7.4    Rekursive Folgen

In Abschnitt 5.3 wurde bereits der Wert für rekursiv berechnet. Der Begriff der rekursiven Folge soll am Beispiel des exponentiellen und logistischen Wachstums vertieft werden. Bei rekursiv definierten Folgen wird

• der Wert eines Anfangsgliedes vorgegeben und

• eine Vorschrift aufgestellt, nach der man jedes Glied aus dem vorhergehenden Glied berechnen kann.

Diese Vorschrift nennt man Rekursionsvorschrift oder Rekursionsformel [Thomas1: 733].

Beim Wachstum einer Population (z. B. Bakterienkultur, Weltbevölkerung) betrachten wir die Zeitpunkte:

Für die Größe einer Population u, die exponentiell wächst, gilt die Rekursionsformel

und für das logistische Wachstum gilt:

Die Wachstumskonstante k bestimmt die Wachstumsgeschwindigkeit der Population u, und die Wachstumsschranke U begrenzt das logistische Wachstum.

Die Rekursionsformeln lassen sich leicht durch einen Summenalgorithmus realisieren. Links vom Zuweisungsoperator steht die Größe u_n+1, und rechts vom Zuweisungsoperator steht die Größe u_n. Listing 7.6 stellt das exponentielle (roter Punkt) und das logistische Wachstum (blaues Kreuz) als Funktionsplot dar.

01  #06_plot_rekursion.py
02  import matplotlib.pyplot as plt
03  u=v=1
04  k=0.1   #Wachstumskonstante
05  Vmax=10 #Wachstumsschranke
06  delta_t=1
07  fig, ax = plt.subplots(label='Wachstum')
08  for i in range(26):
09      u=u+k*delta_t*u
10      v=v+k*delta_t*(Vmax-v)
11      ax.plot(i,u,'ro')
12      ax.plot(i,v,'bx')
13  ax.set(xlabel='Zeit',ylabel='Population')
14  plt.show()

Listing 7.6     Visualisierung des exponentiellen und logistischen Wachstums

Ausgabe

Abbildung 7.5     Visualisierung von exponentiellem und logistischem Wachstum

Analyse

Zeile 03 legt die Anzahl der Individuen einer Population zu Beginn des Wachstums fest. Innerhalb der for-Schleife werden das exponentielle (Zeile 09) und das logistische Wachstum (Zeile 10) rekursiv nach der Vorschrift der Rekursionsformeln berechnet. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei dem Zuweisungsoperator nicht um eine Gleichheit handelt. Rechts vom Zuweisungsoperator steht der alte Wert von u bzw. v. Diese Werte werden bei jedem Schleifendurchlauf neu berechnet und den Variablen u bzw. v zugewiesen. Links vom Zuweisungsoperator steht also immer die aktualisierte Größe der Population u_n+1. Beim nächsten Schleifendurchlauf wird mit diesem Wert das nächste Nachfolgeglied berechnet. Die Folgeglieder des exponentiellen Wachstums werden als rote Punkte (Zeile 11) und die Folgeglieder des logistischen Wachstums werden als blaue Kreuze dargestellt (Zeile 12).