamma }{c}\varvec{A}\varvec{B}_{\times }\varvec{v} + \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{v} - {\gamma }\varvec{A}\varvec{e}, $$
d. h.,
$$\begin{aligned} \varvec{e}'&= -\frac{\gamma }{c}\varvec{A}\varvec{B}_{\times }\varvec{v} - \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{v} + {\gamma }\varvec{A}\varvec{e} \nonumber \\&=-\frac{\gamma }{c} \left( +\varvec{B}_{\times }\varvec{v} + (\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\overbrace{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{B}_{\times }\varvec{v}}^{0}}{v^2}\right) - \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{v} + {\gamma }\varvec{e} + \frac{\gamma (\gamma -1)}{v^2}\varvec{v}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e} \nonumber \\&=-\frac{\gamma }{c}\varvec{B}_{\times }\varvec{v} + \left( \underbrace{-\frac{\gamma ^2}{c^2} + \frac{\gamma ^2}{v^2}}_{\frac{1}{v^2}} - \frac{\gamma }{v^2}\right) \varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e}\,\varvec{v} +{\gamma }\varvec{e} \nonumber \\&= {\gamma }\left( \varvec{e} - \frac{1}{c}\varvec{B}_{\times }\varvec{v}\right) +\frac{(1-\gamma )}{v^2}(\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e})\varvec{v}, \end{aligned}$$
(1.130)
d. h., man erhält für den Elektrischen Feldstärkevektor $$\varvec{e}'$$ im Inertialsystem $$\mathcal{{X}'}$$, das sich gegenüber dem Inertialsystem $$\mathcal{{X}}$$ geradlinig mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ bewegt,
$$\begin{aligned} \varvec{e}' = \gamma \left( \varvec{e} + \frac{1}{c}\,\varvec{v}\times \varvec{b}\right) + (1 - \gamma )\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e}}{v^2}\varvec{v}. \end{aligned}$$
(1.131)
Auf die gleiche Art erhält man für den magnetischen Induktionsvektor $$\varvec{b}'$$ im Inertialsystem $$\mathcal{X'}$$ aus der Transformation der Maxwell-Matrix $$\varvec{F}_{E, b}$$
$$\begin{aligned} \varvec{F}'_{E', b'}&=\left( \begin{array}{cc}0 &{}-\varvec{b}'{^{^\intercal }}\\ \varvec{b}' &{} -\varvec{E}'_{\times }\end{array}\right) \end{aligned}$$
(1.132)
$$\begin{aligned}&=\left( \begin{array}{cc} \gamma _v&{}-\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}^{^\intercal }\\ - \frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}&{}\varvec{A}(\varvec{v}) \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 0&{}-\varvec{b}^{^\intercal }\\ \varvec{b}&{}-\varvec{E}_{\times }\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} \gamma _v&{}-\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}^{^\intercal }\\ -\frac{\gamma _v}{c}\varvec{v}&{}\varvec{A}(\varvec{v}) \end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.133)
Jetzt erhält man wieder nach Ausmultiplikation der drei Matrizen für den in $$\varvec{F}'_{E', b'}$$links unten stehen den magnetischen Induktionsvektor $$\varvec{b}'$$
$$\begin{aligned} \varvec{b}'&= \frac{\gamma }{c}\varvec{A}\varvec{E}_{\times }\varvec{v} - \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\varvec{b}^{^\intercal }\varvec{v} +{\gamma }\varvec{A}\varvec{b} \end{aligned}$$
(1.134)
$$\begin{aligned}&=\frac{\gamma }{c}\left( +\varvec{E}_{\times }\varvec{v} + (\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\overbrace{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{E}_{\times }\varvec{v}}^{0}}{v^2}\right) + \frac{\gamma ^2}{c^2}\varvec{v}\varvec{b}^{^\intercal }\varvec{v} + {\gamma }\varvec{b} -\frac{\gamma (\gamma -1)}{v^2}\varvec{v}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b} \nonumber \\&=\frac{\gamma }{c}\varvec{E}_{\times }\varvec{v} + \left( \underbrace{-\frac{\gamma ^2}{c^2} + \frac{\gamma ^2}{v^2}}_{\frac{1}{v^2}} - \frac{\gamma }{v^2}\right) \varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b}\,\varvec{v} +{\gamma }\varvec{b} \nonumber \\&= {\gamma }\left( \varvec{b} + \frac{1}{c}\varvec{E}_{\times }\varvec{v}\right) + \frac{(1-\gamma )}{v^2}(\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b})\varvec{v}, \end{aligned}$$
(1.135)
d. h., man erhält für den magnetischen Feldstärkevektor $$\varvec{b}'$$ im Inertialsystem $$\mathcal{X'}$$, das sich gegenüber dem Inertialsystem $$\mathcal{X}$$ geradlinig mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ bewegt,
$$\begin{aligned} \varvec{b}' = \gamma \left( \varvec{b} -\frac{1}{c}\,\varvec{v}\times \varvec{e}\right) + (1 - \gamma )\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b}}{v^2}\varvec{v}. \end{aligned}$$
(1.136)
Für die transformierten Größen von Ladung q und Stromvektor $$\varvec{j}$$ erhält man
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{j}}'=\gamma \left( \begin{array}{c}c' \varvec{j}'\end{array}\right) =\varvec{L}\vec {\varvec{j}}, \end{aligned}$$
(1.137)
also
$$\begin{aligned} \begin{array}{ccc}q' &{} = &{}\gamma (\rho -\frac{1}{c}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{j}),\\ \varvec{j}' &{} = &{}\varvec{j}+\left( \frac{\gamma -1}{v^2}\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{j}-\frac{\gamma }{c}\rho \right) \varvec{v}.\end{array}. \end{aligned}$$
(1.138)

Die Zerlegung des elektromagnetischen Feldes in ein elektrisches und ein magnetisches Feld hat keine absolute Bedeutung. Existiert z. B. in einem Bezugssystem $$\mathcal{X}$$ nur ein rein elektrostatisches Feld, ist also $$\varvec{b} = \varvec{0}$$, so wird trotzdem gemäß Gl. (1.136) in einem Bezugssystem $$\mathcal{X'}$$, das sich gegenüber dem Bezugssystem $$\mathcal{X}$$ mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ bewegt, ein Magnetfeld $$\varvec{b}'= -\frac{\gamma }{c}\,\varvec{v}\times \varvec{e}\ne \varvec{o}$$ existieren. Physikalisch bedeutet das, dass alle Ladungen in $$\mathcal{X}$$ ruhen. Diese Ladungen bewegen sich aber relativ zu $$\mathcal{X'}$$ mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$. Also existiert in $$\mathcal{X'}$$ ein Strom, der in $$\mathcal{X'}$$ ein Magnetfeld erzeugt.

