7.6    Der Grenzwert von Folgen

Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert. Bei einer konvergenten Folge liegen in jeder ε-Umgebung um den Grenzwert fast alle Folgenglieder. Nur endlich viele liegen außerhalb der ε-Umgebung.

Eine reelle Folge hat den Grenzwert g, wenn gilt:

Eine Übersetzung der mathematischen Symbolsprache könnte etwa so lauten: Für alle ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl n₀ > 1, sodass für alle natürlichen Zahlen n > n₀ gilt, dass der Betrag der Differenz zwischen dem n-ten Folgeglied a_n und dem Grenzwert g kleiner ε sein muss.

Für die Folge

soll der Grenzwert berechnet werden. Es ergibt sich:

Den zweiten Term 5/2ⁿ der Folge bezeichnet man als Nullfolge.

Nullfolge

In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge, die gegen 0 konvergiert. Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer Zahl, dem Grenzwert g und einer Nullfolge dargestellt werden.

7.6.1    Grenzwertdarstellung im Koordinatensystem

Abbildung 7.7 veranschaulicht den Grenzwertbegriff in einem kartesischen Koordinatensystem für die ε-Umgebung ± 0,5 des Grenzwertes 5.

Abbildung 7.7     Werte der Folgenglieder für die ε-Umgebung ± 0,5 um den Grenzwert 5 herum

Der Funktionsverlauf zeigt deutlich, dass nur drei Folgenglieder außerhalb der ε-Umgebung liegen. Alle anderen Folgenglieder liegen innerhalb der ε-Umgebung.

Mit Listing 7.9 kann die ε-Umgebung des Grenzwertes in einem Koordinatensystem visualisiert werden:

01  #09_plot_grenzwert.py
02  import numpy as np
03  import matplotlib.pyplot as plt
04  N=17
05  eps=0.5 #Epsilon-Umgebung
06  g=5     #Grenzwert
07  #Folge
08  def a(n):
09      return 5*(1-1/(2**n))
10  #Grafikbereich
11  fig,ax=plt.subplots()
12  ax.set_title(r"$a_{n}=5\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$")
13  ax.set(xlabel='n',ylabel='$a_{n}$')
14  n=np.linspace(1,N,N,endpoint=True)
15  ax.scatter(n,a(n),marker='+',color='r') #Zeichnen
16  ax.hlines(g+eps,0,N+1) #Schranke oben
17  ax.hlines(g-eps,0,N+1) #Schranke unten
18  ax.set_xlim(0,N+1)
19  ax.set_ylim(0,8)
20  plt.show()

Listing 7.9     Verlauf der Folgenglieder in einer ε-Umgebung ± 0,5 für den Grenzwert 5

Analyse

Neu an diesem Programm ist, dass diesmal keine for-Schleife für die Darstellung der Folgenglieder verwendet wird; die Funktion wird automatisch auf jedes Element des Arrays n angewandt. In Zeile 15 ruft die scatter-Methode die Koordinatendaten der in Zeile 14 definierten Zahlen von 1 bis 17 mit den zugeordneten Funktionswerten der Folge auf und zeichnet sie als +-Zeichen.

In den Zeilen 16 und 17 zeichnet die Methode hlines() die beiden horizontalen Linien für die ε-Umgebung.

7.6.2    Symbolische Berechnung des Grenzwertes

Die SymPy-Methode limit(an,n,oo) berechnet den Grenzwert einer Folge symbolisch. Als ersten Parameter erwartet die Methode die Übergabe der Objektvariablen einer Folge. Als zweiter Parameter wird die unabhängige Variable n der Folge übergeben. Der dritte Parameter gibt den Wert an, gegen den n streben soll. Listing 7.10 zeigt, wie der Grenzwert der Folge

für symbolisch mit SymPy berechnet wird:

01  #10_sympy_grenzwert.py
02  from sympy import *
03  n=symbols('n')
04  an=5*(1-1/(2**n))
05  ga=limit(an,n,oo)
06  print("Grenzwert von %s ist %3.2f" %(an,ga))

Listing 7.10     Symbolische Berechnung eines Grenzwertes mit SymPy

Ausgabe

Grenzwert von 5 - 5*2**(-n) ist 5.00

Analyse

In Zeile 02 werden alle Methoden des Moduls SymPy importiert. Welche mathematischen Symbole (Variablen) später im Programm benutzt werden sollen, legt Zeile 03 fest.

In Zeile 04 erfolgt die Definition der Folge. In dem Objekt an wird das Bildungsgesetz der Folge gespeichert.

In Zeile 05 berechnet die SymPy-Methode limit(an,n,oo) den Grenzwert der Folge an und speichert das Ergebnis in dem Objekt ga. Das Symbol für unendlich ∞ wird durch oo repräsentiert.

Das Ergebnis wird in Zeile 06 formatiert ausgegeben. Beachten Sie, dass die print-Methode den Term der Folge umformt.

In Abbildung 7.8 wird dieser Zusammenhang noch einmal am Zahlenstrahl veranschaulicht.

Abbildung 7.8     Prozess der Grenzwertbildung auf dem Zahlenstrahl

Die Folgenglieder ● häufen sich um den Punkt g auf dem Zahlenstrahl. Der Punkt g ist also der Grenzwert der Zahlenfolge.