La metáfora del equilibrio de la naturaleza aparece inmediatamente de manera natural como una descripción de qué haría el mundo si los malvados humanos dejasen de interferir. La naturaleza, dejando que se las arregle por su cuenta, establecería un estado de perfecta armonía. Los arrecifes de coral esconderían siempre las mismas especies de peces de colores en cantidades similares, los conejos y los zorros aprenderían a compartir los campos y los bosques de modo que los zorros se alimentasen bien, la mayoría de los conejos sobreviviesen y ninguna población se disparase o extinguiese. El mundo se establecería en un estado fijo y se quedaría ahí. Hasta que el siguiente gran meteorito o un supervolcán alterasen el equilibrio.
Es una metáfora común, peligrosamente cercana a ser un cliché. También muy engañosa. El equilibrio de la naturaleza claramente se tambalea.
Hemos estado aquí antes. Cuando Poincaré estaba trabajando en el premio del rey Óscar, la sabiduría popular sostenía que un Sistema Solar estable es uno en el que los planetas siguen prácticamente las mismas órbitas para siempre, dando o recibiendo una pequeña e inocua sacudida. Técnicamente esto no es un estado estable, sino uno en el que cada planeta repite movimientos parecidos una y otra vez, sujeto a perturbaciones menores provocadas por los demás, pero no desviándose enormemente de lo que habría hecho sin ellos. La dinámica es «cuasiperiódica», combinando varios movimientos periódicos separados cuyos períodos no son todos múltiplos del mismo intervalo de tiempo. En el reino de los planetas, esto es lo más cerca a «estable» que se puede esperar.
Pero las dinámicas no son así, como Poincaré tardíamente, y a su costa, averiguó. Podía, en las circunstancias correctas, ser caótico. Las ecuaciones no tienen términos aleatorios explícitos, de modo que en principio el estado presente determina completamente el estado futuro, aunque paradójicamente el movimiento actual podría aparentar ser aleatorio. De hecho, si haces preguntas muy generales como «¿sobre qué lado del Sol estará?», la respuesta podrá ser realmente una serie aleatoria de observaciones. Solo si pudieses observar de muy, muy, muy cerca, serías capaz de ver que el movimiento realmente estaba completamente determinado.
Este fue el primer indicio de lo que ahora llamamos «caos», que es el modo corto para «caos determinista», y bastante diferente de «aleatorio», incluso aunque eso es lo que puede parecer. La dinámica caótica ha escondido patrones, pero son sutiles, difieren de lo que de manera natural podríamos pensar en medir. Solo con la comprensión de las causas del caos podemos extraer esos patrones de un revoltijo irregular de datos.
Como siempre en ciencia, hubo unos pocos precursores aislados, generalmente vistos como curiosidades menores, que no merecían una atención seria. Solo en la década de los sesenta del siglo XX, los matemáticos, físicos e ingenieros empezaron a darse cuenta de cómo de natural es el caos en la dinámica, y cómo difiere radicalmente de cualquier cosa imaginada en la ciencia clásica. Todavía estamos aprendiendo a apreciar qué nos dice, y qué hacer con ello. Pero la dinámica caótica, la «teoría del caos» en lenguaje popular, ya invade la mayoría de las áreas de la ciencia. Podría incluso tener cosas que decirnos sobre la economía y las ciencias sociales. No es la respuesta a todo, solo los críticos reclamaron alguna vez que lo fuese, y eso fue para hacer más fácil derribarla. El caos ha sobrevivido a todos esos ataques y por una buena razón: es absolutamente fundamental para todo comportamiento gobernado por las ecuaciones diferenciales, y estas son lo básico de las leyes físicas.
Hay caos también en biología. Uno de los primeros en apreciar que esto podría ser posible fue el ecologista australiano Robert May, ahora Lord May de Oxford y expresidente de la Royal Society. Intentaba comprender cómo las poblaciones de varias especies cambiaban a lo largo del tiempo en los sistemas naturales como los arrecifes de coral y los bosques. En 1975, May escribió un pequeño artículo para la revista Nature, señalando que las ecuaciones usadas habitualmente en los cambios de modelo de las poblaciones de animales y plantas podían producir caos. May no afirmó que los modelos que estaba discutiendo eran representaciones precisas de lo que las poblaciones reales hacían. Su argumento era más general: el caos era natural en modelos de ese tipo y tenía que tenerse en cuenta.