Gl. (1.131) und (1.136) kann man wie folgt zu einer Gleichung zusammenfassen:

$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c}\varvec{b}'\\ \varvec{e}'\end{array}\right) = \underbrace{\left( \begin{array}{c|c}\gamma \varvec{I} + (1-\gamma )\frac{\varvec{vv}^{^\intercal }}{v^2}&{}\frac{\gamma }{c}\varvec{V_{\times }}\\ \\ \hline \\ -\frac{\gamma }{c} \varvec{V_{\times }}&{}\gamma \varvec{I} + (1-\gamma )\frac{\varvec{vv}^{^\intercal }}{v^2}\end{array}\right) }_{\varvec{P}(\varvec{v})}\left( \begin{array}{c}\varvec{b}\\ \varvec{e}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^6, \end{aligned}$$
(1.139)
mit
$$ \varvec{V_{\times }}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{ccc}0&{}-v_3&{}v_2\\ v_3&{}0&{}-v_1\\ -v_2&{}v_1&{}0\end{array}\right) . $$
Die in (1.139) auftretende $$ 6\times 6$$-Matrix $$\varvec{P}(\varvec{v})$$ hat formal eine gewisse Ähnlichkeit mit der Lorentz-Matrix $$\varvec{L}$$! Für den Sonderfall, dass der Geschwindigkeitsvektor nur eine Komponente in x-Richtung hat, $$\varvec{v}=[v, 0,0]^{^\intercal }$$, erhält man für die Matrix
$$\begin{aligned} \varvec{P}(\varvec{v}) = \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0\\ 0&{}\gamma &{}0&{}0&{}0&{}-\frac{\gamma v}{c}\\ 0&{}0&{}\gamma &{}0&{}\frac{\gamma v}{c}&{}0\\ \hline 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0\\ 0 &{} 0 &{} \frac{\gamma v}{c}&{}0&{}\gamma &{}0\\ 0&{}-\frac{\gamma v}{c}&{}0&{}0&{}0&{}\gamma \end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.140)
Diese spezielle $$ 6\times 6$$-Matrix ist auch in [von Laue, S. 59] zu finden. Es ist natürlich $$\varvec{P}(\varvec{-v})=\varvec{P}^{-1}(\varvec{v})$$, denn mit
$$\begin{aligned} \varvec{V}_{\times }^2 = \varvec{vv}^{^\intercal }- v^2\varvec{I} \end{aligned}$$
(1.141)
erhält man leicht $$\varvec{P}(\varvec{v})\varvec{P}(\varvec{-v}) = \varvec{I}$$. Außerdem ist $$\varvec{P}(\varvec{v})^{^\intercal }=\varvec{P}(\varvec{v})$$.

1.8.3 Elektromagnetische Invariante

Für das Skalarprodukt aus elektrischer Feldstärke und magnetischer Induktion erhält man
$$\begin{aligned} \varvec{e}'{^{^\intercal }}\varvec{b}'&=\left( \gamma \left( \varvec{e}^{^\intercal }- \frac{1}{c}(\varvec{v}\times \varvec{b})^{^\intercal }\right) + (1 - \gamma )\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e}}{v^2}\varvec{v}^{^\intercal }\right) \left( \gamma \left( \varvec{b}+ \frac{1}{c}\varvec{v}\times \varvec{e}\right) + (1 - \gamma )\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b}}{v^2}\varvec{v}\right) \nonumber \\&=\gamma ^2\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}+[2\gamma (1-\gamma ) + (1-\gamma ^2)]\frac{\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{vv}^{^\intercal }\varvec{b}}{v^2}-\frac{\gamma ^2}{c^2}\underbrace{(\varvec{v}\times \varvec{b})^{^\intercal }(\varvec{v}\times \varvec{e})}_{\varvec{b}^{^\intercal }\varvec{V}_\times ^{^\intercal }\varvec{V}_\times \varvec{e}}. \end{aligned}$$
Mit $$\varvec{V}_\times ^{^\intercal }=-\varvec{V}_\times $$ wird mit (1.141)
$$ \varvec{V}_\times ^{^\intercal }\varvec{V}_\times =-\varvec{V}_\times ^2=v^2\varvec{I}-\varvec{vv}^{^\intercal }. $$
Damit erhält man weiter
$$ \underline{\underline{\varvec{e}'{^{^\intercal }}\varvec{b}'}}=\gamma ^2\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}-\frac{\gamma ^2}{c^2}(\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{b} + v^2\varvec{b}^{^\intercal }\varvec{e} -\varvec{b}^{^\intercal }\varvec{v}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{e}) = \left( \gamma ^2-\frac{\gamma ^2v^2}{c^2}\right) \varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}=\underline{\underline{\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}}}, $$
also ist das Skalarprodukt aus elektrischer Feldstärke und magnetischer Induktion invariant gegenüber einer Lorentz-Transformation. Mittels einer etwas länglichen Rechnung kann man zeigen, dass auch die Differenz der Quadrate der Feldstärken invariant ist:
$$\begin{aligned} \underline{\underline{b'^2 - e'^2 = b^2 - e^2}}. \end{aligned}$$
(1.142)
Man kann aber die elektromagnetischen Invarianten auch auf einem anderen Weg erhalten, nämlich mit Hilfe der modifizierten Faraday-Matrix
$$\varvec{F}^*_{B,e}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{M}\varvec{F}_{B, e}\varvec{M}=\left( \begin{array}{cc}0&{}-\varvec{e}^{^\intercal }\\ \varvec{e}&{}-\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) $$
und der Maxwell-Matrix
$$\varvec{F}_{E, b}=\left( \begin{array}{cc}0&{}-\varvec{b}^{^\intercal }\\ \varvec{b}&{}-\varvec{E}_{\times }\end{array}\right) .$$
Man erhält z. B. für
$$\begin{aligned} \varvec{F}^*_{B,e}\varvec{F}_{B, e}&=\left( \begin{array}{cc}0&{}-\varvec{e}^{^\intercal }\\ \varvec{e}&{}-\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}0&{}\varvec{e}^{^\intercal }\\ Mbf{e}&{}-\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{e}&{} \quad -\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{B}_{\times } \\ \varvec{B}_{\times }\varvec{e}&{} \quad \varvec{e}\varvec{e}^{^\intercal }+\varvec{B}_{\times }\varvec{B}_{\times }\end{array}\right) \\&=\left( \begin{array}{cc}e^2&{}-\varvec{s}^{^\intercal }\\ -\varvec{s}&{}\left( \begin{array}{ccc}e_x^2-b_z^2-b_y^2&{}\cdots &{}\cdots \\ \cdots &{} e_y^2-b_z^2-b_x^2&{}\cdots \\ \cdots &{}\cdots &{}e_z^2-b_y^2-b_x^2\end{array}\right) \end{array}\right) , \end{aligned}$$
mit dem Poynting-Vektor $$\varvec{s}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{e}\times \varvec{b}$$.
Bildet man von diesem Matrizenprodukt die Spur, also die Summe der Matrizenelemente in der Hauptdiagonalen, erhält man
$$ \text {spur}(\varvec{F}^*_{B,e}\varvec{F}_{B, e})=2e^2-2b^2, $$
d. h., die oben angegebene Invariante in der Form
$$\begin{aligned} -\frac{1}{2}\text {spur}(\varvec{M}\varvec{F}_{B,e}\varvec{M}\varvec{F}_{B, e})=b^2-e^2. \end{aligned}$$
(1.143)

