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¡Boing!

Un muelle es un objeto elástico que recupera su forma original cuando se le libera, tras ser comprimido o estirado. Se emplea para almacenar energía mecánica al ejercer una tensión constante o absorber movimiento. Se utilizan muelles en casi todos los sectores industriales, desde la fabricación de automóviles y la construcción hasta el mobiliario.

Confederation of British Industry,
Product factsheet: springs in Europe

Hace poco, compramos un colchón nuevo. Elegimos uno que tiene 5.900 muelles. El diagrama de su sección transversal en la tienda mostraba filas apretadas y muy juntas de resortes poco enroscados, con otra capa encima de otros más pequeños. Los colchones caros de verdad tenían otros 2.000 muelles más dentro de la capa principal. La tecnología actual ha adelantado mucho desde la época en que los jergones tenían solo 200 resortes, más bien grandes y no muy cómodos.

Un muelle es uno de esos mecanismos que están por todas partes pero a los que casi nunca se presta atención, hasta que fallan. Hay válvulas de resorte en los motores de los coches, muelles largos y delgados en los bolígrafos retráctiles y otros de muchas formas y tamaños diferentes en los teclados de los ordenadores, en tostadoras, en los pomos de las puertas, en relojes, en camas elásticas, en sofás y en reproductores de Blu-ray. Nadie se fija en ellos porque están ocultos dentro de nuestros aparatos y muebles, donde ni se ven ni, por lo tanto, se les presta atención. Son un gran negocio.

¿Alguien sabe cómo se fabrican? Desde luego, yo no me enteré hasta 1992, cuando sonó el teléfono de mi oficina.

«¿Hola? Mi nombre es Len Reynolds. Soy un ingeniero de la Asociación de Fabricantes e Investigadores de Resortes de Sheffield. He leído su libro sobre teoría del caos y en él menciona un método para encontrar la forma de un atractor caótico a partir de observaciones. Creo que podría ayudar a resolver un problema que hemos tenido en la industria de fabricación de muelles durante los últimos 25 años. Lo he probado en algunos datos de muestra con mi ZX81.»

El Sinclair ZX81 fue uno de los primeros ordenadores domésticos en el mercado. Empleaba un televisor como monitor y un casete para almacenar el software. Estaba hecho de plástico, tenía un tamaño parecido al de un libro y una magnífica memoria de 1 kB. Era posible conectar otros 16 kB en la parte de atrás, siempre que se tomasen precauciones para que no se cayesen. Yo construí una estructura de madera para sostener la ampliación de RAM en su sitio. Otras personas emplearon Blu-Tack.

No era lo que se dice tecnología informática puntera, pero los resultados preliminares de Len eran lo bastante prometedores como para merecer una beca de 90.000 libras esterlinas (unos 150.000 dólares estadounidenses de la época) del Ministerio de Comercio e Industria, con fondos equivalentes (en especie, no en efectivo) de un consorcio de fabricantes de muelles y alambres. Este dinero sirvió para pagar una investigación de tres años para mejorar las pruebas de control de calidad de la materia prima para resortes, lo que a su vez llevó a otros dos proyectos por un plazo de cinco años. En un momento dado, se estimó que el resultado podía ahorrar a las industrias de muelles y alambres unos 18 millones de libras esterlinas (30 millones de dólares) al año.

No es exagerado decir que hay miles de aplicaciones como esta, de las matemáticas a los problemas industriales, que ocurren todo el tiempo y que en buena medida pasan desapercibidas. Muchas son secretos comerciales, protegidas por acuerdos de confidencialidad. De vez en cuando, organizaciones de Reino Unido, tales como el Consejo para la Investigación de las Ciencias Físicas y de la Ingeniería o el Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones, publican casos prácticos breves de unos pocos de estos proyectos y lo mismo ocurre en Estados Unidos y en todas partes. Sin estas investigaciones, y muchos otros usos dirigidos de las matemáticas por empresas grandes y pequeñas de todo el mundo, no existiría ninguno de los aparatos y dispositivos que se emplean a diario. Sin embargo, es un mundo oculto y pocas personas sospechan siquiera de su existencia.

En este capítulo, sacaré a la luz los tres proyectos en los que he participado. No porque tengan una importancia especial, sino porque sé lo que implicaron. Las ideas fundamentales se publicaron, sobre todo en revistas especializadas del sector, y son de dominio público. Mi objetivo es demostrar que la manera en que las matemáticas se emplean en la industria es a menudo indirecta y sorprendente, con una dosis de casualidad.

Como la llamada telefónica de Len.

