Notas

1. En 2012, la empresa de auditoría Deloitte realizó un sondeo titulado Measuring the Economic Benefits of Mathematical Science Research in the UK. En esa fecha, había 2,8 millones de personas empleadas en profesiones relacionadas con la ciencia de las matemáticas: tanto puras como aplicadas, estadística y ciencias de la computación. Su contribución a la economía de Reino Unido ese año se estimó en 208.000 millones de libras esterlinas (en valor bruto agregado), algo menos de 250.000 millones ajustadas a dinero de 2020, cerca de 290.000 millones de euros. Esas 2,8 millones de personas constituían el 10 % de la población activa del país y suponían el 16 % de su economía. Las áreas principales en que se ocupaban eran la banca, la investigación y el desarrollo industriales, los servicios informáticos, el sector aeroespacial, las farmacéuticas, la arquitectura y la construcción. Los ejemplos mencionados en el informe incluían los teléfonos inteligentes, el pronóstico del tiempo, la sanidad, los efectos especiales en el cine, la mejora del rendimiento deportivo, la seguridad nacional, la gestión de epidemias, la seguridad de los datos en internet y mejorar la eficacia de los procesos industriales.

2. https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf. [hay trad. cast. accesible en https://www.u-cursos.cl/escverano/2006/3/269/1/material_docente/bajar %3Fid_material %3D118053.]

3. La fórmula es

donde x es el valor de la variable aleatoria, μ es la media y σ es la desviación estándar.

4. Vito Volterra era matemático y físico. En 1926, un biólogo marino, Umberto D’ancona, cortejaba a su hija, con la que se casó después. D’ancona había descubierto que la proporción de peces depredadores (tiburones, rayas y pez espada) capturados por los pescadores durante la primera guerra mundial había aumentado, a pesar de que en conjunto se pescaba menos. Volterra desarrolló un modelo sencillo basado en el cálculo sobre los cambios en el tiempo de las poblaciones de depredadores y de presas, que demostraba que el sistema gira en torno a ciclos que se repiten de aumentos explosivos de depredadores y colapsos del número de presas. De manera crucial, la cantidad de depredadores aumenta en promedio, más que la de presas.

5. No cabe duda de que Newton también empleó su intuición física y los historiadores afirman que es muy probable que tomara la idea prestada de Robert Hooke. Sin embargo, no tiene sentido darle vueltas al molino.

1. Traducción de Celia Filipetto Isicato, Mort, Debolsillo, Barcelona, 2010.

2. www.theguardian.com/commentisfree/2014/oct/09/virginiagerrymandering-voting-rights-act-black-voters.

3. El tiempo que se tardaba no era la única pega. En la Convención Constitucional de 1787, de la que surgió el sistema del colegio electoral, aunque bajo un nombre distinto, James Wilson, James Madison y otros eran de la opinión de que el voto popular era mejor. No obstante, decidir quién tenía derecho al sufragio presentaba problemas prácticos y había grandes diferencias de opinión entre los estados del Norte y del Sur.

4. En 1927, E. P. Cox empleó la misma cantidad en paleontología para evaluar la redondez de los granos de arena, lo que ayuda a distinguir los que ha transportado el viento de los que ha traído el agua y aporta pruebas de las condiciones medioambientales en tiempos prehistóricos. Véase Cox, E. P., «A method of assigning numerical and percentage values to the degree of roundness of sand grains», Journal of Paleontology I, 1927, pp. 179-183. En 1966, Joseph Schwartzberg propuso emplear la proporción del perímetro de un distrito con respecto a la longitud de la circunferencia de un círculo de área equivalente. Esta se corresponde con la raíz cuadrada de la puntuación de Polsby-Popper, por lo que clasifica los distritos del mismo modo, aunque con valores diferentes. Véase Schwartzberg, J. E., «Reapportionment, gerrymanders and the notion of “compactness”», Minnesota Law Review, n.º 50, 1966, pp. 443-566.