Die oben angegebene zweite Invariante $$\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}$$ erhält man mit Hilfe der modifizierten Faraday-Matrix und der Maxwell-Matrix aus der Spurbildung des Produkts der beiden Matrizen

$$\begin{aligned} -\frac{1}{4}\text {spur}(\varvec{F}^*_{B,e}\varvec{F}_{E, e})=\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{b}. \end{aligned}$$
(1.144)

Diese Art der Invariantenbildung wird später in der Allgemeinen Relativitätstheorie bei der Betrachtung der Singularitäten der Schwarzkopf-Lösung eine Rolle spielen.

1.8.4 Elektromagnetische Kräfte

Es soll die Kraft bestimmt werden, die auf ein geladenes Teilchen mit der Ladung q wirkt, das sich in einem elektromagnetischen Feld mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u}$$ relativ zu einem Inertialsystem $$\mathcal{X}$$ bewegt. Sei $$\mathcal{X}'$$ das Inertialsystem, in welchem das Teilchen momentan ruht. In diesem System ist wegen $$\varvec{u}'=\varvec{o}$$ und $$\varvec{u}'\times \varvec{b}'=\varvec{o}$$ einfach nur
$$\begin{aligned} m_0\frac{\mathrm{d}\varvec{u}'}{\mathrm{d}t'} = q\,\varvec{e}'\in \mathbb {R}^3. \end{aligned}$$
(1.145)
Allgemein gilt in $$\mathcal {X}$$ auf Grund des Relativitätsprinzips für die auftretende Kraft $$\varvec{f}$$ die Lorentz-Formel
$$\begin{aligned} \varvec{f} = q\left( \varvec{e} + \frac{1}{c}\,\varvec{u}\times \varvec{b}\right) =\frac{q}{c} \left[ \varvec{e}\quad {-}\varvec{B}_{ \times }\right] \left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^3. \end{aligned}$$
(1.146)
Wie das elektromagnetische Feld auf ruhende Ladungen q und Ströme $$\varvec{j}$$ wirkt, bringt das folgende Gesetz zum Ausdruck
$$\begin{aligned} \varvec{f} = q\varvec{e} + \frac{1}{c}\,\varvec{j}\times \varvec{b} =\frac{1}{c} \left[ \varvec{e}\quad {-}\varvec{B}_{ \times }\right] \left( \begin{array}{c}cq\\ \varvec{j}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^3. \end{aligned}$$
(1.147)
$$\varvec{f}$$ wird wie oben zu einem Vierervektor $$\vec {\varvec{f}}$$ durch die Ergänzung
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u\left( \begin{array}{c}\frac{\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}}{c}\\ \varvec{f}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^4. \end{aligned}$$
(1.148)
(1.146) in (1.148) ergibt mit $$\varvec{u}^{^\intercal }(\varvec{u}\times \varvec{b})=0$$
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}&=q\,\gamma _u\left( \begin{array}{c}\frac{\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{e}}{c}\\ \varvec{e} +\frac{1}{c}\,\varvec{u}\times \varvec{b} \end{array}\right) =q\,\frac{\gamma _u}{c} \underbrace{\left( \begin{array}{cc}0&{}\varvec{e}^{^\intercal }\\ \varvec{e}&{}-\varvec{B}_{ \times }\end{array}\right) }_{\overline{\varvec{F}}_{B,e}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ -\varvec{F}_{B,e}\varvec{M}}\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \nonumber \\&= \frac{q}{c}\,\overline{\varvec{F}}_{B, e}\underbrace{\gamma _u\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) }_{\vec {\varvec{u}}}, \end{aligned}$$
(1.149)
also
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}=\frac{q}{c}\,\overline{\varvec{F}}_{B, e}\vec {\varvec{u}}. \end{aligned}$$
(1.150)

Mit (1.147) kann man für (1.150) auch schreiben

$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}=\frac{1}{c}\,\overline{\varvec{F}}_{B, e}\vec {\varvec{j}}, \end{aligned}$$
(1.151)

wobei wieder $$\vec {\varvec{j}}=\gamma \left( \begin{array}{c}c\, q\\ \varvec{j}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^4$$ ist.

1.9 Die Energie-Impuls-Matrix

1.9.1 Die elektromagnetische Energie-Impuls-Matrix

Es soll jetzt eine Gleichung hergeleitet werden, die alle dynamischen Grundgleichungen der Theorie der Elektrizität enthält! Sie soll zugleich den Energiesatz und die Impulssätze der Elektrodynamik enthalten. Die darin enthaltene Energie-Impuls-Matrix werden wir in der Hauptgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie wiederfinden.