 

*

 

El problema que traía en vilo a la industria del alambre y de los muelles desde hacía un cuarto de siglo era sencillo y básico. Los resortes (producidos por fabricantes de resortes) consumen alambre (producido por fabricantes de alambre) y lo hacen pasar por máquinas enrolladoras para dar forma al producto. La mayor parte de la materia prima responde a la perfección y da lugar a muelles en el intervalo correcto de tamaño y elasticidad. Pero de vez en cuando un lote se resiste a enrollarse de la manera correcta, incluso en manos de un operario muy hábil. Los métodos de control de calidad habituales de principios de la década de 1990 no podían discernir el alambre bueno del malo. Ambos superaban las mismas pruebas de composición química, resistencia a la tensión, etcétera. En el aspecto visual, parecían idénticos. Pero cuando se alimentaba a una máquina enrolladora con un buen alambre se obtenía el muelle que se deseaba, mientras que si se empleaba uno malo, lo que salía era algo que parecía un resorte pero del tamaño equivocado o, en el peor de los casos, era un enredo sin solución.

Probar a enrollar el alambre no era una prueba eficaz ni determinante. Si era malo, podía tener ocupada una máquina muy cara durante un par de días, hasta que el operario se convenciera de que era imposible hacer muelles con ese lote. Por desgracia, dado que la materia prima había superado los controles habituales, su fabricante podía decir, con razón, que no había ningún problema con ella: algo debía haber ido mal con el ajuste de la máquina enrolladora. Ambos sectores se quejaban del cruce de acusaciones mutuas resultante, ambos querían una manera fiable de decidir quién estaba en lo cierto y ambos estaban resueltos a descubrir que no era culpa suya. Tenían la disposición adecuada, pero necesitaban una prueba objetiva.

Cuando empezamos con el proyecto, uno de los primeros pasos fue llevar a los matemáticos a una empresa fabricante de muelles y mostrarles la manera en que el alambre se transforma en un resorte. Todo es cuestión de geometría.

Los muelles más comunes son los de compresión. Si se empuja para acercar sus extremos, estos oponen una fuerza. El diseño más sencillo es una hélice geométrica, como una escalera de caracol. Imaginemos un punto que gira y gira en torno a una circunferencia a velocidad constante. Ahora desplacémoslo en perpendicular con respecto a ese plano también a velocidad constante. La curva que describe en el espacio es una hélice. Por motivos prácticos, los muelles helicoidales se cierran a menudo en ambos extremos, como si el punto móvil diese vueltas primero en el plano antes de empezar a moverse en perpendicular y después dejase de desplazarse en esa dirección para la última vuelta. Esto protege al resorte para que sus extremos no se enganchen en cosas y también a las personas para que no sean esas cosas a las que se enganchan los extremos.

Desde el punto de vista matemático, una hélice se caracteriza por dos propiedades: su curvatura y su torsión. La primera mide lo cerradas o abiertas que son sus curvas y la segunda mide cuánto se aleja del plano, determinada en la dirección en la que gira (por supuesto, hay una definición técnica, pero no nos enredemos en la geometría diferencial de curvas espaciales). Para una hélice, ambas cantidades son constantes. De modo que, si se mira desde el lado, las vueltas están separadas de manera uniforme e inclinadas el mismo ángulo (lo que se deriva de la velocidad constante a lo largo de su eje). Cuando se mira desde un extremo, todas las vueltas están alineadas entre sí y forman una circunferencia, por el movimiento uniforme de rotación. Una circunferencia pequeña corresponde a una curvatura elevada, una grande a una curvatura baja; una hélice que sube de manera pronunciada corresponde a una torsión elevada y una que lo hace poco a poco a una torsión baja.

Una máquina enrolladora encarna mecánicamente estas propiedades de forma maravillosa y sencilla. Toma la materia prima de una gran bobina poco apretada, denominada carrete, y la alimenta a través de una pequeña herramienta que no es más que una pieza rígida de metal. Con esto dobla el alambre en una dirección y de manera simultánea lo empuja un poco en perpendicular. Al doblarlo se crea la curvatura y al empujarlo, la torsión. Conforme el alambre pasa a través de la máquina, esta produce una vuelta tras otra de la hélice. Cuando esta es lo bastante larga, otra herramienta la corta y queda lista para dar forma al siguiente muelle. Aparatos adicionales reducen la torsión a cero cerca de cada extremo para que esas vueltas sean planas y cerradas. El proceso es rápido, de varias unidades por segundo. Un fabricante hacía resortes minúsculos a partir de un material especial a un ritmo de 18 por segundo en cada máquina enrolladora.

