Der Volumenanteil liegt bei 1/2!
Von dem Ausgangs-Tetraeder wurden vier kleine Tetraeder abgeschnitten. Wenn wir wissen, wie sich das Volumen eines kleinen Tetraeders im Vergleich zum Volumen des Ausgangs-Tetraeders mit doppelter Kantenlänge verhält, haben wir die Aufgabe so gut wie gelöst. Wie groß aber ist dieses Verhältnis?
Das große Tetraeder ist ähnlich zu den vier kleinen. Denn seine Kanten sind genau doppelt so lang – und alle Winkel stimmen überein. Das Volumen eines dreidimensionalen Objekts verachtfacht sich, wenn man seine Kanten verdoppelt und alle Winkelgrößen beibehält. Der Faktor 8 ergibt sich, wenn man den Faktor 2 in die dritte Potenz nimmt (2×2×2=23=8), denn wir berechnen ja das Volumen im dreidimensionalen Raum.
Eine plausible Erklärung für den Faktor 8 liefert folgende Überlegung: Das Volumen eines Körpers können wir mit der Formel V=c×Höhe×Breite×Tiefe berechnen, wobei c eine Konstante ist und von der genauen Form des Körpers abhängt.
Wenn wir die Ausmaße des Körpers in allen drei Dimensionen verdoppeln, ergibt sich ein Volumen von c×2×Höhe×2×Breite×2×Tiefe=8×c×Höhe×Breite×Tiefe=8×V.
Die vier kleinen Tetraeder haben daher zusammen ein Volumen, das halb so groß ist wie das des ursprünglichen Tetraeders. Deshalb ist auch das Volumen des durch das Abschneiden der Ecken entstehenden Körpers halb so groß.