Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Agent seinen Mantel bekommt, beträgt 5/8.
Wir gehen indirekt vor, indem wir die Wahrscheinlichkeit p berechnen, dass alle vier Mäntel falsch zugeordnet sind. Wenn wir p kennen, ist 1–p der gesuchte Wert.
Es gibt 4!=4×3×2×1=24 Verteilungen der Mäntel über die vier Männer. In welchen dieser 24 Konstellationen sind alle vier Mäntel falsch verteilt?
Wir bezeichnen die Agenten mit A1 bis A4 und die Mäntel von M1 bis M4. Wenn A1 einen falschen Mantel hat, kann es sich nur um M2, M3 oder M4 handeln. Diese Fälle schauen wir uns genauer an:
A1 bekommt M2
Dann sind drei Fälle möglich:
A2-M1, A3-M4, A4-M3
A2-M3, A3-M4, A4-M1
A2-M4, A3-M1, A4-M3
A1 bekommt M3
Auch dann sind drei Fälle möglich:
A2-M1, A3-M4, A4-M2
A2-M4, A3-M1, A4-M2
A2-M4, A3-M2, A4-M1
A1 bekommt M4
Dann sind ebenfalls drei Fälle möglich:
A2-M1, A3-M2, A4-M3
A2-M3, A3-M1, A4-M2
A2-M3, A3-M2, A4-M1
Also gibt es insgesamt 3×3=9 Fälle, in denen kein Agent seinen eigenen Mantel bekommt.