Las empresas de alambre y de muelles suelen ser bastante pequeñas y desde un punto de vista técnico, son pymes. Están atrapadas entre proveedores muy grandes, como British Steel, y clientes enormes, tales como fabricantes de vehículos y de colchones, de modo que sus márgenes de beneficio están limitados por ambos lados. Tienen que ser muy eficientes para poder sobrevivir. Ninguna de ellas por sí sola puede asumir el coste de tener su propio departamento de investigación, así que la Asociación de Fabricantes e Investigadores de Resortes (SRAMA, por sus siglas en inglés, desde entonces bajo el nuevo nombre de Instituto de Tecnología de Resortes) es una especie de organismo conjunto de investigación y desarrollo, una iniciativa en colaboración financiada por sus integrantes. Len y sus colegas de SRAMA ya habían conseguido algunos avances en el problema del enrollado, basándose en el análisis de lo que salía mal. La curvatura y la torsión al avanzar el proceso dependen de las propiedades materiales del alambre, tales como su plasticidad (lo fácil o difícil que es doblarlo). Cuando se ha formado una hélice correcta y regular, estas propiedades son uniformes a lo largo del carrete. Cuando no se consigue, es que no lo son. De modo que parecía probable que una capacidad de enrollado pobre se debiera a una variación irregular de estas propiedades materiales a lo largo del alambre. La cuestión entonces era saber cómo detectar estas alteraciones.

La respuesta estribaba en forzar el alambre a dar vueltas al enrollarlo en torno a una barra de metal, de un modo parecido a como lo hacen los espaguetis en un tenedor. Entonces es posible medir la separación entre vueltas sucesivas. Si son todas bastante parecidas, el lote es bueno. Si cada una es de su padre y de su madre, es malo. Excepto que a veces pueden variar mucho y el alambre sigue haciendo resortes a pesar de todo. Tal vez no de forma tan precisa como un lote bueno de verdad, pero lo suficiente para algunas aplicaciones. De modo que el meollo del asunto era saber cómo cuantificar (poner un número) al punto hasta el que un alambre «es de su padre y de su madre».

Los ingenieros de SRAMA aplicaron todas las herramientas estadísticas habituales a su listado de mediciones, pero ninguna estaba relacionada de cerca con la capacidad de formar muelles. En ese momento apareció mi libro sobre la teoría del caos.

 

*

 

La teoría del caos, que es un nombre inventado por los medios de comunicación, es más conocida entre los matemáticos como una parte de la teoría más amplia de la dinámica no lineal, que trata de la evolución de sistemas cuando su comportamiento a lo largo del tiempo está regido por una regla matemática concreta. Se mide el estado del sistema en este momento, se aplica la regla y se obtiene otro correspondiente a un poco después. Y se hace de nuevo. Conforme pasa el tiempo, es posible calcular el estado tan lejos en el futuro como se quiera. Esta técnica es la parte dinámica. Grosso modo, «no lineal» quiere decir que la regla no se limita a hacer que el estado posterior sea proporcional al actual ni a la diferencia entre este y otra configuración de referencia. Para un tiempo que varía de manera continua, la regla viene determinada por una ecuación diferencial que relaciona la tasa de cambio de las variables del sistema con sus valores actuales.

También hay una versión discreta en la que el tiempo transcurre paso a paso, descrita por una relación de recurrencia: el estado después de una unidad de tiempo es lo que le ocurre al actual cuando se aplica la regla. Es la versión discreta la que resuelve el problema del enrollado. Por suerte, es la más fácil de entender. Funciona así:

estado en el momento 0 → estado en el momento 1 →
estado en el momento 2 → ...

donde la flecha quiere decir «se aplica la regla». Por ejemplo, si esta es «multiplicar por dos» y se parte de un estado inicial igual a 1, entonces los pasos sucesivos dan lugar a la secuencia 1, 2, 4, 8... el doble cada vez. Esta regla es lineal porque el resultado es proporcional al estado inicial. Otra del tipo «elevar al cuadrado y restar 3» es no lineal y en este caso da lugar a la secuencia

1 → – 2 → 1 → – 2 → ...

que repite los mismos dos números una vez tras otra. Se trata de una dinámica «periódica», muy parecida al ciclo de las estaciones, por decir algo. El comportamiento futuro es predecible por completo a partir del estado inicial: tan solo alterna entre 1 y – 2.

Por otro lado, si la regla es «elevar al cuadrado y restar 4», se obtiene

1 → – 3 → 5 → 21 → 437 → ...

y los números no dejan de crecer, excepto por el segundo. La secuencia todavía es predecible: solo hay que aplicar la regla sin cesar. Dado que es determinista (no tiene características aleatorias) cada valor sucesivo está determinado en exclusiva por el anterior, de modo que todo el futuro es predecible por completo.