Nach Gl. (1.125) ist $$\varvec{F}_{B, e} \vec {\nabla }=\frac{1}{c}\, \vec {\varvec{j}}$$ und nach Gl. (1.151) ist $$\vec {\varvec{f}}=\frac{1}{c}\,\overline{\varvec{F}}_{B, e}\vec {\varvec{j}}$$. Gl. (1.125) in (1.151) eingesetzt, ergibt die Gleichung
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}=\overline{\varvec{F}}_{B,e}\left( \varvec{F}_{B, e} \vec {\nabla }\right) . \end{aligned}$$
(1.152)
Mit Hilfe welcher Matrix $$\varvec{T}_{b, e}$$ kann man Gl. (1.152) in die kompaktere Form
$$\begin{aligned} \vec {\varvec{f}}=\varvec{T}_{b, e} \vec {\nabla } \end{aligned}$$
(1.153)
bringen? Wir versuchen es mit dem naheliegenden Ansatz $$\varvec{T}_{b,e}=\varvec{F}_{B,e}\varvec{F}_{B, e}$$. Dann ist
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{b,e} \vec {\nabla }&=(\varvec{F}_{B, e}^2)\vec {\nabla }= \left( \begin{array}{cc}\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{e}&{} \quad -\varvec{e}^{^\intercal }\varvec{B}_{\times }\\ -\varvec{B}_{\times }\varvec{e}&{}\varvec{ee}^{^\intercal }+ \varvec{B}^2_{\times }\end{array}\right) \vec {\nabla } \nonumber \\&=\left( \begin{array}{cc} e^2 &{} \quad \varvec{s}^{^\intercal }\\ \varvec{s} &{} \quad \varvec{ee}^{^\intercal }+\varvec{bb}^{^\intercal }\quad -b^2\varvec{I}_3\end{array}\right) \vec {\nabla } \ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \vec {\varvec{f}}. \end{aligned}$$
(1.154)
Hierbei wurde der Poynting-Vektor
$$\begin{aligned} \varvec{s}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{e}\times \varvec{b} \end{aligned}$$
(1.155)
und die Beziehung (1.141) $$\varvec{B}_{\times }^2 = \varvec{bb}^{^\intercal }- b^2\varvec{I}$$ verwendet. Der Poyntingvektor gibt den Betrag und die Richtung des Energietransports in elektromagnetischen Feldern an. Was ergibt die Differentiation der ersten Zeile
$$ \frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial (e^2)}{\partial t} +\varvec{\nabla }^{^\intercal }\varvec{s} \ {\mathop {=}\limits ^{!}}\ \frac{\rho \varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}}{c} $$
von Gl. (1.154)? $$\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial (e^2)}{\partial t} $$ ist proportional zu der zeitlichen Änderung der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, wenn kein magnetisches Feld vorhanden ist. Dann ist aber auch $$\varvec{b}=\varvec{o}$$, d. h. $$\varvec{s}=\varvec{o}$$ und damit die ganze Gleichung ohne Aussage. Die Sache wäre anders, wenn statt $$e^2$$ links oben in der Matrix $$\varvec{T}_{b, e}$$ der Ausdruck $$(e^2+b^2)/2$$ stände, denn dann wäre
$$ \frac{1}{2c}\displaystyle \frac{\partial (e^2+b^2)}{\partial t} =\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} , $$
nämlich die zeitliche Änderung der Energiedichte $$w=(e^2+b^2)/2$$ des elektromagnetischen Feldes. Addiert man links oben $$(b^2-e^2)/2$$, dann entsteht dort in der Tat $$(e^2+b^2)/2$$! Deshalb jetzt die
Definition
Die elektromagnetische Energie-Impuls-Matrix $$\varvec{T}_{b, e}$$ hat die Form
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{b, e}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \varvec{F}^2_{B, e} + \frac{1}{2}(b^2-e^2)\varvec{I}_4=\left( \begin{array}{cc}w &{} \varvec{s}^{^\intercal }\\ \varvec{s} &{} (\varvec{ee} ^{^\intercal }+ \varvec{bb}^{^\intercal }-w\varvec{I}_3)\end{array}\right) , \end{aligned}$$
(1.156)
mit
$$\begin{aligned} w\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{2}(e^2+b^2) \end{aligned}$$
(1.157)
und es gilt
$$\begin{aligned} \frac{1}{\gamma _v}\vec {\varvec{f}}=\varvec{T}_{b, e}\cdot \vec {\varvec{\nabla }}. \end{aligned}$$
(1.158)
Hierbei hat wieder $$\vec {\varvec{\nabla }}$$ die Form
$$ \vec {\varvec{\nabla }} = \gamma _u\left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \\ \varvec{\nabla }\end{array}\right) $$
und es ist
$$ \vec {\varvec{f}}=\gamma _u\left( \begin{array}{c}\frac{\rho }{c}\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}\\ \varvec{f}\end{array}\right) . $$
Für die erste Zeile von Gl. (1.158) erhält man jetzt
$$ -\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} +\varvec{s}^{^\intercal }\varvec{\nabla }=\frac{\rho }{c}\,\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}, $$
d. h.,
$$\begin{aligned} c\,\text {div}\,\varvec{s} = \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} + \rho \,\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}. \end{aligned}$$
(1.159)
Links steht die in die unendlich kleine Volumeneinheit hinein- bzw. heraustretende Energieströmung, und die setzt sich zusammen aus der zeitlichen Änderung der Energiedichte $$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} $$ und der Umwandlung elektromagnetischer Energie in mechanische Energie pro Zeit und Volumeneinheit $$\rho \,\varvec{u}^{^\intercal }\varvec{f}$$. Also ist das ganze der Energiesatz der Elektrodynamik.
Weiter erhält man für die zweite bis vierte Komponente von Gl. (1.158)
$$\begin{aligned} -\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial \varvec{s}}{\partial t} + (\varvec{ee}^{^\intercal })\varvec{\nabla } + (\varvec{bb}^{^\intercal })\varvec{\nabla } - (w\varvec{I}_3)\varvec{\nabla }=\varvec{f}. \end{aligned}$$
(1.160)
Mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen erhält man für den ersten Summanden auf der linken Seite:
$$\begin{aligned} -\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial \varvec{s}}{\partial t}&=\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial \varvec{e}\times \varvec{b}}{\partial t} =\frac{1}{c}\displaystyle \frac{\partial \varvec{e}}{\partial t} \times \varvec{b} + \frac{1}{c}\varvec{e}\times \displaystyle \frac{\partial \varvec{b}}{\partial t} \nonumber \\&=(\mathbf{rot }\,\varvec{b}-\frac{1}{c}\varvec{j})\times \varvec{b} + \varvec{e}\times (-\mathbf{rot }\,\varvec{e}) = -\frac{1}{c}\varvec{j}\times \varvec{b} - \varvec{b}\times \mathbf{rot }\,\varvec{b} - \varvec{e}\times \mathbf{rot }\,\varvec{e}. \end{aligned}$$
(1.161)
Für die erste Komponente, die x-Komponente, des dreidimensionalen Vektors $$(\varvec{ee}^{^\intercal })\varvec{\nabla }-\frac{1}{c}(e^2\varvec{I}_3)\varvec{\nabla } $$ auf der linken Seite erhält man
$$\begin{aligned}&[e^2_x - \frac{1}{2}e^2 | e_xe_y | e_xe_z]\varvec{\nabla } \nonumber \\&\quad =2e_x\displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial x} - \left( e_x\displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial x} + e_y\displaystyle \frac{\partial e_y}{\partial y} + e_z\displaystyle \frac{\partial e_z}{\partial z} \right) + \displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial y} e_y +e_x\displaystyle \frac{\partial e_y}{\partial y} +\displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial z} e_z +e_x\displaystyle \frac{\partial e_z}{\partial z} \nonumber \\&\quad =e_x\left( \displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial x} + \displaystyle \frac{\partial e_y}{\partial y} + \displaystyle \frac{\partial e_z}{\partial z} \right) + e_z\displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial z} +e_y\displaystyle \frac{\partial e_x}{\partial y} - e_z\displaystyle \frac{\partial e_z}{\partial x} - e_y\displaystyle \frac{\partial e_y}{\partial x} \nonumber \\&\quad =e_x\text {div}\,\varvec{e} - (\varvec{e}\times \mathbf{rot }\,\varvec{e})_x = e_x\cdot \rho - (\varvec{e}\times \mathbf{rot }\,\varvec{e})_x. \end{aligned}$$
(1.162)
Entsprechendes erhält man für die y- und die z-Komponente, also insgesamt
$$\begin{aligned} (\varvec{ee}^{^\intercal })\varvec{\nabla }-\frac{1}{2}(e^2\varvec{I}_3)\varvec{\nabla } = \varvec{e}\cdot \rho - \varvec{e}\times \mathbf{rot }\,\varvec{e}. \end{aligned}$$
(1.163)
Entsprechend erhält man mit $$\text {div}\,\varvec{b} = 0$$:
$$\begin{aligned} (\varvec{bb}^{^\intercal })\varvec{\nabla }-\frac{1}{2}(b^2\varvec{I}_3)\varvec{\nabla } = - \varvec{b}\times \mathbf{rot }\varvec{b}. \end{aligned}$$
(1.164)
Insgesamt ergeben (1.159), (1.162) und (1.164) für die zweite bis vierte Zeile der Gl. (1.158)
$$\begin{aligned} \varvec{e}\cdot \rho + \frac{1}{c}\varvec{j}\times \varvec{b} = \varvec{f}. \end{aligned}$$
(1.165)
Das ist aber der Impulssatz von Lorentz! Damit ist die obige Behauptung (1.158) vollständig bewiesen.

