Es sind genau zwei. Und das Netz bestand ursprünglich aus acht Bahnhöfen, nach der Erweiterung sind es zehn.
Man kann die Lösung bestimmt auch durch geschicktes Ausprobieren finden. Dann ist jedoch unter Umständen nicht gesichert, ob es wirklich nur eine Lösung gibt, was der Aufgabentext ja suggeriert.
Ich habe das Problem so gelöst: n soll die ursprüngliche Zahl der Bahnhöfe sein. Durch die Netzerweiterung kommen k neue Bahnhöfe hinzu.
Vor der Erweiterung gab es n×(n–1) verschiedene Fahrkarten, von jedem der n Bahnhöfe zu jedem der n–1 anderen Bahnhöfe.
Nach der Erweiterung um k Bahnhöfe sind es (n+k)×(n+k–1) verschiedene Fahrscheine.
Die Differenz von (n+k)×(n+k–1) und n×(n–1) muss genau 34 ergeben.
34=n2+2nk+k2–n–k–1–(n2–n)
34=k2+2nk–k
Wir können auf der rechten Seite k ausklammern und erhalten:
34=k×(k+2n–1)
Weil n und k beides natürliche Zahlen sind, müssen k und (k+2n–1) Teiler von 34 sein. Die Zahl 34 hat genau vier Teiler: 1, 2, 17, 34
Wir probieren nun einfach diese vier Teiler für k aus und schauen, ob es damit tatsächlich eine Lösung für n gibt.
k=1 führt zu n=17.
k=2 ergibt n=8.
Für k=17 und k=34 existiert jeweils keine positive, ganzzahlige Lösung für n.
Wir haben also zwei Lösungen gefunden. Doch k=1 scheidet aus, weil dann das Netz nur um einen einzigen Bahnhof erweitert worden wäre, in der Aufgabenstellung heißt es jedoch: »Es kommen neue Bahnhöfe hinzu« – im Plural! Deshalb bestand das Netz ursprünglich aus acht Bahnhöfen und wurde um zwei erweitert.