Lo mismo ocurre con versiones de tiempo continuo, aunque la posibilidad de hacer predicciones no es tan evidente en ese caso. Una secuencia de números de este tipo se denomina serie temporal.

Siguiendo los pasos de Galileo Galilei y de Newton, los matemáticos y los científicos descubrieron innumerables reglas de este tipo, tales como la de Galileo para la posición de un cuerpo que cae sometido a la fuerza de la gravedad y la ley de Newton de la gravitación universal. Este proceso llevó a la creencia de que todos los sistemas mecánicos obedecen reglas deterministas y que, por lo tanto, son predecibles. No obstante, el gran matemático francés Henri Poincaré descubrió una inconsistencia en este argumento, que publicó en 1890. La ley de Newton de la gravitación universal determina que dos cuerpos celestes, tales como una estrella y un planeta, se mueven en órbitas elípticas en torno a su centro de masas común, que en este caso se encuentra por lo normal dentro de la estrella. El movimiento es periódico y el periodo es el tiempo que se tarda en recorrer una vez la órbita y volver al punto de partida. Poincaré investigó lo que ocurre cuando hay tres cuerpos (Sol, planeta, satélite) y descubrió que en algunos casos el movimiento es irregular en extremo. Matemáticos posteriores, que retomaron este descubrimiento mucho después, se dieron cuenta de que este tipo de irregularidad hace que no se pueda predecir la evolución de un sistema así. La inconsistencia en la «demostración» de la predictibilidad consiste en que esta solo se conserva si puede medirse el estado inicial y hacer todos los cálculos con una precisión absoluta, correcta hasta una cantidad infinita de decimales. De otro modo, cualquier discrepancia minúscula podría crecer con velocidad exponencial hasta saturar por completo el valor verdadero.

Se trata del caos, o con mayor propiedad, del caos determinista. Incluso cuando se conocen las reglas y estas no tienen características aleatorias, es posible que el futuro no sea predecible en la práctica, aunque sí lo sea en la teoría. De hecho, el comportamiento puede ser tan irregular que parezca aleatorio. En un sistema que lo sea de verdad, el estado actual no proporciona información alguna acerca del siguiente. Pero en uno caótico hay patrones sutiles ocultos tras el caos. Estos son geométricos y es posible hacerlos visibles al trazar las soluciones de las ecuaciones del modelo como curvas en un espacio cuyas coordenadas sean las variables de estado. En algunas ocasiones, si se espera un poco, estas representaciones empiezan a dibujar una forma geométrica compleja. Si las curvas que parten de diferentes puntos iniciales trazan todas el mismo dibujo, este se denomina atractor. El atractor caracteriza los patrones ocultos en el comportamiento caótico.

Izquierda: el atractor de Lorenz. Derecha: una reconstrucción de su topología a partir de una única variable.

Un ejemplo habitual son las ecuaciones de Lorenz, un sistema dinámico de tiempo continuo que es un modelo de un gas convectivo, tal como el aire caliente en la atmósfera. Estas ecuaciones tienen tres variables. En un gráfico que represente su evolución y que emplee un sistema de coordenadas tridimensional, las curvas de la solución acaban todas por desplazarse a lo largo de una forma que tiene un cierto parecido con un antifaz: el atractor de Lorenz. El caos resulta porque, aunque las curvas de la solución se desplazan alrededor (bueno, muy cerca) de este atractor, cada una lo hace de manera muy diferente. Una podría, pongamos por caso, dar seis vueltas en torno a la circunferencia de la izquierda y luego otras siete en torno a la de la derecha. Otra cercana podría dar ocho vueltas alrededor de la izquierda y luego tres alrededor de la derecha, etcétera. De modo que los futuros predichos para estas soluciones son muy diferentes, incluso aunque partan de valores muy parecidos de las variables.

No obstante, las predicciones a corto plazo son más fiables. En primer lugar, dos curvas cercanas permanecen próximas entre sí. Solo empiezan a divergir más tarde. De modo que un sistema caótico es predecible a corto plazo, a diferencia de uno aleatorio de verdad, que no es predecible en absoluto. Este es uno de los patrones ocultos que distinguen el caos determinista de la aleatoriedad.

Cuando se trabaja con un modelo matemático concreto, se conocen todas las variables y puede emplearse un ordenador para calcular cómo cambian estas. Es posible hacer visible el atractor al representar estos cambios en las coordenadas. Cuando se observa un sistema real que podría ser caótico, no siempre se dispone de estos lujos. En el peor de los casos, tal vez solo se sea capaz de medir una de las variables. Dado que no se conocen las demás, no puede dibujarse el atractor.