1.9.2 Die mechanische Energie-Impuls-Matrix

Die Erzeugung von Schwerefeldern durch Materie und deren Rückwirkung auf die Materie wird im nächsten Kapitel mittels der Allgemeinen Relativitätstheorie untersucht. Hierfür erweist sich das Modell idealer Flüssigkeiten als sehr gut geeignet. Ein solches Modell soll jetzt hergeleitet werden. Auch der Inhalt der dynamischen Gleichungen der Mechanik kann in eine Form mit dem Operator $$\vec {\varvec{\nabla }}$$ gebracht werden. Ein ruhendes Teilchen am Ort $$\varvec{x}_0$$ habe die Geschwindigkeit
$$ \vec {\varvec{u}} =\frac{\mathrm{d}\vec {\varvec{x}}}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }\left( \begin{array}{c}c\tau \\ \varvec{x}_0\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{o}\end{array}\right) $$
und den Impuls
$$\vec {\varvec{p}}=m_0\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{o}\end{array}\right) .$$
Die Nullkomponente des Viererimpulses $$\vec {\varvec{p}}$$ ist hier die Ruheenergie des Teilchens dividiert durch c. Für ein sich mit der Geschwindigkeit $$\varvec{v}$$ bewegendes Teilchen mit der Energie $$E = \gamma _u m_0 c^2$$, erhält man den vierdimensionalen Impusvektor
$$ \vec {\varvec{p}}=\gamma _v m_0\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{v}\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}E/c\\ \gamma _v\varvec{p}\end{array}\right) . $$
Diese Gleichung bringt zum Ausdruck, daß in der Relativitätstheorie Energie und Impuls die zeitlichen und die räumlichen Komponenten des Vierervektors $$\vec {\varvec{p}}$$ sind. Sie behalten diesen Unterschied auch nach einer Lorentz-Transformation, wie beim Vierervektor
$$\vec {\varvec{x}}=\left( \begin{array}{c}ct\\ \varvec{x}\end{array}\right) $$
die Nullkomponente stets die Zeitkomponente und die übrigen die Raumkomponenten darstellen.

Wir gehen jetzt zu einer verteilten Materie über, wie z. B. einer idealen Flüssigkeit, also einer Flüssigkeit ohne innere Reibung aber durchaus veränderlicher Dichte. Sie wird beschrieben durch die beiden Skalarfelder Dichte $$\rho $$ und Druck p und das Vektorfeld der Geschwindigkeit $$\vec {\varvec{u}}$$. Ziel bei dieser Herleitung der Energie-Impuls-Matrix ist, dass diese Matrix irgendwie den Energiegehalt der Flüssigkeit repräsentiert und beim Übergang zur gekrümmten Welt der Allgemeinen Relativitätstheorie als Quelle des Gravitaionssfeldes dienen kann.

