TEMI E PROFILI Il teorema di Gödel
Al congresso internazionale dei matematici di Bologna nel 1928, David Hilbert aveva incluso, tra i problemi irrisolti nell’ambito della ricerca sui fondamenti della matematica, il problema della completezza (semantica) della logica del primo ordine e quello della completezza (sintattica) di un sistema formale per l’aritmetica, cioè il cuore stesso della matematica. Entrambi i problemi furono risolti – positivamente per la logica del primo ordine (1930), ma negativamente per l’aritmetica (1931) – nel giro di un paio d’anni dal giovane austriaco Kurt Gödel, unanimemente considerato il più importante logico del Novecento.
Nel gennaio del 1931 appare sui “Monatshefte fur Mathematik und Physik”, una memoria intitolata Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei “Principia Mathematica” e di sistemi affini, in cui Gödel non solo dimostra che l’aritmetica è sintatticamente incompleta, ma che essa è incompletabile. Il 7 settembre 1930 Gödel aveva già annunciato questo risultato durante il convegno di Königsberg sui fondamenti della matematica.
Kurt Gödel riceve da Albert Einstein il primo premio Einstein per le scienze naturali, 1951
Gödel inizia la sua esposizione analizzando i Principia mathematica di Whitehead e Russell e la teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Egli osserva che la formalizzazione permette di svolgere le dimostrazioni seguendo poche regole meccaniche (gli assiomi e le regole di inferenza del sistema formale stesso). “Si potrebbe pensare – scrive lo stesso Gödel – che questi assiomi e regole di inferenza siano sufficienti per decidere tutte le questioni matematiche che possono essere formalmente espresse all’interno degli stessi sistemi. In realtà sarà dimostrato che questo non è vero, ma che esistono problemi relativamente semplici che non possono essere decisi dagli assiomi”. In altre parole, indicando la teoria formale dell’aritmetica con PA (“aritmetica di Peano”, dal nome del matematico italiano Giuseppe Peano) e con “|–” la relazione di dimostrabilità (PA |– A vuol dire che A è dimostrabile in PA; altrimenti, scriveremo PA |/–A, ovvero A non è dimostrabile in PA), il primo teorema d’incompletezza afferma: se PA è coerente, allora è incompleto, ossia esiste un enunciato G nel linguaggio di PA, tale che né PA |– G né PA |–¬G.
In altre parole, esiste un enunciato formalmente indecidibile in PA.
Da un punto di vista propriamente filosofico, i teoremi d’incompletezza mettono in discussione l’efficacia di un’impostazione della matematica su base assiomatica: non solo gli assiomi originali dell’aritmetica non riescono a includere tutte le informazioni che avrebbero dovuto auspicabilmente convogliare, ma aumentando l’insieme degli assiomi questa discontinuità tra verità e dimostrabilità rimane invariata. Secondo il logico Emil Post, l’incompletezza è la più lampante testimonianza della creatività del pensiero matematico: “Questa conclusione deve inevitabilmente portare a un rovesciamento, almeno parziale, di tutto l’orientamento assiomatico del tardo Ottocento e del primo Novecento, con un ritorno al significato e alla verità come elementi intrinseci alla matematica”.
Quel che è certo è che i due teoremi d’incompletezza decretano il duplice fallimento del progetto fondazionale del logicismo e del formalismo: il primo teorema mette in crisi il progetto logicista di Gottlob Frege e poi di Bertrand Russell di esprimere tutti i concetti matematici in termini di concetti logici, e quindi di ridurre la verità matematica alla verità logica: come può la prima essere riducibile alla seconda, se esistono delle verità matematiche (cioè verità logiche, per il logicismo) collocate oltre la soglia della dimostrabilità?
Il secondo teorema d’incompletezza aggiunge che è irrealizzabile anche il più sofisticato programma di Hilbert, che tenta di dimostrare la coerenza dell’aritmetica basandosi su metodi tutti “interni” (algoritmici o combinatori). Tuttavia, se i risultati di Gödel ci conducono a una drastica e profonda revisione del ruolo della formalizzazione nell’attività matematica, va aggiunto che essi mostrano che la formalizzazione è una nozione sufficientemente potente da indicarci i propri stessi limiti: da questa prospettiva, la proposta formalista di Hilbert pone un problema profondo e riesce a risolverlo brillantemente con i propri mezzi, sia pure contro se stesso.