Y aquí entra en juego la idea de Len. Los matemáticos han concebido métodos astutos para «reconstruir» un atractor a partir de las mediciones de una única variable. El más sencillo es el de Packard-­Takens o de ventana deslizante, desarrollado por Norman Packard y Floris Takens. Introduce nuevas variables «falsas» al medir una sola, pero en momentos diferentes. De modo que en lugar de las tres variables originales en un mismo instante, se toma solo una dentro de una ventana de tres unidades de tiempo de duración. Entonces se desliza la ventana un paso y se hace lo mismo y el proceso se repite muchas veces. La imagen de la derecha muestra cómo funciona este proceso para el atractor de Lorenz. No es idéntica a la de la izquierda, pero a no ser que se haga una elección muy mala de las unidades de tiempo, las dos representaciones tienen la misma topología: el atractor reconstruido es una versión distorsionada de forma continua del real. Aquí, ambas imágenes tienen la apariencia de un antifaz, con dos agujeros para los ojos, aunque una es una versión retorcida de la otra.

Esta técnica proporciona una representación cualitativa del atractor que dice el tipo de caos que se debe esperar. Así que Len, que se preguntaba si el mismo truco podría funcionar con sus datos de los muelles, hizo un gráfico bidimensional en el que trataba las separaciones sucesivas entre vueltas como una serie temporal y les aplicaba una reconstrucción de ventana deslizante. Sin embargo, no obtuvo una forma geométrica nítida como un antifaz, sino una nube difusa de puntos. Esto indicaba que la secuencia de las separaciones podría no ser caótica en el sentido técnico en que emplean el término los matemáticos.

Entonces, ¿el método era inútil?

En absoluto.

Lo que llamó la atención de Len fue la forma global de esa nube difusa. Se habían hecho pruebas meticulosas a las muestras de alambre en una máquina enrolladora, así que sabía cuáles eran buenas, malas o indiferentes. ¿Podría la nube de puntos reconstruida indicar cuál era cuál? Aparentemente sí. Cuando el alambre era muy bueno, se enrollaba con facilidad y daba como resultado muelles muy precisos, la nube era pequeña y más o menos circular. Si el material era aceptable, se enrollaba con cierta facilidad pero producía resortes de tamaños más variables, la distribución de puntos era mayor aunque todavía aproximadamente circular. Por el contrario, cuando era malo e imposible de enrollar para formar los muelles, la nube era larga y delgada, como un puro.

Si se repetía el mismo patrón en otras muestras, se podría prescindir de las pruebas, lentas y caras, en una máquina enrolladora y utilizar la forma y el tamaño de la nube difusa para caracterizar a los alambres buenos, indiferentes y malos. Con esto quedaría resuelto el problema práctico de encontrar una prueba eficaz y barata de la capacidad de enrollarse. En realidad, no importa si la separación entre las vueltas es aleatoria, caótica o tiene un poco de ambas. No hace falta saber con exactitud cómo varían las propiedades materiales a lo largo del alambre, ni siquiera cuáles son estas. Desde luego, no hay que hacer cálculos muy complicados en teoría de la elasticidad, verificados con experimentos igual de complejos, para comprender cómo redundan estas variaciones en una capacidad de enrollarse buena o mala. Todo lo que se necesita saber es cómo distingue el gráfico de ventana deslizante el buen alambre del malo y esto puede comprobarse al probarlo con más muestras de material y compararlas con su comportamiento en una máquina enrolladora.

El motivo por el que las herramientas estadísticas habituales de los datos, tales como el valor medio (promedio) y la varianza (dispersión) no resultaban de ayuda es ahora evidente. Esas medidas pasan por alto el orden en el que se han tomado los datos y cómo cada separación de las vueltas se relaciona con la anterior. El valor medio y la varianza no cambian si se mezclan los datos, pero la forma de la nube de puntos puede verse alterada de manera dramática. Y es muy probable que esa sea la clave para hacer buenos muelles.

Para investigar esta idea construimos una máquina de control de calidad, FRACMAT, que enrollaba unas vueltas de prueba en torno a una barra de metal, las escaneaba con un micrómetro láser para medir las separaciones sucesivas, introducía estos datos en un ordenador, les aplicaba una reconstrucción de ventana deslizante para obtener una nube de puntos, estimaba la elipse que mejor se ajustaba a ella, para ver si era circular o tenía forma de puro y estimar su tamaño, y calculaba lo buena o mala que era la muestra de alambre. Era una aplicación práctica de la teoría del caos, del método de reconstrucción, a un problema que era probable que ni siquiera fuese caótico en sentido técnico. Resulta adecuado que la financiación del ministerio no fuese para investigación, sino para transferencia tecnológica: transferimos el método de reconstrucción de las matemáticas de la dinámica caótica a las series temporales de observaciones de un sistema del mundo real que es muy posible que no fuese caótico. Que es ni más ni menos lo que les dijimos que íbamos a hacer.