La consecuencia más importante del caos es que ese comportamiento irregular no necesitaba causas irregulares. Previamente, si los ecologistas notaban que alguna población de animales estaba fluctuando sin orden, buscarían alguna causa externa, también supuesta de estar fluctuando sin orden y, generalmente, etiquetada como «aleatoria». El tiempo, quizá, o una repentina afluencia de depredadores de algún lugar. Los ejemplos de May mostraron que el funcionamiento interno de las poblaciones de animales podía generar irregularidades sin la ayuda externa.
Su principal ejemplo fue la ecuación que decora la apertura de este capítulo. Es llamada la ecuación logística, y es un modelo simple de una población de animales en la que el tamaño de cada generación está determinado por el de la anterior. «Discreta» significa que el flujo del tiempo se cuenta en generaciones, y es de este modo un entero. Así que el modelo es similar a la ecuación diferencial, en la que el tiempo es una variable continua, pero conceptualmente y computacionalmente más simple. La población se mide como una fracción de algún valor mayor total, y puede de ese modo representarse por un número real que se encuentra entre 0 (extinción) y 1 (el máximo teórico que el sistema puede mantener). Permitiendo al tiempo t avanzar en pasos enteros, correspondientes a generaciones, este número es xt en la generación t. La ecuación logística afirma que:
xt + 1 = kxt (1 – xt)
donde k es una constante. Podemos interpretar k como la tasa de crecimiento de la población cuando los recursos cada vez menores no la frenan.1
Empezamos el modelo en el tiempo 0 con una población inicial x0. Luego usamos la ecuación con t = 0 para calcular x1, luego hacemos t = 1 y hallamos x2, y así sucesivamente. Sin ni siquiera hacer los cálculos, podemos ya ver que, para cualquier tasa de crecimiento fija k, el tamaño de la población de la generación cero determina totalmente los tamaños de todas las generaciones sucesivas. De modo que el modelo es determinista: el conocimiento del presente determina el futuro de manera única y exacta.
Así que, ¿qué es el futuro? La metáfora del «equilibrio de la naturaleza» sugiere que la población debería fijar un estado estable. Podemos incluso calcular qué estado estable debería ser; basta establecer la población en el momento t + 1 para que sea la misma que en el momento t. Esto conduce a dos estados estables: poblaciones 0 y poblaciones 1 – 1/k. Una población de tamaño 0 está extinguida, de modo que otro valor debería aplicarse a las poblaciones existentes. Desafortunadamente, aunque esto es un estado estable, puede ser inestable. Si es así, entonces en la práctica nunca lo verás; es como intentar equilibrar un lápiz verticalmente sobre la punta afilada. La alteración más ligera provocará su caída. Los cálculos muestran que el estado estable es inestable cuando k es mayor que 3.
Entonces, ¿qué vemos en la práctica? La figura 58 muestra una «serie de tiempo» típica para la población cuando k = 4. No es estable, está disperso. Sin embargo, si observas de cerca, hay pistas de que la dinámica no es totalmente aleatoria. Siempre que la población se hace realmente grande, inmediatamente cae estrepitosamente a un valor muy bajo, y luego crece de manera regular (más o menos exponencialmente) durante las siguientes dos o tres generaciones (véanse las flechas cortas en la figura 58). Y sucede algo interesante siempre que la población se mantenga cerca del entorno de 0,75; oscila alternativamente por encima y por debajo del valor, y las oscilaciones crecen dando una forma de zigzag característica, que se hace más ancha a la derecha (véanse las flechas largas de la figura).
FIGURA 58. Oscilaciones caóticas en un modelo de población animal. Las flechas cortas muestran caídas estrepitosas seguidas por períodos cortos de crecimiento exponencial. Las flechas más largas muestran oscilaciones inestables.
A pesar de estos patrones, en cierto modo, cuando no se tienen en cuenta los detalles, el comportamiento es realmente aleatorio. Supón que asignamos el símbolo C (caras) siempre que la población sea mayor que 0,5, y + (cruces) cuando es menor que 0,5. Este conjunto de datos concreto empieza con la secuencia +C+C+CC+CC++CC y continúa de modo impredecible, justo como una secuencia aleatoria de lanzamientos de moneda. Esta manera de embrutecer los datos, observando rangos específicos de valores y anotando solo a qué rango pertenece la población, se llama dinámica simbólica. En este caso, es posible probar que, para la mayoría de los valores de población iniciales x0, la secuencia de caras y cruces es, en todos los aspectos, como una secuencia típica de lanzamientos aleatorios de una moneda no trucada. Solo cuando observamos los valores exactos, empezamos a ver algunos patrones.