Die Kontinuitätsgleichung beschreibt die Erhaltung der Masse. Die Erhaltung der Masse verlangt, dass die mit der lokalen Verdichtung $$\delta \rho /\delta t$$ verbundene zeitliche Massenänderung $$\mathrm{d}V\delta \rho /\delta t$$ gleich der Differenz der ein- und ausströmenden Massen je Zeiteinheit sein muss. In der x-Richtung gilt für diese Differenz
$$ \rho u_x(x)\cdot \mathrm{d}y\cdot \mathrm{d}z - \left( \rho u_x + \displaystyle \frac{\partial \rho u_x}{\partial x} \,\mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = -\displaystyle \frac{\partial \rho u_x}{\partial x} \mathrm{d}V. $$
Das Entsprechende erhält man für die y- und z-Richtung, insgesamt also für die Erhaltung der Masse
$$ \displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} \mathrm{d}V= -\left( \displaystyle \frac{\partial \rho u_x}{\partial x} +\displaystyle \frac{\partial \rho u_y}{\partial y} +\displaystyle \frac{\partial \rho u_z}{\partial z} \right) \mathrm{d}V. $$
Daraus geht die endgültige Kontinuitätsgleichung in differentieller Form hervor:
$$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial \rho u_x}{\partial x} +\displaystyle \frac{\partial \rho u_y}{\partial y} +\displaystyle \frac{\partial \rho u_z}{\partial z} =\underline{\underline{\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} + \text {div}(\rho \varvec{u}) = 0}}. \end{aligned}$$
(1.166)
Das dynamische Verhalten beschreibt die Euler-Gleichung. Durch Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes auf die in einem Volumenelement enthaltene Masse einer idealen Flüssigkeit, gewinnt man Eulers Bewegungsgleichung, zunächst nur in x-Richtung:
$$\mathrm{d}m \frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}t}= \rho \,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, f_{D, x} - \left( \displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} \,\mathrm{d}x\right) \,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z, $$
woraus
$$\begin{aligned} \rho \,\frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}t} = f_{D,\, x} - \displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} \end{aligned}$$
(1.167)
folgt, wobei $$ f_{D,\, x}$$ die x-Komponente der Kraft pro Volumeneinheit (Kraftdichte) $$\varvec{f}_D$$, z. B. die Gravitationskraft, ist. Mit Hilfe des totalen Differentials für $$\Delta u_x$$,
$$ \triangle u_x=\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial t} \triangle t+\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial x} \triangle x+\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial y} \triangle y+\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial z} \triangle z, $$
Division durch $$\Delta t$$ und Grenzübergang $$\Delta t \rightarrow 0$$, erhält man
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}t}=\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial x} u_x +\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial y} u_y +\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial z} u_z. \end{aligned}$$
(1.168)
Mit den entsprechenden Gleichungen für die y- und die z-Richtung erhält man insgesamt
$$ \rho \left( \displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial x} u_x +\displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial y} u_y +\displaystyle \frac{\partial x}{\partial z} u_z\right) = f_{D,\, x} - \displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} , $$
$$ \rho \left( \displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial x} u_x +\displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial y} u_y +\displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial z} u_z\right) = f_{D,\, y} - \displaystyle \frac{\partial p}{\partial y} , $$
$$ \rho \left( \displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial x} u_x +\displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial y} u_y +\displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial z} u_z\right) = f_{D,\, z} - \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z} , $$
zusammengefasst in
$$\begin{aligned} \underline{\underline{\rho \left( \displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial t} + \displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial \varvec{x}^{^\intercal }} \varvec{u}\right) + \mathbf{grad }\, p = \varvec{f}_D}}. \end{aligned}$$
(1.169)
Das ist die Euler-Gleichung in einer modernen Form. Den ersten Summanden in der Klammer nennt man die lokale und den zweiten die konvektive Änderung.
Es sollen jetzt die relativistischen Verallgemeinerungen der hydrodynamischen Gl. (1.166) und (1.169) aufgestellt werden. $$\rho _0$$ sei die Ruhedichte, definiert als Ruhemasse pro Ruhevolumen. Mit $$\vec {\varvec{x}}^{^\intercal }{=}[c t | \varvec{x}^{^\intercal }]$$ und $$\vec {\varvec{u}}^{^\intercal }{=}\gamma _u[c | \varvec{u}^{^\intercal }]$$ kann man die Euler-Gleichung (1.169) auch so schreiben
$$\begin{aligned} \rho \,\displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial \vec {\varvec{x}}^{^\intercal }} \,\vec {\varvec{u}} = \varvec{f}_D - \mathbf{grad }\, p. \end{aligned}$$
(1.170)
Im Hinblick auf die später erfolgende Anwendung des Operators $$\vec {\varvec{\nabla }}$$, wird für die Energie-Impuls-Matrix zunächst angesetzt:
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech, 1}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \rho _0\varvec{\vec {u}\vec {u}}^{^\intercal }. \end{aligned}$$
(1.171)
Diese Matrix ist symmetrisch und aus den beiden Größen $$\rho _0$$ und $$\vec {\varvec{u}}$$ aufgebaut, die die Dynamik einer idealen Flüssigkeit zusammen mit dem Druck p und den von außen wirkenden Kräften $$\varvec{f}_D$$ vollkommen beschreiben. Für die Anwendung des Operators $$\vec {\varvec{\nabla }}$$ und die weitere Untersuchung des Ergebnisses, ist es vorteilhaft, zunächst eine Matrix $$\varvec{T}_{mech, 1}$$ ähnlich wie die Matrix $$\varvec{T}_{b, e}$$ zu unterteilen:
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech, 1}=\rho _0\gamma _u^2\left( \begin{array}{cc} c^2 &{} c \varvec{u}^{^\intercal }\\ c \varvec{u} &{} \varvec{uu}^{^\intercal }\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.172)
In einer mit der Geschwindigkeit $$\varvec{u}$$ sich bewegenden Flüssigkeit nimmt das Volumen mit $$\gamma _u$$ ab und gleichzeitig nimmt die Masse mit $$\gamma _u$$ zu, insgesamt gilt also für die Dichte $$\rho = \gamma _u^2\rho _0$$. Damit definieren wir jetzt
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech, 1} \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cc}\rho c^2 &{}\rho c \varvec{u}^{^\intercal }\\ \rho c \varvec{u} &{}\rho \varvec{uu}^{^\intercal }\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.173)
Multiplikation der ersten Zeile in Gl. (1.173) von rechts mit dem Operator $$\vec {\varvec{\nabla }}$$, ergibt
$$ -c\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} + c(\rho \varvec{u}^{^\intercal })\varvec{\nabla }. $$
Setzt man diesen Ausdruck gleich null, dann erhält man mit $$(\rho \,\varvec{u}^{^\intercal })\varvec{\nabla } = \,$$div$$(\rho \,\varvec{u})$$ die klassische Kontinuitätsgleichung (1.166)!
Multipliziert man jetzt die zweite Zeile der Matrix in der Definition (1.173) von rechts mit dem Operator $$\vec {\varvec{\nabla }}$$, erhält man
$$\begin{aligned} -\displaystyle \frac{\partial \rho \varvec{u}}{\partial t} + (\rho \,\varvec{uu}^{^\intercal })\varvec{\nabla }&= -\rho \,\displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial t} - \displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} \varvec{u} +\rho \,\displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial \varvec{x}^{^\intercal }} \varvec{u} + \varvec{u}\,\text {div}(\rho \varvec{u}) \nonumber \\&=\left( -\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t} \varvec{u} +\text {div}(\rho \varvec{u})\right) \varvec{u} +\rho \,\left( -\displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial t} +\displaystyle \frac{\partial \varvec{u}}{\partial \varvec{x}^{^\intercal }} \varvec{u}\right) . \end{aligned}$$
(1.174)
Die erste Klammer ist auf Grund der Kontinuitätsgleichung im nichtrelativistischen Fall gleich null und die zweite Klammer enthält den Inhalt der kräfte- und druckfreien Euler-Gleichung!
Der Druck p muss jetzt noch eingearbeitet werden. Setzt man eine isotrope Flüssigkeit voraus, dann ist der Druck p richtungsunabhängig. In der Euler–Gleichung taucht der Druck in der Form grad p auf, was man auch so schreiben kann
$$\begin{aligned} \mathbf{grad }\ p = \left( \begin{array}{ccc}p&{}0&{}0\\ 0&{}p&{}0\\ 0&{}0&{}p\end{array}\right) \varvec{\nabla }. \end{aligned}$$
(1.175)
Soll das in der Matrix $$\varvec{T}_{mech}$$ berücksichtigt werden, so ist zu bedenken, daß (1.175) für ein mit der Flüssigkeit mitbewegtes Bezugssystem $$\mathcal{X'}$$ gilt, also dieser zweite Ansatz sinnvoll ist:
$$\begin{aligned} \varvec{T'}_{mech, 2}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cccc}0&{}0&{}0&{}0\\ 0&{}p&{}0&{}0\\ 0&{}0&{}p&{}0\\ 0&{}0&{}0&{}p\end{array}\right) . \end{aligned}$$
(1.176)
Diese Matrix muss jetzt mit Hilfe der inversen Lorentz-Matrix
$$ \varvec{L}^{-1}(\varvec{u})=\varvec{L}(-\varvec{u}) = \left( \begin{array}{cc}\gamma _u&{}\frac{\gamma _u}{c}\varvec{u}^{^\intercal }\\ \frac{\gamma _u}{c}\varvec{u} &{} \varvec{I}_3 +(\gamma _u -1)\frac{\varvec{uu}^{^\intercal }}{u^2}\end{array}\right) $$
in das ruhende Bezugssystem $$\mathcal{X}$$ zurücktransformiert werden:
$$ \varvec{T}_{mech, 2} = \varvec{L}(-\varvec{u})\, \varvec{T'}_{mech, 2}\, \varvec{L}^{^\intercal }(-\varvec{u}) = p\left( \begin{array}{cc}\frac{\gamma _u^2u^2}{c^2} &{} \frac{\gamma _u^2}{c}\varvec{u}^{^\intercal }\\ \frac{\gamma _u^2}{c}\varvec{u} &{} \varvec{I}_3 + \frac{\gamma _u^2}{c^2}\varvec{uu}^{^\intercal }\end{array}\right) . $$
Beachtet man, dass $$p\gamma ^2u^2/c^2=p(\gamma ^2 - 1)$$ ist, kann man hierfür auch schreiben
$$ \varvec{T}_{mech, 2} = \frac{p}{c^2}\vec {\varvec{u}}\vec {\varvec{u}}^{^\intercal }+ p\left( \begin{array}{cc}-1&{}\varvec{o}^{^\intercal }\\ \varvec{o}&{}\varvec{I}_3.\end{array}\right) $$
Für die Summe der beiden Matrizen $$\varvec{T}_{mech, 1}$$ und $$\varvec{T}_{mech, 2}$$ erhält man mit der Minkowski-Matrix $$\varvec{M}$$ schließlich die
Definition:
Die mechanische Energie-Impuls-Matrix hat die Form
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ (\rho _0 + \frac{p}{c^2})\vec {\varvec{u}}\vec {\varvec{u}}^{^\intercal }- p\,\varvec{M}. \end{aligned}$$
(1.177)