 

*

 

«Caos» es algo más que otra manera de decir «aleatorio». El caos es predecible a corto plazo. Si se lanza un dado, el resultado de la tirada no dice nada sobre lo que ocurrirá a continuación. Salga lo que salga esta vez, todos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 son igual de probables en la próxima ocasión. Siempre que el dado no esté trucado para que la probabilidad de algunos sea mayor, claro. El caos es diferente. Si los dados fuesen caóticos habría patrones. Tal vez un 1 en una tirada solo podría ir seguido por un 2 o un 5, mientras que después de un 2 solo podría salir un 4 o un 6, etcétera. Podría predecirse hasta cierto punto el próximo resultado, aunque el de la quinta o sexta tirada tras la actual pudiese ser cualquier cosa. La incertidumbre en la predicción es mayor cuanto más adelante en el tiempo se quiera hacer esta.

El segundo proyecto, DYNACON, surgió a partir del primero, cuando nos dimos cuenta de que se podía aprovechar esta predictibilidad a corto plazo del caos para controlar una máquina enrolladora. Si de algún modo fuésemos capaces de medir las longitudes de los resortes conforme se fabricaban y de detectar tendencias en las gráficas que sugiriesen que la máquina se comportaba de manera caótica de verdad, tal vez fuese posible ver venir los muelles malos y ajustar el proceso para compensarlo. Los fabricantes ya habían encontrado maneras de medir la longitud de los resortes conforme se producían, para separar los imprecisos en un contenedor aparte. Pero queríamos más. No solo retirar los malos conforme se fabricaban, sino evitar por completo que salieran. No a la perfección, pero sí lo suficiente como para evitar desperdiciar montones de alambre.

La mayoría de los matemáticos buscan la precisión. Un número es (o no) igual a 2. Pertenece (o no) al conjunto de los primos. Pero el mundo real es a menudo mucho más difuso. Una medición puede ser cercana a 2 pero no igual del todo; es más, si se mide la misma cantidad de nuevo, tal vez el resultado sea un poco diferente. Aunque un número no puede ser «casi primo», desde luego que puede ser «casi entero». Una descripción así es razonable para cantidades como 1,99 o 2,01, por ejemplo. En 1965, Lotfi Zadeh y Dieter Klaua formularon, de manera independiente, una descripción matemática precisa de este tipo de indefinición, conocida como teoría de conjuntos difusos, junto con un concepto relacionado de lógica difusa.

En teoría de conjuntos convencional, un objeto (tal como un número) pertenece a un conjunto concreto o no lo hace. En cambio, en su contrapartida difusa hay una medida numérica precisa del grado en que pertenece. De modo que el 2 podría estar a medias en el conjunto, o solo en un tercio. Si la medida es 1, el número es un elemento con certeza y si es 0, es seguro que no lo es. Si solo hay 0 y 1, se obtiene la teoría de conjuntos convencional. Si se permite cualquier valor entre 0 y 1, el grado de pertenencia difusa representa la zona gris que hay entre esos dos extremos.

Algunos matemáticos destacados se apresuraron a desdeñar la idea y, o bien decían que la teoría de conjuntos difusos no es más que teoría de probabilidades disfrazada, o bien que la lógica de la mayor parte de las personas ya es bastante difusa sin pretender que los matemáticos sigan por la misma senda. Me resulta desconcertante la motivación que tienen algunos académicos para desdeñar de manera tan inmediata las ideas nuevas, sobre todo cuando sus motivos para hacerlo no tienen razón de ser. Nadie proponía sustituir la lógica convencional por una difusa. Solo se ofrecía como un arma nueva en el arsenal. Aunque los conjuntos difusos se parecen de manera superficial a la teoría de probabilidades, las reglas son diferentes y también lo es su interpretación. Si un número pertenece a un conjunto con una probabilidad de 1/2 y se adopta un enfoque frecuentista, se afirma que si se repite el experimento muchas veces, este número aparecerá en los resultados cerca de la mitad de las veces. Si el enfoque es bayesiano, la confianza de que pertenezca al conjunto es del 50 %. Pero en la teoría de conjuntos difusos no existe el elemento suerte. El número está con certeza en el conjunto, pero el grado en el que pertenece a él no es 1. Es exactamente 1/2. Respecto a la broma sobre la lógica deficiente, cabe decir que la lógica difusa tiene reglas precisas y que cualquier argumento que la emplea es correcto o no, dependiendo de si ha obedecido esas reglas. Supongo que la palabra «difusa» llevó a algunas personas a asumir, sin molestarse en comprobarlo, que las reglas en sí mismas eran maleables y estaban mal definidas. En absoluto.