Es un descubrimiento sorprendente. Un sistema dinámico puede ser totalmente determinista, con patrones visibles en los datos detallados, aunque una visión grosso modo de los mismos datos puede ser aleatoria, en un sentido demostrable y riguroso. Determinismo y aleatoriedad no son opuestos. En algunas circunstancias, pueden ser totalmente compatibles.
May no inventó la ecuación logística, y no descubrió sus propiedades sorprendentes. No reivindicó haber hecho ninguna de esas cosas. Su propósito era alertar a los investigadores de las ciencias de la vida, especialmente a los ecologistas, de los descubrimientos excepcionales que surgían en las ciencias físicas y las matemáticas; descubrimientos que fundamentalmente cambian el modo en que los científicos deberían pensar en los datos observables. Nosotros, los humanos, podemos tener problemas resolviendo ecuaciones basadas en reglas simples, pero la naturaleza no tiene que resolver ecuaciones del modo en que nosotros lo hacemos. Tan solo obedece las reglas. Así puede hacer cosas que nos parecen complicadas, por razones simples.
El caos surgió de una aproximación topológica a la dinámica, dirigida en concreto por el matemático americano Stephen Smale y el matemático ruso Vladimir Arnold en la década de los sesenta del siglo XX. Ambos estaban tratando de averiguar qué tipos de comportamiento eran típicos en ecuaciones diferenciales. Smale estaba motivado por los extraños resultados de Poincaré en el problema de los tres cuerpos (capítulo 4), y Arnold estaba inspirado por los descubrimientos relacionados de su antiguo supervisor de la investigación, Andrei Kolmogorov. Ambos rápidamente se dieron cuenta de por qué el caos es común: es una consecuencia natural de la geometría de las ecuaciones diferenciales, como veremos en un momento.
A medida que el interés en el caos se extendía, se descubrían ejemplos al acecho que habían pasado inadvertidos en artículos científicos anteriores. Previamente considerados como efectos raros aislados, estos ejemplos ahora encajaban en una teoría más amplia. En la década de los cuarenta del siglo XX, los matemáticos ingleses John Littlewood y Mary Cartwright habían visto trazas de caos en osciladores electrónicos. En 1958, Tsuneji Rikitake, de la Asociación para el desarrollo de la predicción de terremotos de Tokio, había encontrado comportamiento caótico en un modelo de la dínamo del campo magnético terrestre. Y en 1963, el meteorólogo americano Edward Lorenz había determinado la naturaleza de la dinámica caótica con un considerable detalle, en un modelo sencillo de convección atmosférica motivado por la predicción del tiempo. Estos y otros pioneros han indicado el camino, ahora todos sus disparatados descubrimientos estaban empezando a encajar unos con otros.
En concreto, las circunstancias que llevaron al caos, en lugar de a algo más sencillo, resultaron ser geométricas más que algebraicas. En el modelo logístico con k = 4, ambos extremos de la población, 0 y 1, se mueven a 0 en la siguiente generación, mientras que el punto medio, ½, se mueve a 1. De modo que en cada paso de tiempo, el intervalo de 0 a 1 se estira el doble de su longitud, se dobla por la mitad, y se planta en su localización original. Esto es lo que hace un cocinero al amasar cuando hace pan, y pensando en la masa siendo amasada, ganamos comprensión del caos. Imagina una mota diminuta en la masa logística, una uva pasa, por ejemplo. Supón que aparece en ciclos periódicos, de modo que después de un cierto número de estiramientos y pliegues, vuelve a donde empezó. Ahora podemos ver por qué este punto es inestable. Imagina otra uva pasa, inicialmente muy cercana a la primera. Cada estiramiento la aleja. Aunque durante un tiempo, no se mueve lo suficientemente lejos como para dejar de seguir la pista a la primera. Cuando la masa se dobla, ambas pasas acaban en la misma capa. La siguiente vez, la segunda pasa se ha movido todavía más lejos de la primera. Esto es por qué el estado periódico es inestable; los estiramientos mueven todos los puntos cercanos lejos de ella, no hacia ella. Finalmente la expansión se hace tan grande que las dos pasas acaban en diferentes capas cuando la masa se dobla. Después de eso, sus destinos son bastante independientes el uno del otro. ¿Por qué un cocinero amasa la masa? Para mezclar los ingredientes (incluyendo el aire atrapado). Si mezclas las cosas, las partículas individuales tienen que moverse de un modo muy irregular. Partículas que empiezan cerca la una de la otra acaban apartadas; puntos que estaban muy separados puede que al doblarse acaben cerca el uno del otro. En resumen, el caos es el resultado natural de mezclar.