5. Al rodear una colina, que es una superficie curva, consiguió encerrar aún más área dentro de su circunferencia.

6. Blåsjö, V., «The isoperimetric problem», American Mathematical Monthly, n.º 112, 2005, pp. 526-566.

7. Para un círculo de radio r,

la longitud de la circunferencia (= perímetro) = 2πr

área = πr²

perímetro² = (2πr)² = 4π²r² = 4π (πr²) = 4π × el área.

8. Stephanopoulos, N. y McGhee, E., «Partisan gerrymandering and the efficiency gap», University of Chicago Law Review, n.º 82, 2015, pp. 831-900.

9. Bernstein, M. y Duchin, M., «A formula goes to court: partisan gerrymandering and the efficiency gap», Notices of the American Mathematical Society, n.º 64, 2017, pp. 1020-1024.

10. Barton, T. J., «Improving the efficiency gap», Math Horizons, n.º 26.1, 2018, pp. 18-21.

11. A principios de la década de1960, John Selfridge y John Horton Conway descubrieron de manera independiente un método a prueba de envidia para dividir una tarta entre tres participantes:

1. Alice corta la tarta en tres porciones que ella considera de igual valor.

2. Bob puede dejar pasar su turno, si piensa que dos o más porciones son igual de grandes, o bien recorta la que en su opinión es la más grande para que se cumpla la condición anterior. Lo que ha recortado se denomina «sobras» y se deja a un lado.

3. Charlie, Bob y Alice, por ese orden, eligen el pedazo que les parece más grande o igual en tamaño al más grande. Si Bob no dejó pasar su turno en 2, debe elegir la porción recortada, a no ser que Charlie la haya elegido antes.

4. Si Bob dejó pasar su turno en 2, no hay sobras y se ha acabado el proceso. Si no es así, o Bob o Charlie se ha quedado con la porción recortada. Esta persona será «la que no ha cortado» y la otra será «la que ha cortado». Esta última divide las sobras en tres partes que le parezcan iguales.

5. Los tres participantes eligen una de estas partes en el orden siguiente: «La que no ha cortado», Alice y «la que ha cortado». Ninguno de ellos tiene motivos para envidiar lo que obtienen los demás. Si lo hace, es porque se equivocó de táctica y debería haber elegido de otro modo. Se puede ver una demostración en inglés en: <en.wikipedia.org/wiki/Selfridge-Conway_procedure>.

12. Brams, S. J. y Taylor, A. D., The win-win solution: guaranteering fair shares to everybody, Norton, Nueva York, 1999.

13. Landau, Z., Reid, O. y Yershov, I., «A fair division solution to the problem of redistricting», Social Choice and Welfare, n.º 32, 2009, pp. 479-492.

14. Alexeev, B. y Mixon, D. G., «An impossibility theorem for gerrymandering», American Mathematical Monthly, n.º 125, 2018, pp. 878-884.

1. Gibson, B., Wilkinson, M. y Kelly, D., «Let the pigeon drive the bus: pigeons can plan future routes in a room», Animal Cognition, n.º 15, 2012, pp. 379-391.

2. Mi ejemplo favorito es el de un político que montó un escándalo enorme por el dinero que se estaba malgastando en lo que él llamaba la «teoría de la mentira» (lie en inglés), que era de lo que pensaba que se ocupaba esta. No es así. Sophus Lie fue un matemático noruego cuyas contribuciones en grupos continuos de simetrías (grupos de Lie) y sus álgebras asociadas (adivinen el nombre) son fundamentales en buena parte de las matemáticas y más aún de la física. La confusión del político se hizo evidente enseguida... pero él siguió adelante como si nada.

3. Por motivos técnicos, mi observación sobre el rompecabezas no resuelve el problema del milenio. Pero si lo hiciera, ¡yo lo dije primero!

4. Juego de palabras intraducible entre sequins (lentejuelas) y sequence (serie), cuya pronunciación es muy parecida en inglés. (N. del t.)