Un tema diferente, que sin duda hizo mucho por enturbiar el debate, es hasta qué punto los conjuntos difusos y la lógica difusa contribuyen de un modo significativo a las matemáticas. Es fácil diseñar sistemas formales extensos que son poco menos que cajones de sastre pretenciosos de fórmulas carentes de contenido («sinsentidos abstractos»). Sospecho que era muy tentador ver la criatura de Zadeh bajo esta luz, sobre todo desde el momento en que los aspectos básicos no eran profundos ni difíciles. Bien, puede ser que el movimiento solo se demuestre andando, pero hay varias maneras de evaluar si una contribución matemática es valiosa y su profundidad intelectual es solo una de ellas. Otra, bastante relevante para este libro, es su utilidad. Y muchas ideas matemáticas casi triviales han resultado ser útiles en extremo. Por ejemplo, la notación decimal. Es brillante, novedosa, inteligente y rompedora, pero no profunda. Los niños son capaces de entenderla.

Es probable que la lógica difusa y la teoría de conjuntos difusos no superen el criterio de la profundidad, al menos si se las compara con la hipótesis de Riemann o con el último teorema de Fermat. Pero lo cierto es que han demostrado ser muy útiles. Cobran relevancia cada vez que no se está seguro del todo de la precisión de la información que se observa. Hoy en día, las matemáticas difusas se emplean con profusión en campos tan diversos como la lingüística, la toma de decisiones, el análisis de datos y la bioinformática. Se usan cuando resuelven la papeleta mejor que cualquiera alternativa y pueden dejarse de lado sin problemas cuando no lo hacen.

Efecto de poner en marcha el controlador autoajustable difuso. El número de muelles va de izquierda a derecha. Arriba: longitudes medidas de los muelles. Abajo: actividad del controlador, medida por el número de veces que gira el motor del controlador. Los muelles 1 a 400 no tienen control y la variabilidad en altura es grande. Los resortes 401 a 800 se enrollaron con el controlador encendido. La variabilidad es menor a ojos vistas.

No quiero entrar en los pormenores de la teoría de conjuntos difusos, que en realidad no son necesarios para apreciar nuestro segundo proyecto. Ensayamos varios métodos para predecir cuándo iba la máquina enrolladora a fabricar muelles defectuosos y ajustarla de manera acorde. Uno de ellos se conoce en la industria como un modelo de controlador difuso de tipo Takagi-Sugeno, por los ingenieros Tomahiro Takagi y Michio Sugeno.1

Este implementa, en el formalismo preciso de las matemáticas difusas, unos sistemas de reglas que son difusas en sí mismas. En este caso, las reglas toman la forma «si la medición (necesariamente imprecisa) de la longitud del muelle actual es X, entonces haz Y para ajustar la máquina enrolladora». También se tomaban en cuenta los ajustes previos, junto con una estimación de las perturbaciones causadas por las propiedades materiales variables del alambre, el desgaste de la máquina herramienta, etcétera. Todos los datos son difusos y por lo tanto también lo son las acciones que se realizan. El formalismo matemático gestiona esto de manera automática para ajustar la máquina enrolladora sobre la marcha.

Para nuestro proyecto de tiras de metal ensayamos tres métodos diferentes. En primer lugar, hicimos funcionar la máquina con el sistema de control apagado para establecer una línea de referencia a partir de la cual evaluar la eficacia de los demás métodos. Los datos obtenidos también ayudaron a estimar varios parámetros en los modelos matemáticos. A continuación, pusimos la máquina a trabajar con un controlador integral, que emplea una fórmula matemática fija para predecir el cambio necesario en los ajustes entre una vuelta y la siguiente. Por último, empleamos un control autoajustable difuso, que adapta sus propias reglas sobre la marcha según las longitudes observadas de los muelles. Cuando lo hicimos así con alambre de acero inoxidable, la desviación estándar de las longitudes de los resortes (una medida de lo variables que resultan) fue de 0,077 sin control, de 0,065 con control integral y de 0,039 con autoajuste difuso. De modo que el método de lógica difusa era el que funcionaba mejor y reducía la variabilidad a la mitad.

 

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Otro principio básico en matemáticas es que una vez que has encontrado algo que funciona, lo exprimes al máximo. Una idea que ha demostrado su valor puede a menudo aprovecharse en circunstancias parecidas, pero diferentes. Para nuestro tercer proyecto, también parte de DYNACON, volvimos a FRACMAT, modificando el dispositivo de prueba para adaptarlo a un sector industrial que es parecido a la fabricación de resortes pero que emplea tiras metálicas en vez de alambre.

