11.4    Rotationskörper

Wenn sich eine ebene Fläche um die x- oder y-Achse dreht, entsteht ein Rotationskörper. (Im Folgenden möchte ich nur Körper betrachten, die um die x-Achse rotieren.)

Wenn eine Gerade ƒ(x) = a, die parallel zur x-Achse verläuft, um die x-Achse rotiert, dann entsteht ein Zylinder. Wenn eine ansteigende Gerade ƒ(x) = mx um die x-Achse rotiert, dann entsteht ein Kegel. Wenn die Umkehrfunktion einer Normalparabel, die Wurzelfunktion y = √x, um die x-Achse rotiert, dann entsteht ein Rotationsparaboloid wie in Abbildung 11.8.

Für Rotationskörper können das Volumen und die Mantelfläche durch Integration berechnet werden.

Da sich die Querschnittsflächen senkrecht zur x-Achse aus Kreisscheiben mit dem Radius r(x) und der Breite Δx zusammensetzen, wird die Volumenberechnung auch als Scheibenmethode bezeichnet [Thomas1: 416]. Das Volumen V wird aus der Summe der Teilvolumen berechnet.

Die Oberfläche eines Rotationskörpers abzüglich der beiden Stirnflächen bezeichnet man auch als Mantelfläche. Sie entsteht aus der Rotation der Begrenzungskurve der ebenen Fläche. Die Mantelfläche M wird aus der Summe der Teilmantelflächen berechnet. An der Stelle x hat der Radius den Wert ƒ(x).

Rotationsparaboloid

Das Rotationsvolumen und die Mantelfläche sollen für ein Rotationsparaboloid (siehe Abbildung 11.8 und Abbildung 11.9), das um die x-Achse rotiert, mit selbst erstellten Python-Funktionen berechnet werden. In beiden Fällen muss in Richtung der x-Achse innerhalb der Grenzen von a bis b integriert werden.

Abbildung 11.8     2D-Darstellung eines Rotationsparaboloids

In Abbildung 11.9 sehen Sie die 3D-Darstellung des Rotationskörpers als Drahtmodell.

Abbildung 11.9     3D-Darstellung eines Rotationsparaboloids

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die x-Achse rotiert, gilt:

Für die Mantelfläche gilt:

Mantelfläche

Unter der Mantelfläche versteht man die Oberfläche eines Rotationskörpers abzüglich der beiden Stirnflächen an der unteren Integrationsgrenze a und der oberen Integrationsgrenze b.

Die äußere Begrenzung des Rotationsparaboloids wird durch die Gleichung

beschrieben.

Für die 1. Ableitung gilt:

Für die Grenzen von 1 bis 5 ergibt sich ein Volumen von:

Für die Mantelfläche erhalten Sie:

Listing 11.8 berechnet das Volumen und die Mantelfläche eines Rotationsparaboloids in den Grenzen von 1 bis 5 mit selbst erstellten Python-Funktionen:

01  #08_rotationskoerper.py
02  from math import *
03  from integrieren import *
04  from scipy.integrate import quad
05  #Wurzelfunktion
06  def f(x):
07      return sqrt(x)
08  #Quadrat der Wurzelfunktion
09  def f2(x):
10      return f(x)**2
11  #1. Ableitung
12  def diff(f,x,h=1e-6):
13      return (f(x+h)-f(x-h))/(2*h)
14  #Abschnitt der Mantelfläche
15  def diffM(x):
16      return f(x)*sqrt((1+(diff(f,x))**2))
17  #Hauptprogramm
18  a,b=1,5  #Grenzen
19  V=pi*simpson(f2,a,b,100)      #Volumen
20  M=2*pi*simpson(diffM,a,b,100) #Mantelfläche
21  print("Volumen\n",V,"\n",pi*quad(f2,a,b)[0],"quad")
22  print("Mantelfläche\n",M,"\n",2*pi*quad(diffM,a,b)[0],"quad")

Listing 11.8     Rotationskörper

Ausgabe

Volumen
 37.699111843077524 
 37.69911184307752 quad
Mantelfläche
 44.5340392055014 
 44.534039206722134 quad

Analyse

In den Zeilen 06 und 07 wird die Funktion f(x) als Wurzelfunktion sqrt(x) definiert. Bei einem Funktionsaufruf wird sie in Zeile 10 quadriert.

Die selbst definierte Python-Funktion diff() aus den Zeilen 12 und 13 berechnet in Zeile 16 die 1. Ableitung der Funktion f(x) aus Zeile 07, wenn diffM() im Hauptprogramm (Zeile 20) aufgerufen wird.

Die Python-Funktion simpson() (Zeilen 19 und 20) berechnet die bestimmten Integrale mit der Simpson-Regel.

Das Volumen V und die Mantelfläche M werden in den Zeilen 19 und 20 berechnet.

In den Zeilen 21 und 22 berechnet die SciPy-Funktion pi*quad(f2,a,b)[0] und 2*pi* quad(diffM,a,b)[0] das Volumen und die Mantelfläche des Rotationskörpers. Das Listenelement [0] verhindert die Ausgabe der Fehlerabschätzung.

Um die Genauigkeit der Mittelpunktregel (Rechtecksummen) und der Trapezregel zu testen, können Sie die Funktionsnamen in den Zeilen 19 und 20 ändern.