5. Garey, M. R. y Johnson, D. S., Computers and intractability: a guide to the theory of NP-completeness, Freeman, San Francisco, 1979.

6. Peano, G., «Sur une courbe qui remplit toute une aire plane», Mathematische Annalen, n.º 36, 1890, pp. 157-160.

7. Hay que tomar algunas precauciones porque ciertos números reales no tienen una representación única como decimales. Por ejemplo 0,5000000... = 0,4999999... Pero es un problema fácil de sortear.

8. Netto, E., «Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, n.º 86, 1879, pp. 263-268.

9. Sagan, H. «Some reflections on the emergence of space-filling curves: the way it could have happened and should have happened, but did not happen», Journal of the Franklin Institute, n.º 328, 1991, pp. 419-430. Se puede ver una explicación en Jaffer, A., «Peano space-filling curves», http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/PSFC.

10. Lawder, J., The application of space-filling curves to the storage and retrieval of multi-dimensional data, tesis doctoral, Birkbeck College, Londres, 1999.

11. Bartholdi, J., Some combinatorial applications of spacefilling curves en <www2.isye.gatech.edu/~jjb/research/mow/mow.html>.

12. Hahn, H., «Über die allgemeinste ebene Punktmenge, die stetiges Bild einer Strecke ist», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, n.º 23, 1914, pp. 318-322. Hah, H., «Mengentheoretische Charakterisierung der stetigen Kurven», Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, n.º 123, 1914, pp. 2433-2489. Mazurkiewicz, S., «O aritmetzacji kontinuów», Comptes Rendus de la Societe Scientifique de Varsovie, n.º 6, 1913, pp. 305-311 y 941-945.

13. Publicado en 1998. Arora, S., Sudan, M., Motwani, M., Lund, C. y Szegedy, M., «Proof verification and the hardness of approximation problems», Journal of the Association for Computing Machinery, n.º 45, 1998, pp. 501-555.

14. Babai, L., «Transparent proofs and limits to approximation» en First European Congress of Mathematics. Progress in Mathematics 3 (Joseph, A., Mignot, F., Murat, F., Prum, B. y Rentschler, R., eds.), Birkhäuser, Basilea, 1994, pp. 31-91.

15. Szegedy, C., Zaremba, W., Sutskever, I., Bruna, J., Erhan, D., Good­fellow, I. y Fergus, R., «Intriguing properties of neural networks» en arXiv:1312.6199, 2013.

16. Shamir, A., Safran, I., Ronen, E. y Dunkelman, O., «A simple explanation for the existence of adversarial examples with small Hamming distance» en arXiv:1901.10861v1 [cs.LG], 2019.

1. No deben confundirse estos con la gráfica de una función, que es una curva que relaciona una variable x con el valor f(x) de la función. Como la parábola para f(x) = x2.

2. Agradezco los amables comentarios de Robin Wilson al señalar el error una vez que lo conté mal en uno de mis libros.

3. Siempre que se sepa en qué zona se empieza, basta con hacer una lista de los símbolos de los puentes en el orden en el que se cruzan. Los puentes consecutivos determinan una zona común a la que ambos están conectados.

4. Es algo bastante fácil de demostrar si se emplea la caracterización de Euler de un recorrido abierto. La idea principal es dividir un circuito cerrado hipotético al eliminar un puente. Así se obtiene un circuito abierto y el puente modificado en primer lugar une los dos extremos.

5. El resto de este capítulo sigue a Manlove, D., «Algorithms for kidney donation», London Mathematical Society Newsletter, n.º 475, marzo de 2018, pp. 19-24.

1. Traducción de Jesús Fernández Díez, Apología de un matemático, Nivola, Madrid, 1999.

2. No se conoce con certeza la fecha exacta en la que Fermat enunció su último teorema, pero a menudo se considera que fue en 1637.

