Una mesa y un mantel

Alberto Castaño Domínguez y Antonio Rojas León

Para este desafío, hemos comprado una mesa rectangular de un metro de ancho y un metro y medio de largo, y un rollo de papel de color con el que queremos revestirla completamente. El rollo de papel tiene exactamente 20 centímetros de ancho. Además, después de haberlo comprado, nos damos cuenta de que su longitud es de 7,50 metros, por lo que su área total es igual al área de la mesa y, por tanto, no podemos desperdiciar ningún trozo del papel. Para conseguirlo necesitaremos cortarlo en tiras de 20 centímetros de ancho que cubran completamente la mesa sin superponerse. Esto puede hacerse de muchas formas, la más sencilla de ellas colocando las tiras de forma paralela como en el siguiente gráfico:

Aunque también puede hacerse de forma más enrevesada, como por ejemplo:

Una vez terminada la primera mesa, como nos ha gustado cómo ha quedado, queremos hacer lo mismo con una segunda, que ahora tiene unas dimensiones de 90 cm × 1,50 m, con un nuevo rollo de papel de color de 20 centímetros de ancho y de la misma área que la mesa. El desafío consiste en, o bien encontrar una forma de cubrir la mesa con tiras de papel según estas condiciones, o bien demostrar que no es posible hacerlo.

Recordemos que solo se pueden usar tiras rectangulares de 20 centímetros de ancho y de cualquier largo (incluso menor que 20 centímetros) y que estas solo pueden colocarse paralelamente a los lados de la mesa, horizontal o verticalmente.

Solución

Es imposible recubrir la segunda mesa según se pide. Para comprobarlo, imaginemos que la mesa esté dividida en cuadros blancos y negros de 10 cm de lado, como si fuera un tablero de ajedrez, de la siguiente forma:

En primer lugar, contando los cuadrados vemos que hay 68 negros y 67 blancos, por lo que el área que ocupa la parte negra es 100 cm2 mayor que la que ocupa la parte blanca. Ahora bien, cada tira de 20 cm ocupa exactamente el mismo ancho que dos de estos cuadrados. Si cortamos por la mitad cada una de estas tiras en dos tiras iguales de 10 cm de ancho cada una, el color de los cuadrados que cubre cada una de estas mitades es justamente el opuesto del color que cubre la otra, como vemos en la siguiente figura.

Por tanto, cada tira de 20 centímetros de ancho ocupa exactamente la misma área negra que blanca. Es imposible así cubrir toda la mesa, ya que pongamos las tiras que pongamos, la superficie cubierta siempre tendrá una mitad de su área de color blanco y la otra mitad de color negro.

MÁS INFORMACIÓN

Este desafío es una adaptación de un problema clásico, que pide probar que, si un rectángulo está dividido en rectángulos más pequeños (de lados paralelos a los del rectángulo grande) y cada uno de los rectángulos pequeños tiene un lado cuya longitud es un número entero, entonces el rectángulo grande también tiene un lado de longitud entera. Es un ejemplo de un tipo de problemas conocido como problemas de empaquetamiento, consistentes en encontrar maneras de rellenar una cierta figura geométrica con figuras más pequeñas de un cierto tipo o tamaño prefijados.

Una particularidad de este problema es que se conocen muchas soluciones distintas, que además hacen uso de herramientas de diversas ramas de las matemáticas: análisis matemático, combinatoria, teoría de grafos, álgebra, etc. La solución que presentamos aquí, posiblemente la más sencilla con respecto a las técnicas utilizadas, fue descubierta por Richard Rochberg y Sherman Stein.

El lector interesado en conocer otras soluciones alternativas y leer más sobre la historia del problema y su relación con otros problemas de empaquetamiento puede consultar el artículo Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle, de Stan Wagon, en The American Mathematical Monthly, vol. 94, n. 7 (1987), o Simple proofs of a rectangle tiling theorem, de David MacKay, disponible en http://www.cs.toronto.edu/~mackay/abstracts/rectangles.html