G. LudykRelativitätstheorie nur mit Matrizenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-60658-2_6

6. Geodätische Abweichung

Günter Ludyk¹

(1)

Physics and Electrical Engineering, University of Bremen, Bremen, Deutschland

Günter Ludyk

Geodätische sind die Linien allgemeiner Mannigfaltigkeiten, auf denen sich z. B. freie Teilchen bewegen. In einem flachen Raum ist die relative Geschwindigkeit jedes Paares von Teilchen konstant, so dass ihre relative Beschleunigung stets gleich null ist. Im allgemeinen ist auf Grund der Raumkrümmung die relative Beschleunigung ungleich null.

Die Krümmung einer Fläche kann wie folgt veranschaulicht werden [MI73]. Angenommen, zwei Ameisen befinden sich auf einem Apfel und verlassen eine Startlinie zur gleichen Zeit mit der gleichen Geschwindigkeit und folgen Geodätischen, die anfänglich senkrecht zur Startlinie sind. Anfänglich sind ihre Wege parallel, doch auf Grund der Oberflächenkrümmung des Apfels werden sie sich von Anfang an einander nähern. Ihr Abstand $\varvec{\xi }$ voneinander bleibt nicht konstant, d. h. allgemein: Die relative Beschleunigung der Ameisen, die sich auf Geodätischen und mit konstanten Geschwindigkeiten bewegen, ist nicht gleich null, wenn die Fläche über die sie sich bewegen, gekrümmt ist. Die Krümmung kann also indirekt durch die sogenannte geodätische Abweichung $\varvec{\xi }$ wahrgenommen werden.

Die beiden benachbarten Geodätischen $\varvec{x} (u)$ und $\check{\varvec{x} }(u)$ haben den Abstand

$\begin{aligned} \varvec{\xi }(u)\ {\mathop {=}\limits ^\mathrm{def}}\ \check{\varvec{x} }(u)-\varvec{x} (u). \end{aligned}$

(6.1)

Ihre mathematischen Beschreibungen als Geodätische sind

$\begin{aligned} \ddot{\check{\varvec{x} }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\check{\varvec{x} }}{}^{^\intercal })\check{\varvec{\Gamma }}\dot{\check{\varvec{x} }}=\varvec{0}, \end{aligned}$

(6.2)

$\begin{aligned} \ddot{\varvec{x} } + (\varvec{I}_4\otimes {\dot{\varvec{x} }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}=\varvec{0}. \end{aligned}$

(6.3)

Die Christoffel-Matrix $\check{\varvec{\Gamma }}$ wird angenähert durch

$\begin{aligned} \check{\varvec{\Gamma }}\thickapprox {\varvec{\Gamma }} +\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{\xi }\otimes \varvec{I}_4). \end{aligned}$

(6.4)

Subtrahiert man (6.3) von (6.2) und berücksichtigt (6.1) und (6.4), erhält man

$\begin{aligned} \ddot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\check{\varvec{x} }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\check{\varvec{x} }} - (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} } + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\check{\varvec{x} }}{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{\xi }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\check{\varvec{x} }}=\varvec{0}. \end{aligned}$

(6.5)

Mit $\dot{\check{\varvec{x} }}=\dot{\varvec{\xi }} + \dot{\varvec{x} }$ und Vernachlässigung von quadratischen und höheren Potenzen von $\varvec{\xi }$ und $\dot{\varvec{\xi }}$ erhält man aus (6.5)

$\begin{aligned} \ddot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} } + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{\xi }\otimes \varvec{I}_4)\dot{{\varvec{x} }}=\varvec{0}. \end{aligned}$

(6.6)

Es ist

$\begin{aligned} \frac{\text {D}\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u} = \dot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }} \end{aligned}$

(6.7)

und

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}&=\frac{\mathrm {D}}{\mathrm{d}u}\left( \dot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\right) \nonumber \\&=\ddot{\varvec{\xi }} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\{(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\} + (\varvec{I}_4\otimes [\dot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&=\ddot{\varvec{\xi }} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\{(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\} +(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}+ (\varvec{I}_4\otimes [ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }. \end{aligned}$

(6.8)

Für den zweiten Summanden erhält man mit (6.3)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\{(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\}&= (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }} + (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }+ (\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\ddot{\varvec{x} }} \nonumber \\&=(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }} + (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }- (\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}. \end{aligned}$

(6.9)

(6.9) in (6.8) eingesetzt, liefert

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}&=\ddot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}+ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }- (\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\nonumber \\&\quad +(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}+ (\varvec{I}_4\otimes [ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }. \end{aligned}$

(6.10)

Bemerkung: Da die Untermatrizen $\varvec{\Gamma }_i$ symmetrisch sind, ist allgemein
$\begin{aligned} (\varvec{I}_4\otimes {\varvec{a}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\varvec{b}}=(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{b}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{{\varvec{a}}}. \end{aligned}$

(6.11)
Außerdem ist
$(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{a}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\varvec{{b}}=\overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{a}}){\varvec{b}}= \overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{b}\otimes {\varvec{a}})$
und
$(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{b}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\varvec{{a}}=\overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{b}}){\varvec{a}}= \overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{a}\otimes {\varvec{b}}),$
also ist wegen (6.11)
$\begin{aligned} \overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{b}\otimes {\varvec{a}})=\overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{a}\otimes {\varvec{b}}). \end{aligned}$

(6.12)