3. Puede decirse también lo mismo de muchas matemáticas «aplicadas». No obstante, hay una diferencia: la actitud de los matemáticos. Las matemáticas puras están impulsadas por la lógica interna de la disciplina: no solo por una curiosidad animal, sino por la intuición de una estructura y de las partes en las que nuestra comprensión presenta carencias significativas. Las matemáticas aplicadas se ven impulsadas sobre todo por problemas que surgen en el «mundo real», pero tiene mayor predisposición a tolerar atajos sin justificar y aproximaciones en su búsqueda de una solución y esta puede tener aplicaciones prácticas o no. Como ilustra este capítulo, sin embargo, un tema que parece ser inútil por completo en algún momento de la historia puede volverse en vital de repente para aplicaciones prácticas cuando cambian la cultura o la tecnología. Es más, las matemáticas son un conjunto interconectado. Incluso la distinción entre puras y aplicadas es artificial. Un teorema que parece inútil en sí mismo puede inspirar, o incluso implicar, resultados de gran utilidad.

4. La respuesta es:

p = 12.277.385.900.723.407.383.112.254.544.721.901.362.713.421.995.519

q = 97.117.113.276.287.886.345.399.101.127.363.740.261.423.928.273.451

Encontré estos dos números primos mediante prueba y error y los multipliqué entre sí empleando un sistema de álgebra simbólica en un ordenador. Llevó unos pocos minutos, sobre todo para cambiar los dígitos de manera aleatoria hasta que me tropecé con un primo. Entonces le di instrucciones al ordenador para que encontrarse los factores del producto y los buscó durante mucho tiempo sin resultado.

5. Si n es la potencia de un número primo pk, entonces φ(n) = pk – pk–1. Para un producto de potencias de primos, su valor se obtiene de multiplicar estas expresiones entre sí para todas las potencias de primos diferentes en la factorización en primos de n. Por ejemplo, para encontrar φ(675), se escribe 675 = 3³5². Luego

φ(675) = (3³ – 3²)(5² – 5) = (18)(20) = 360.

6. Para ver más detalles acerca de los problemas que esto implica, véase Stewart, Ian, ¿Juega Dios a los dados?, Crítica, Barcelona, 2007, capítulos 15 y 16.

7. Vandersypen, L. M. K, Steffen, M., Breyta, G., Yannoni, C. S., Sherwood, M. H. y Chuang, I. L., «Experimental realization of Shor’s quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance», Nature, n.º 414, 2001, pp. 883-887.

8. Arute, F. et al., «Quantum supremacy using a programmable superconducting processor», Nature, n.º 574, 2019, pp. 505-510.

9. Proos, J. y Zalka, C., «Shor’s discrete logarithm quantum algorithm for elliptic curves», Quantum Information and Computation, n.º 3, 2003.

10. Roetteler, M., Naehrig, M., Svore, K. y Lauter. K., «Quantum resource estimates for computing elliptic curve discrete logarithms», en ASIACRYPT 2017: Advances in Cryptology, Springer, Nueva York, 2017, pp. 214-270.

1. Por ejemplo, – 25 tiene una raíz cuadrada 5i, porque

(5i)² = 5i × 5i = 5 × 5 × i × i = 25i² = 25(– 1) = – 25

De hecho, tiene una segunda raíz cuadrada, – 5i, por motivos similares.

2. Los expertos en álgebra normalizan la situación al decir que la raíz cuadrada de cero es cero con multiplicidad dos. Es decir, el mismo valor ocurre dos veces en un sentido significativo pero técnico. Una expresión como x² – 4 tiene dos factores, (x + 2) multiplicado por (x – 2), que llevan a dos soluciones respectivas, x = – 2 y x = +2 de la ecuación x² – 4 = 0. De manera similar, la expresión x² tiene dos factores, x por x. Tan solo ocurre que son el mismo.