Puedes pensar que no tienes nada caótico en tu cocina, excepto un lavaplatos quizá. Es falso. Probablemente tienes varios aparatos caóticos: un robot de cocina, un batidor de huevos. La cuchilla del robot de cocina sigue una regla sencilla: girar y girar, rápido. La comida interactúa con la cuchilla, debería hacer algo sencillo también. Pero no gira y gira, sino que se mezcla. A medida que la cuchilla corta la comida, algunos trozos van hacia un lado y otros hacia otro; localmente la comida se separa. Pero no escapa del bol, de modo que se vuelve a plegar sobre sí misma.
Smale y Arnold se dieron cuenta de que toda la dinámica caótica es así. No expresaron sus resultados en ese lenguaje, a saber, «separarse» era «exponente positivo de Lyapunov» y «volverse a plegar» era «el sistema tiene un dominio compacto». Pero con lenguaje imaginativo, lo que estaban diciendo es que el caos es como una masa trabajada.
Esto también explica algo más, de lo que se dio cuenta Lorenz en 1963. La dinámica caótica es sensible a las condiciones iniciales. Por muy cerca que estén al principio las dos uvas pasas, finalmente se separarán tanto que sus movimientos posteriores serán independientes. Este fenómeno se llama con frecuencia el efecto mariposa: una mariposa agita sus alas y un mes más tarde el tiempo es totalmente diferente de lo que habría sido de otro modo. La frase normalmente se le atribuye a Lorenz. No es suya, pero aparece algo similar en el título de una de sus conferencias. Sin embargo, algún otro inventó el título para él, y la conferencia no fue sobre el famoso artículo de 1963, sino sobre uno menos conocido del mismo año.
Como sea que se denomine al fenómeno, tiene una consecuencia práctica importante. Aunque la dinámica caótica es en principio determinista, en la práctica se hace impredecible muy rápido, porque cualquier duda en el estado inicial exacto crece exponencialmente rápido. Hay un horizonte de predicciones más allá del cual el futuro no puede presagiarse. Para el tiempo, un sistema común cuyos modelos informáticos estándar son conocidos por ser caóticos, este horizonte es unos pocos días por delante. Para el Sistema Solar, es decenas de millones de años por delante. Para juguetes de laboratorio sencillos, como un péndulo doble (un péndulo colgando del extremo de otro) es unos pocos segundos más allá. La suposición que ha existido durante mucho tiempo de que «determinista» y «predecible» eran lo mismo está equivocada. Sería válido si el estado presente de un sistema pudiese medirse con una precisión perfecta, pero eso no es posible.
La previsibilidad a corto plazo del caos puede usarse para distinguirla de la aleatoriedad pura. Se han diseñado muchas técnicas diferentes para hacer esta distinción y averiguar la dinámica subyacente si el sistema se está comportando de manera determinística pero caótica.
El caos tiene ahora aplicaciones en todas las ramas de la ciencia, desde la astronomía a la zoología. En el capítulo 4, vimos cómo está llevando a trayectorias nuevas y más eficientes para las misiones espaciales. En términos más generales, los astrónomos Jack Wisdom y Jacques Laskar han demostrado que la dinámica del Sistema Solar es caótica. Si quieres saber cuál será el paradero de Plutón en su órbita en el año 10.000.000, olvídalo. También han demostrado que las mareas de la Luna estabilizan la Tierra contra las influencias que de otro modo llevarían a un movimiento caótico, provocando rápidos cambios de clima de períodos cálidos a épocas de hielo y de vuelta al período cálido. De modo que la teoría del caos demuestra que, sin la Luna, la Tierra sería un lugar bastante desagradable para vivir. Esta característica de nuestro vecindario planetario es con frecuencia usada para argumentar que la evolución de la vida en un planeta necesita una Luna estabilizadora, pero esto es una exageración. La vida en los océanos apenas notaría si los ejes del planeta cambian en un período de millones de años. La vida en tierra firme tendría mucho tiempo para emigrar a otro lugar, a menos que se viese atrapada en algún lugar que careciese de una ruta terrestre a un lugar donde las condiciones fuesen más adecuadas. El cambio climático está sucediendo mucho más rápido ahora que cualquier cambio que pudiese ser provocado por un cambio en la inclinación de los ejes.
FIGURA 59. Seis especies compartiendo tres recursos. Las bandas son oscilaciones caóticas espaciadas estrechamente. Cortesía de Jef Huisman y Franz Weissing.