Es casi seguro que todo el mundo tiene en su casa algún producto hecho con tiras metálicas. En Reino Unido, todos los enchufes contienen un fusible sujeto mediante pinzas de cobre. Estas se fabrican a partir de un gran carrete de tira de cobre, delgada y estrecha. Una máquina alimenta la materia prima a través de una serie de herramientas dispuestas en círculo, orientadas todas hacia el centro, que es por donde pasa la tira. Cada una de ellas hace una doblez, con un ángulo concreto y en una posición determinada, perfora un orificio o realiza cualquier otra operación necesaria. Por último, una herramienta de corte separa la pinza terminada que cae a un contenedor. Una máquina normal puede hacer diez o más pinzas por segundo.

El mismo proceso se emplea para fabricar una enorme cantidad de pequeños objetos metálicos. Una empresa de Reino Unido se ha especializado en hacer las pinzas que sujetan los soportes de los techos técnicos y produce cientos de miles al día. Del mismo modo que los fabricantes de resorts tienen problemas para saber si el alambre se va a enrollar bien, los fabricantes de pinzas tienen problemas para saber si una muestra dada de tira se va a doblar de la forma que se espera. El origen del problema es parecido: propiedades materiales variables, tales como la plasticidad, a lo largo de la tira. De modo que parecía razonable probar con el mismo método de reconstrucción de ventana deslizante en este caso.

No obstante, no tiene sentido forzar una tira de metal para que se enrolle. Tiene la forma equivocada para hacerlo con facilidad, y dar vueltas tiene poco que ver con el modo de fabricar las pinzas. La cantidad crucial aquí es cuánto se dobla el metal cuando se aplica una fuerza dada. De modo que tras pensarlo mucho, volvimos a diseñar la máquina de prueba y se nos ocurrió algo mucho más sencillo: hacer pasar la tira entre tres rodillos y que el de la mitad la obligase a doblarse. Dejábamos que este rodillo se moviese un poco, sobre un resorte fuerte, y medíamos cuánto se desplazaba cuando la tira pasaba por debajo de él. El metal se doblaba y luego se aplanaba de nuevo y se podía medir la fuerza necesaria para hacerlo así. Si la plasticidad variaba con la longitud, también lo hacía esta fuerza.

En lugar de mediciones discretas de separaciones de vueltas en el alambre, tomadas mediante un micrómetro láser, ahora teníamos mediciones continuas de fuerzas. La máquina también media la fricción superficial, que resultó tener un efecto importante sobre la calidad. Sin embargo, el análisis de los datos es muy parecido. Esta máquina de prueba es más pequeña que la FRACMAT, más sencilla de fabricar y tiene la ventaja de que no es destructiva: la tira vuelve a su estado inicial y podría emplearse en la fabricación si se quisiera.

 

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¿Qué aprendimos?

Es probable que le hayamos ahorrado a las empresas de alambre y muelles bastante dinero, así que aprendimos que este tipo de análisis de datos matemáticos tiene un valor contante y sonante. Hasta cierto punto, la mera existencia de la FRACMAT convenció a los fabricantes de alambre de mejorar sus procesos de producción, lo que a su vez fue una ayuda para los de resortes. Las máquinas siguen en uso y el Instituto funciona todavía como un recurso colectivo para muchas empresas pequeñas y hace las pruebas por ellas.

Aprendimos que las reconstrucciones de ventana deslizante pueden ser útiles incluso cuando no se sabe si los datos han sido generados por alguna dinámica caótica, precisa desde el punto de vista matemático, nítida y correcta. ¿Varían de manera caótica las propiedades materiales del alambre, en el sentido técnico? No lo sabemos. No nos hizo falta saberlo para crear el nuevo procedimiento de prueba y la máquina. Los métodos matemáticos no se limitan al contexto concreto para el que fueron desarrollados en primer lugar. Son portátiles.

Aprendimos que, en ocasiones, cuando se intenta transferir un truco que funciona a un contexto nuevo (control), no siempre sirve. En ese caso, hay que buscar otros métodos que sí lo hagan (lógica difusa).

Aprendimos que a veces este tipo de transferencia funciona bien de verdad. Incluso mejor, en algunos aspectos, que el primer intento. Nuestra máquina para tiras de metal sirve también para el alambre y no es destructiva.

Sobre todo, aprendimos que cuando un equipo de personas con conocimientos y experiencia muy diferentes unen sus fuerzas frente a un problema común, pueden resolverlo de maneras que ningún integrante del equipo habría sido capaz de idear por sí solo. Conforme la humanidad sigue su andadura en el siglo XXI y se enfrenta a problemas nuevos e interrelacionados a todos los niveles, desde el social al tecnológico, esa es una lección muy importante.