Wir fassen jetzt alles zu relativistischen Verallgemeinerung der hydrodynamischen Gleichungen zusammen:

$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech} \,\vec {\varvec{\nabla }} = \vec {\varvec{f}}_D. \end{aligned}$$
(1.178)
Übrigens erhält man, wenn man die Energie-Impuls-Matrix $$\varvec{T}_{mech}$$ von rechts mit dem vierdimensionalen Vektor $$\varvec{M}\vec {\varvec{u}}$$ multipliziert, den mit $$c^2$$ multiplizierten Vierervektor der Impulsdichte $$\rho _0\vec {\varvec{u}}$$:
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{mech}\varvec{M}\vec {\varvec{u}} = \left( \rho _0 + \frac{p}{c^2}\right) \vec {\varvec{u}}\underbrace{\gamma ^2(c^2-v^2)}_{c^2} - p \vec {\varvec{u}} = c^2\rho _0\vec {\varvec{u}}. \end{aligned}$$
(1.179)

1.9.3 Die totale Energie-Impuls-Matrix

Die hergeleiteten Energie-Impuls-Matrizen beinhalten  die Sätze über die Erhaltung der Energie und des Impulses eines abgeschlossenen Systems. Entsteht z. B. die von außen auf eine Flüssigkeit wirkende Kraftdichte $$\varvec{f}_D$$ dadurch, daß ein elektromagnetisches Feld auf die elektrisch geladene Flüssigkeit wirkt, dann ist
$$\begin{aligned} \varvec{f}_D = -\varvec{T}_{b, e}\vec {\varvec{\nabla }} = \varvec{T}_{mech}\vec {\varvec{\nabla }}, \end{aligned}$$
(1.180)
oder mit der Zusammenfassung
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{total} \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ (\varvec{T}_{mech} + \varvec{T}_{b, e}), \end{aligned}$$
(1.181)
$$\begin{aligned} \varvec{T}_{total} \,\vec {\varvec{\nabla }} = \varvec{f}_{total}. \end{aligned}$$
(1.182)

Die Erhaltungssätze gelten jetzt für das Gesamtsystem Flüssigkeit plus elektromagnetisches Feld. Da die einzelnen Matrizen symmetrisch sind, ist auch die totale Energie-Impuls-Matrix symmetrisch. Treten weitere Bestandteile im betrachteten System auf, so kann man sie ebenfalls in einem ähnlichen Schritt wie oben in die symmetrische totale Energie–Impuls–Matrix $$\varvec{T}_{total}$$ aufnehmen und es gilt wieder die Gl. (1.182).

Diese Form der mathematischen Darstellung des dynamischen Verhaltens von physikalischen Systemen wird später in den Hauptgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein eine herausragende Rolle spielen!

