Oscillazioni e onde9

9.1 Richiamo delle proprietà già viste

La prima parte di questo capitolo è dedicata all’approfondimento delle proprietà di un sistema che obbedisce all’equazione (1.16) e allo studio di alcune situazioni, interessanti nella pratica, che si ottengono modificando la (1.16) per tener conto di forze di attrito e di forze periodiche. Un tale sistema si chiama oscillatore armonico (semplice) e il suo stato dinamico è individuato da una coordinata x che varia con legge armonica; gli esempi che abbiamo già esaminato sono: il moto di un punto materiale lungo un segmento sotto l’azione di una forza elastica, il pendolo semplice, in cui la coordinata che soddisfa (1.16) è l’angolo o la posizione lungo un arco di circonferenza, il pendolo composto e il pendolo di torsione.

L’importanza dello studio dell’oscillatore armonico dipende da vari fatti. Innanzitutto fenomeni oscillatori regolati da (1.16) si verificano spesso in Fisica: oltre agli esempi elementari dianzi citati si trovano oscillazioni armoniche nei corpi solidi elastici e nei fluidi, in circuiti elettrici e in vari fenomeni elettromagnetici, nei plasmi (e questi fenomeni oscillatori possono dare origine a propagazione di onde, elastiche o elettromagnetiche). Essendo eguale l’equazione, eguali sono le proprietà generali e pertanto quanto diremo adesso, limitandoci ai casi meccanici finora esaminati, può essere applicato a diverse situazioni di oscillazioni armoniche. In secondo luogo, vedremo che sussiste un notevolissimo teorema, il teorema di Fourier: esso mostra come in sostanza l’oscillazione armonica sia il prototipo di qualsiasi fenomeno periodico.

La cinematica dell’oscillatore armonico è data da (1.11), (1.13), (1.14). A, Φ, ω sono parametri indipendenti tra loro: A e Φ sono determinati soltanto dalle condizioni iniziali, cioè da dove parte il punto nell’istante iniziale e con che velocità, ω invece è determinato soltanto dalla dinamica, come diremo subito. Il moto è periodico con periodo T = 2π /ω, indipendente dall’ampiezza; la velocità è massima nel centro di oscillazione, dove vale ωA, e nulla negli estremi; l’accelerazione è nulla al centro e massima negli estremi, dove vale ω²A.

La forza che dà origine all’oscillazione armonica è di tipo elastico, proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio con segno negativo, come visto nel paragrafo 2.10; inserendo F = – kx nella (2.1) si trova (1.16) con

Notiamo così che la pulsazione e quindi il periodo del moto armonico sono determinati dal valore della massa del punto materiale e dalle caratteristiche della forza elastica, cioè da condizioni dinamiche, dalle quali invece non dipendono l’ampiezza A e la fase iniziale Φ.

Nel caso del punto attaccato a una molla, è questa che sviluppa una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; nel caso del pendolo semplice è la componente tangente della forza peso che risulta proporzionale allo spostamento angolare dalla verticale, purché tale spostamento sia piccolo. In realtà anche il comportamento della molla è lineare (forza sviluppata proporzionale alla deformazione) solo se la deformazione non è troppo grande.

Ci rendiamo allora conto di un altro fatto molto importante nella pratica e vero in generale: la soluzione tipo oscillatore armonico si ottiene, per un sistema che può oscillare, entro quei limiti, spesso ristretti, nei quali la forza di richiamo è lineare nello spostamento ovvero quando, in un sviluppo in serie, i termini di ordine superiore al primo sono trascurabili e di conseguenza il problema è linearizzato. È quanto avviene per un sistema che si allontani di poco da una posizione di equilibrio stabile.