La sugerencia de May de que la dinámica de población irregular en un ecosistema podría a veces provocar el caos interno, más que la aleatoriedad superflua, ha sido verificada en versiones de laboratorio de varios ecosistemas del mundo real. En 1995, un equipo liderado por el ecologista norteamericano James Cushing encontró dinámicas caóticas en poblaciones de falsos gorgojos de la harina, Tribolium castaneum, las cuales pueden infestar provisiones de harina.2 En 1999, los biólogos holandeses Jef Huisman y Franz Weissing aplicaron el caos a la «paradoja del plancton», la diversidad inesperada de las especies de plancton.3 Un principio estándar en ecología, el principio de exclusión competitiva, afirma que un ecosistema no puede contener más especies que el número de nichos medioambientales, modos de ganarse la vida. El plancton parece violar este principio, el número de nichos es pequeño, pero el número de especies es de miles. Rastrearon esto hasta una laguna en la deducción del principio de exclusión competitiva: la suposición de que las poblaciones son estables. Si las poblaciones pueden cambiar con el tiempo, entonces la deducción matemática a partir de los modelos usuales falla e, intuitivamente, especies diferentes pueden ocupar el mismo nicho haciendo turnos, no por cooperación consciente, sino por una especie tomando el mando temporalmente sobre la otra y experimentando un boom en la población, mientras la especie desplazada se reduce a una población pequeña (figura 59).
En 2008, el equipo de Huisman publicó los resultados de un experimento de laboratorio con una ecología de miniatura basada en una encontrada en el mar Báltico, que involucraba bacterias y varios tipos de plancton. Un estudio de seis años reveló dinámicas caóticas en las cuales las poblaciones fluctuaban frenéticamente, con frecuencia haciéndose 100 veces tan grandes durante un tiempo y luego colapsando. Los métodos habituales para detectar caos confirmaron su presencia. Había incluso un efecto mariposa: el horizonte de predicciones del sistema era de unas pocas semanas.4
Hay aplicaciones del caos que afectan a la vida diaria, pero la mayoría ocurren en procesos de fabricación o servicios públicos, más que estar incorporadas en aparatos. El descubrimiento del efecto mariposa ha cambiado el modo en que las predicciones del tiempo se llevan a cabo. En lugar de poner todo el esfuerzo informático en perfeccionar una única predicción, los meteorólogos ahora realizan muchos partes meteorológicos, haciendo diferentes cambios aleatorios minúsculos en las observaciones proporcionadas por los globos meteorológicos y los satélites antes de empezar a realizarlos. Si todos estos partes están de acuerdo, entonces la predicción es probable que sea precisa, si difieren de manera significativa, el tiempo está en un estado menos predecible. Los propios partes meteorológicos se han mejorado con otros avances, en particular calculando la influencia de los océanos en el estado de la atmósfera; pero el papel principal del caos ha sido advertir a los meteorólogos que no esperen demasiado y cuantificar cómo de probable es que un parte meteorológico esté en lo correcto.
Las aplicaciones industriales incluyen una comprensión mejor de los procesos de mezclado, que son ampliamente usados para hacer medicamentos en pastillas o mezclar los ingredientes de una comida. La medicina activa en una pastilla normalmente se da en cantidades muy pequeñas y tiene que mezclarse con alguna sustancia inerte. Es importante tener suficiente del ingrediente activo en cada píldora, pero no demasiado. Una máquina de mezclado es como un robot de cocina gigante y, como el robot de cocina, su dinámica es determinista pero caótica. Las matemáticas del caos han proporcionado una comprensión nueva de los procesos de mezclado y llevan a algunos diseños mejorados. Los métodos usados para detectar el caos en datos han inspirado nuevos equipos de pruebas para el metal usado para hacer muelles, mejorando la eficiencia en la fabricación de muelles y alambre. El humilde muelle tiene muchos usos vitales: puede encontrarse en colchones, coches, reproductores de DVD, incluso bolígrafos. El control del caos, una técnica que usa el efecto mariposa para mantener el comportamiento dinámico estable, está resultando prometedor en el diseño de marcapasos más eficientes y menos intrusivos.
Aunque, sobre todo, el principal impacto del caos ha sido en el pensamiento científico. En los más o menos cuarenta años desde que su existencia empezase a ser ampliamente apreciada, el caos ha cambiado de ser una curiosidad matemática menor a una característica básica de la ciencia. Ahora podemos estudiar muchas de las irregularidades de la naturaleza sin reorganizar las estadísticas, sacando con cuidado los patrones escondidos que caracterizan el caos determinista. Esto es solo uno de los modos en los que la teoría de sistemas dinámicos moderna, con su énfasis en el comportamiento no lineal, está provocando una revolución silenciosa en el modo en el que los científicos piensan en el mundo.