8.4    Vergleich der Verfahren

Das Bisektionsverfahren benötigt zwei Startwerte und konvergiert sehr langsam. Es ist aber stabil. Das Fixpunktverfahren benötigt nur einen Startwert. Es konvergiert zwar schneller als das Bisektionsverfahren, aber es ist nicht stabil, wenn die Fixpunktgleichung nicht kontrahiert. Außerdem ist bei der Fixpunktiteration der mathematische Aufwand größer, weil die Nullstellengleichung in eine Fixpunktgleichung umgewandelt werden muss. Es gibt für eine Nullstellengleichung mehrere äquivalente Fixpunktgleichungen, die nicht immer alle stabil sind. Beide Verfahren haben eine lineare Konvergenzgeschwindigkeit. Das Newton-Verfahren hat dagegen eine quadratische Konvergenzgeschwindigkeit, wenn der Startwert in die Nähe der vermuteten Nullstelle gelegt wird. Wird er nicht optimal gewählt, reagiert das Newton-Verfahren mit Instabilität. Tabelle 8.3 gibt einen zusammenfassenden Überblick.

	Bisektionverfahren	Fixpunktverfahren	Newton-Verfahren
Startwert	zwei Startwerte links und rechts von der Nullstelle	ein Startwert in der Nähe des Fixpunktes	ein Startwert möglichst in der Nähe der Nullstelle
Konvergenzbedingung	konvergiert immer	|F '(x)| < 1 K < 1	f '(x0) ≠ 0
Konvergenzgeschwindigkeit	linear	linear	quadratisch

Tabelle 8.3     Vergleich der Verfahren

Abbildung 8.5 veranschaulicht die Konvergenzgeschwindigkeit der drei Verfahren für die Gleichung

Abbildung 8.5     Veranschaulichung der Konvergenzgeschwindigkeiten

Man sieht deutlich, dass das Newton-Verfahren (∗) schneller konvergiert als das Bisektions- (⦁) und das Fixpunktverfahren (×).