Mit (6.11) erhält man aus (6.10)

$\begin{aligned} \ddot{\varvec{\xi }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{\xi }}}&=\frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}-(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&\quad +\,(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal }) \varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}\nonumber \\&\quad -\,(\varvec{I}_4\otimes [ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }. \end{aligned}$

(6.13)

Für $(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal }) \varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}$ kann man

$\begin{aligned} (\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal }) \varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}=\underline{\underline{ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\overline{\varvec{\Gamma }} (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} })\dot{\varvec{x} }}} \end{aligned}$

(6.14)

schreiben, und den Ausdruck $(\varvec{I}_4\otimes [(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }$ kann man umformen in

$\begin{aligned} (\varvec{I}_4\otimes [(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }}]{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }\dot{\varvec{x} }&= \overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{I}_4\otimes (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }})\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&=\overline{\varvec{\Gamma }}(\varvec{I}_{16}\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }})\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&=\underline{\underline{(\varvec{I}_{4}\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })(\overline{\varvec{\Gamma }}\otimes \varvec{I}_4) (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma })(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} })\dot{\varvec{x} }}}. \end{aligned}$

(6.15)

Mit (6.14) (in etwas modifizierter Form) und (6.15) erhält man für (6.13)

$\begin{aligned} \ddot{\varvec{\xi }}+ (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{x} }} + (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x}}{}^{^\intercal })\varvec{\Gamma }{\dot{\varvec{\xi }}}&=\frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}-(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&\quad +\,(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\left[ \varvec{\Gamma }\overline{\varvec{\Gamma }}-(\overline{\varvec{\Gamma }}\otimes \varvec{I}_4) (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma })\right] (\dot{\varvec{x} }\otimes \dot{\varvec{x} }). \end{aligned}$

(6.16)

(6.16) in (6.6) eingesetzt liefert

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}&=-(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{\xi }\otimes \varvec{I}_4)\dot{{\varvec{x} }}+ (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&\quad \,\,+\,(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\left[ \varvec{\Gamma }\overline{\varvec{\Gamma }}-(\overline{\varvec{\Gamma }}\otimes \varvec{I}_4) (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma })\right] (\dot{\varvec{x} }\otimes \dot{\varvec{x} }). \end{aligned}$

(6.17)

Da die $16\times 16$ –Matrix $\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }}$ symmetrisch ist, kann der erste Summand auf der rechten Gleichungsseite wie folgt umgeformt werden

$\begin{aligned} (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{\xi }\otimes \varvec{I}_4)\dot{{\varvec{x} }}&= (\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} \varvec{U}_{4\times 4}(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi })\dot{{\varvec{x} }}\nonumber \\&=(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} \varvec{U}_{4\times 4}(\varvec{I}_4\otimes \dot{\varvec{x} })\dot{{\varvec{x} }}. \end{aligned}$

Wenn man das in (6.17) einsetzt, erhält man

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}&= (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\left[ \displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} -\displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} \varvec{U}_{4\times 4}\right] (\dot{\varvec{x} }\otimes \varvec{I}_4)\dot{\varvec{x} }\nonumber \\&\quad +\,(\varvec{I}_4\otimes {\varvec{\xi }}{}^{^\intercal })\left[ \varvec{\Gamma }\overline{\varvec{\Gamma }}-(\overline{\varvec{\Gamma }}\otimes \varvec{I}_4) (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma })\right] (\dot{\varvec{x} }\otimes \dot{\varvec{x} }), \end{aligned}$

(6.18)

und schließlich

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}= (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\underbrace{\left[ \displaystyle \frac{\partial \varvec{\Gamma }}{\partial \varvec{x} {}^{^\intercal }} (\varvec{I}_{16}-\varvec{U}_{4\times 4})+(\varvec{\Gamma }\overline{\varvec{\Gamma }}-(\overline{\varvec{\Gamma }}\otimes \varvec{I}_4) (\varvec{I}_4\otimes \varvec{\Gamma }))\right] }_{-\varvec{R}}(\dot{\varvec{x} }\otimes \dot{\varvec{x} }). \end{aligned}$

(6.19)

Mit einer etwas modifizierten Riemannschen Krümmungsmatrix $\varvec{R}$ erhält man schließlich für das dynamische Verhalten der geodätischen Abweichung

$\begin{aligned} \frac{\mathrm {D}^2\varvec{\xi }}{\mathrm{d}u^2}+(\varvec{I}_4\otimes \varvec{\xi }{}^{^\intercal })\varvec{R}(\dot{\varvec{x} }\otimes \dot{\varvec{x} })=\varvec{0}. \end{aligned}$

(6.20)

In einer flachen Mannigfaltigkeit, also einem gravitationfreien Raum, ist $\varvec{R}\equiv \varvec{0}$ und in kartesischen Koordinaten ist $\mathrm {D}/\mathrm{d}u=\mathrm{d}/\mathrm{d}u$ , so dass sich (6.20) auf die Gleichung $\mathrm{d}^2\varvec{\xi }/\mathrm{d}u^2=\varvec{0}$ reduziert, deren Lösung der lineare Zusammenhang $\varvec{\xi }(u)=\dot{\varvec{\xi }}_0\cdot u + {\varvec{\xi }}_0$ ist. Ist $\varvec{R}\ne \varvec{0}$ , ist Gravitation vorhanden und die Lösung von (6.20) nichtlinear, gekrümmt.