Una paradoja electoral

Javier Fresán Leal

Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dirían que las matemáticas que intervienen en este proceso se reducen a contar el número de votos. Sin embargo, en cuanto se examina la situación en detalle, surgen fenómenos extraños. Imaginemos que en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos uno de ellos recibe el 40% de los votos, mientras que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces, declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato.

Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que, además de indicar su candidato preferido, dijeran también quién es el que menos les convence, podría ocurrir que todos aquellos que no han votado al ganador lo situaran en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el menos popular por mayoría absoluta!

Esta situación se conoce con el nombre de paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo xviii. Precisamente con el propósito de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a las preferencias de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en una lista según su orden de preferencia.

Por cada votante, el candidato recibe un punto si está en última posición; dos, si aparece en la penúltima; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene. Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas ordenaran a los candidatos A, B y C del siguiente modo

Votante 1: A > B > C

Votante 2: C > B > A

Votante 3: B > C >A

Votante 4: A > B >C,

A recibe 3 + 1 + 1 + 3 = 8 puntos, B obtiene 2 + 2 + 3 + 2 = 9 votos, y a C le corresponden 1 + 3 + 2 + 1 = 7 puntos, luego se declara ganador al candidato B. Sin embargo, si solo se hubiese tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene dos votos en lugar de uno, como B y C. Este ejemplo muestra que los ganadores por mayoría y según el método de Borda no tienen por qué coincidir.

Si pensamos en este método, resulta natural plantearse esta cuestión: supongamos que N candidatos se presentan a unas elecciones. ¿Qué porcentaje de apoyos debe recibir un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también habría ganado según el método de Borda?

Solución

Introduzcamos un poco de notación: llamemos E al número de electores que deben elegir entre los N candidatos, y supongamos que el ganador por mayoría (que llamaremos A) recibe p votos. La cantidad que nos interesa es el cociente p/E. Para resolver el problema, examinaremos la situación más desfavorable posible para el candidato A si el recuento se llevase a cabo según el método de Borda.

A continuación, bastará con determinar cuáles son las condiciones para que A se declare ganador también en ese caso. Es fácil convencerse de que la peor situación posible es la siguiente: por un lado, todos los electores que no han votado a A lo colocan en última posición; y, por otro lado, existe un candidato B al que todos aquellos que no han votado a A sitúan en primera posición, y los que sí lo han hecho, en segunda.

Con esta configuración, el candidato A recibiría N puntos por cada uno de los p votantes que lo han colocado en primera posición y un solo punto por cada uno de los E − p electores que lo han situado en último lugar. Eso hace un total de pN + (E − p) puntos.

Por su parte, el candidato B acumularía N − 1 puntos por cada uno de los p votantes que lo han colocado en segunda posición y N puntos por cada uno de los E − p electores que lo han elegido como su candidato preferido. Sumando, se obtienen p(N − 1) + (E − p)N puntos. Por tanto, se buscan las condiciones para que el número de votos de A sea mayor que el de B. Planteamos la desigualdad:

pN + (E − p) > p(N − 1) + (E − p)N.

Pasando E − p al término de la derecha y realizando una simplificación elemental, se obtiene:

pN > p(N − 1) + (E − p)N − (E − p) = p(N − 1) + (E − p)(N − 1) = E(N − 1),

lo que equivale a p/E >1 − 1/N. Por tanto, para garantizar que A sería ganador también según el método de Borda su porcentaje de votos debe superar el 100 − 100/N por ciento.

MÁS INFORMACIÓN

A finales de los setenta, el matemático de origen suizo Michel Balinski escribía un libro de programación entera cuando el fuego destruyó su casa. Para pensar en otra cosa, Balinski aceptó el reto de impartir una asignatura de matemáticas a doscientos alumnos de la City University de Nueva York que nunca antes habían recibido formación científica.

Como él mismo explica, eligió centrar su curso en los mecanismos de elección social por dos razones: se trata de una cuestión que todo el mundo reconoce como importante, y es fácil proponer soluciones al problema que crean debate. Inspirándonos en esta anécdota, confiamos en que la deliberada sencillez del desafío haga reflexionar a los lectores.

Su conclusión no deja de ser sorprendente: si se presentan diez candidatos a unas elecciones, es preciso que el ganador reciba más del 90% de los votos para garantizar que también habría sido elegido según el método de Borda.

Con estos datos en la mano, se pueden obtener conclusiones opuestas. Hay quien ve en el método de Borda un modo de descentralizar el poder, pues se obliga a los votantes a tener en cuenta a todos los candidatos. Otros, sin embargo, destacan el riesgo de manipulación. Desde luego, es bastante improbable que un ganador por mayoría quede último en las preferencias de todos aquellos que no lo han votado y que, al mismo tiempo, otro candidato obtenga solo primeras y segundas posiciones. Pero, ¿no nos encontramos precisamente ante un indicio de lo fácil que resulta alterar los resultados mediante un voto estratégico?

Un contemporáneo de Borda, el marqués de Condorcet, propuso un recuento alternativo, en el que se comparan todas las opciones dos a dos. Pero tampoco su método está exento de paradojas. Para ilustrarlo, imaginemos que tres votantes ordenan a tres candidatos del siguiente modo:

Votante 1: A > B > C

Votante 2: B > C > A

Votante 3: C > A > B.

Nótese que el método de Borda daría la misma puntuación a los tres, pues cada uno de ellos ocupa todas las posiciones posibles. Por su parte, Condorcet propone comparar primero las opciones A y B: como la mayoría prefiere A a B, se establece que A > B. Miramos a continuación B y C: de nuevo la mayoría prefiere B a C, luego decidimos que B > C. Puesto que la mayoría prefiere A a B y B a C, sería lógico deducir que la mayoría prefiere también A a C y declarar ganador al candidato A.

Sin embargo, dos de los tres votantes prefieren C a A. Dicho de otro modo, las decisiones por mayoría no son transitivas, sino que pueden presentar ciclos, lo cual implica que el método de Condorcet es muy sensible al orden de las votaciones.

Mayoría, recuento de Borda, método de Condorcet, etc., ¿con cuál nos quedamos? Tampoco aquí hay buenas noticias. En los años cincuenta, el economista americano Kenneth Arrow planteó por primera vez de modo axiomático cuáles son las condiciones que debe satisfacer cualquier sistema de elección social.

Distinguió entre dos axiomas individuales, que establecen que todo par de opciones debe ser comparable y que las preferencias de cada individuo deben ser transitivas, y cinco axiomas sociales, estos últimos divididos en tres principios racionales (universalidad, monotonía e independencia respecto a las opciones irrelevantes) y dos principios democráticos (soberanía ciudadana y no dictadura). Desgraciadamente, concluyó después que ningún sistema los satisface todos.

Referencias

[1] Kenneth Arrow, Elección social y valores individuales, Barcelona: Planeta-Agostini, 1994.

[2] Xavier Mora, Votar: No tan fácil como parece, ¡pero podríamos hacerlo mejor!, Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, vol. 13, nº 13 (2010), 471-498.

[3] George G. Szpiro, Numbers Rule. The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present, Princeton University Press, 2010.