1.10 Die wichtigsten Definitionen und Sätze der Speziellen Relativitätstheorie

Für Inertialsysteme, also Bezugssysteme, die sich gleichförmig gegeneinander bewegen, sind die physikalischen Grundgesetze über die Lorentz-Transformation miteinander verknüpft und invariant. In der Speziellen Relativitätstheorie wurden definiert

$$\gamma \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},$$

und die symmetrische Lorentz-Transformationsmatrix

$$\varvec{L}(\varvec{v})\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c|c}\gamma &{} -\frac{\gamma }{ c}\ \varvec{v}^{^\intercal }\\ \hline -\frac{\gamma }{c}\ \varvec{v} &{} \varvec{I} +(\gamma - 1)\frac{\varvec{v}\ \varvec{v}^{^\intercal }}{v^2}\end{array}\right) .$$

Eine Transformation des Vierervektors $$\vec {\varvec{x}}$$ ergibt dann gemäß (1.183)

$$\begin{aligned} ct' = \gamma \, ct-\frac{\gamma }{c}\,\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x},\;\;\text {und}\;\; \varvec{x}' = \varvec{x} + (\gamma - 1)\frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{x}}{v^2}\,\varvec{v} - \gamma \,\varvec{v}\, t. \end{aligned}$$
(1.183)

In (1.67) erhielten wir für die relativistische Geschwindigkeitsaddition

$$ \varvec{w}=\frac{\varvec{v} + \varvec{u} +\frac{1}{v^2}\left( \frac{1}{\gamma _v}-1\right) \left( \varvec{v}\times (\varvec{u}\times \varvec{v})\right) }{1 + \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}.$$

Wenn die beiden Vektoren $$\varvec{v}$$ und $$\varvec{u}$$ parallel sind, liefert Gl. (1.68)

$$\varvec{w} =\frac{\varvec{v} + \varvec{u}}{1 + \frac{\varvec{v}^{^\intercal }\varvec{u}}{c^2}}.$$

Der modifizierte Geschwindigkeitsvektor in Gl. (1.68)

$$\varvec{u} \ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{\mathrm{d}\varvec{x}}{\mathrm{d}\ t} \in \mathbb {R}^3,\,\gamma _u\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} ,\, \vec {\varvec{u}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u\left( \begin{array}{c}c\\ \varvec{u}\end{array}\right) \in \mathbb {R}^{4}$$

wird mittels der Lorentz-Matrix $$\varvec{L}$$ in den Geschwindigkeitsvektor $$\vec u{u}'$$ transformiert

$$\vec {u{u}}'=\varvec{L}\vec {\varvec{u}}.$$

Der modifizierte Beschleunigungsvektor in Gl. (1.95)

$$\vec {\varvec{a}}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \gamma _u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ t}\vec {\varvec{u}}$$

wird mittels Lorentz-Transformation transformiert nach

$$\vec {\varvec{a}}'=\varvec{L}\vec {\varvec{a}}.$$

Einsteins berühmte Formel für die Äquivalenz von Ruheernergie $$E_0$$ und Ruhemasse $$m_0$$ in (1.111) lautet

$$E_0=m_0c^2.$$

Die Invarianz der Grundgleichung der Mechanik ($$m_0$$ ist die Ruhemasse) werden dokumentiert in

$$ m_o \vec {\varvec{a}} = \vec {\varvec{f}} \qquad \varvec{L} \ \ \Rightarrow \ \ \Leftarrow \ \ \varvec{L}^{-1}\qquad m_o \vec {\varvec{a}}' = \vec {\varvec{f}}'$$

und der Elektrodynamik

$$\begin{array}{rcl} \varvec{F}_{B, e} \vec {\nabla }&{} = &{}\frac{1}{c}\, \vec {\varvec{j}}\\ \varvec{F}_{E, b}\vec {\nabla }&{} =&{} \varvec{o}\end{array} \qquad \varvec{L}\ \ \Rightarrow \ \ \Leftarrow \ \ \varvec{L}^{-1} \quad \begin{array}{rcl}\varvec{F}'_{B', e'} \vec {\nabla }'&{}=&{}\frac{1}{c}\, \vec {\varvec{j}}' \\ \varvec{F}'_{E', b'}\vec {\nabla }' &{}=&{} \varvec{o}\end{array}$$

und

$$\vec {\varvec{f}}=\frac{q}{c}\, \varvec{F}_{B, e}\vec {\varvec{u}} \quad \varvec{L}\ \ \Rightarrow \ \ \Leftarrow \, \varvec{L}^{-1} \qquad \vec {\varvec{f}'}=\frac{q}{c} \ \ \varvec{F}'_{B', e'}\vec {\varvec{u}'}$$

hergeleitet mit

$$\varvec{F}_{B, e}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cc}0 &{}\varvec{e}^{^\intercal }\\ -\varvec{e}&{}-\varvec{B}_{ \times }\end{array}\right) ,\, \varvec{F}_{E, b}\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{cc}0 &{}-\varvec{b}^{^\intercal }\\ \varvec{b}&{}-\varvec{E}_{ \times }\end{array}\right) \, \text {und} \, \vec {\nabla }\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \left( \begin{array}{c}\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\\ \nabla \end{array}\right) .$$

Mit der symmetrischen elektromagnetischen Energie-Impuls-Matrix

$$\varvec{T}_{b, e}=\left( \begin{array}{cc}w&{}\varvec{s}^{^\intercal }\\ \varvec{s}&{}(\varvec{ee}^{^\intercal }+\varvec{bb}^{^\intercal }-w\varvec{I}_3)\end{array}\right) ,$$
wobei
$$ w\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ 1/2(e^2+b^2) $$
ist, gilt
$$\varvec{T}_{b, e}\cdot \vec {\varvec{\nabla }}=\frac{1}{\gamma _v}\vec {\varvec{f}}$$

und mit der ebenfalls symmetrischen mechanischen Energie-Impuls-Matrix

$$\varvec{T}_{mech}= \left( \rho _0 + \frac{p}{c^2}\right) \vec {\varvec{u}}\vec {\varvec{u}}^{^\intercal }- p\,\varvec{M} $$

erhält man die relativistische Verallgemeinerung der hydrodynamischen Gleichungen

$$\varvec{T}_{mech} \,\vec {\varvec{\nabla }} = \vec {\varvec{f}}_D.$$
Bemerkung: Der Operator $$\vec {\varvec{\nabla }}$$ wurde in den oben angegebenen Formeln, etwas ungewohnt, rechts an das zu bearbeitende Objekt geschrieben, wie z. B. in $$\varvec{T}_{mech} \,\vec {\varvec{\nabla }}$$, damit sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Gleichungsseite Spaltenvektoren entstehen. Zur gewohnten Reihenfolge käme man, wenn man die infrage kommenden Gleichungen transponiert. Dann ständen links und rechts Zeilenvektoren und die Operatoren hätten wieder, allerdings versehen mit einem Transponiertzeichen, ihren üblichen Platz, wie z. B. in
$$ \vec {\varvec{\nabla }}^{^\intercal }\varvec{T}_{mech}=\vec {\varvec{f}}_D^{^\intercal }. $$
(Da $$\varvec{T}_{mech}$$ symmetrisch ist, braucht diese Matrix nicht auch transponiert zu werden.)