Seulement divisibles par 1 ou eux-mêmes, les nombres premiers ont fasciné pendant des siècles les mathématiciens. La découverte des grands nombres premiers a, aujourd’hui, des applications pratiques.
La plupart des nombres entiers peuvent se diviser en plusieurs parties. Par exemple, 100 = 4 × 25. 100 = 20 × 5 est aussi exact. Si nous divisons encore en plus petites divisions, nous arrivons à la factorisation première de 100 : 100 = 2 × 2 × 5 × 5. Nous ne pouvons décomposer au-delà : ce sont des nombres premiers, divisibles seulement par 1 ou eux-mêmes. Lorsque les mathématiciens commencèrent à faire la liste des nombres premiers, ils recherchèrent sans succès un schéma. Ils s’interrogèrent : cette liste était-elle finie ou pourrait-on trouver des nombres premiers plus grands ? Dans ses Éléments, Euclide livra la preuve qu’il existe une infinité de nombre premiers. 17 463 991 229 est un grand nombre premier. Comment savons-nous qu’il est premier ? Essayons de diviser cet entier par d’autres entiers plus petits : nous ne trouverons rien d’autre que 1. Il est donc premier. Ceci est peu rapide et il existe d’autres façons. Les plus grands nombres premiers connus ont plus de 10 000 000 chiffres et des méthodes plus intelligentes sont nécessaires pour les établir comme tels. Il peut sembler frivole de chercher des grands nombres premiers. Pourtant, dans les années 70, une idée révolutionnaire créa une technique pour effectuer des communications sécurisées en utilisant un système nécessitant la génération de grands nombres premiers. Cette technique s’introduisit dans internet, nous permettant d’acheter en ligne en toute sécurité.
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
Un nombre premier est un entier positif, divisible seulement par 1 ou lui-même. Les nombres premiers ne peuvent être « émiettés » et sont aux entiers ce que les éléments sont à la matière.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Lorsque nous prenons des factorisations premières de nombres, il semble évident que nous obtiendrons toujours les mêmes nombres premiers jusqu’à la fin. Or, plus on étudie les nombres, moins ce fait est évident. Il est vrai, et très important, que ceci porte le titre de théorème fondamental de l’arithmétique. Bien qu’aucune formule ne génèrera chaque nombre premier à tour de rôle, le théorème des nombres premiers nous donne une idée de la proportion de nombres entiers premiers.
THÉORIES LIÉES
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
EUCLIDE D’ALEXANDRIE
actif vers 300 av. J.-C
CARL FRIEDRICH GAUSS
1777–1855
JACQUES HADAMARD
1865–1963
CHARLES JEAN DE LA VALLÉE-POUSSIN
1866–1962
TEXTE EN 30 SECONDES
David Perry