3. Para un número real c, la función z(t) = ect obedece a la ecuación diferencial dz/dt = cz, con la condición inicial de que z(0) = 1. Si se define la función exponencial para un complejo c de modo que se cumpla la misma ecuación, lo que es razonable, y se hace c = i, entonces dz/dt = iz. Dado que multiplicar por i rota 90º los números complejos, la tangente de z(t) conforme varía t es perpendicular a z(t), de modo que el punto z(t) describe una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Gira a lo largo de esta circunferencia a una velocidad constante de un radián por unidad de tiempo, de modo que en el instante t su posición está en un ángulo de t radianes. Por trigonometría, este punto es cos t + i sen t.

4. Más en concreto, debe haber un «producto interno» que determine distancias y ángulos.

1. El ordenador más potente en 1988 era el Cray Y-MP, que costaba 20 millones de dólares (más de 50 millones de dólares al valor actual). No lo tendría fácil para ejecutar el sistema operativo de Windows.

2. Shoemake, K., «Animating rotation with quaternion curves», Computer Graphics, n.º 19, 1985, pp. 245-254.

3. Euler, L., «Découverte d’un nouveau principe de mécanique» (1752) en Opera Omnia, Series Secunda 5, Orel Fusili Turici, Lausana, 1957, pp. 81-108.

4. La propiedad del medio ángulo es importante en mecánica cuántica, en la que una formulación del espín cuántico está basada en los cuaterniones. Si la función de onda de una partícula del tipo conocido como un fermión se rota 360º, su espín pasa a ser el opuesto (esto es algo distinto a rotar la partícula en sí misma). La función de onda debe rotar 720º para que el espín vuelva a su valor original. Los cuaterniones unidad forman una «versión doble» de las rotaciones.

5. Brandt, C., von Tycowicz, C. y Hildebrandt, K., «Geometric flows of curves in shape space for processing motion of deformable objects», Computer Graphics Forum, n.º 35, 2016, pp. 295-305.

6. www.syfy.com/syfywire/it-took-more-cgi-than-you-think-to-bringcarrie-fisher-into-the-rise-of-skywalker.

1. Takagi, T. y Sugeno, M., «Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control», IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, n.º 15, 1985, pp. 116-132.

1. Este es el código JFIF, empleado en la web. El código Exif para cámaras también incluye «metadatos», que describen los ajustes de la cámara, tales como la fecha, la hora y la exposición.

2. Jain, A. y Pankanti, S., «Automated fingerprint identification and imaging systems» en Advances in Fingerprint Technology (C. Lee y R. E. Gaensslen, eds.), CRC Press, 2001, pp. 275-326.

1. Ashby, N., «Relativity in the Global Positioning System», Living Reviews in Relativity, n.º 6, 2003, 1. Doi: 10.12942/lrr-2003-1.

1. De manera más precisa, =Σexp(–β), donde la suma se extiende a todas las configuraciones de variables de espín.

2. Definiendo β = 1/kBT, donde kB es la constante de Boltzmann, la fórmula es:

 

 

3. La fórmula es:

donde H es la fuerza del campo externo y J la de las interacciones entre los espines. En ausencia de un campo externo, H = 0, de modo que senh (βH) = 0, por lo que toda la fracción es 0.

4. Ma, Y. P., Sudakov, I., Strong, C. y Golden, K. M., «Ising model for melt ponds on Arctic sea ice», New Journal of Physics, n.º 21, 2019, 063029.

1. Tanaka, S., «Topological analysis of point singularities in stimulus preference maps of the primary visual cortex», Proceedings of the Royal Society of London, n.º B 261, 1995, pp. 81-88.

2. «Lobster telescope has an eye for X-rays» en <https://www.sciencedaily.com/releases/2006/04/060404194138.htm>.

3. Desde un punto de vista técnico, la curva es la imagen, bajo un mapeado de un disco a la esfera, de la frontera del disco. La curva puede cruzarse a sí misma y el disco estrujarse.

4. Berwald, J. J., Gidea, M. y Vejdemo-Johansson, M., «Automatic recognition and tagging of topologically different regimes in dynamical systems», Discontinuity, Nonlinearity and Complexity, n.º 3, 2014, pp. 413-426.

5. Khasawneh, F. A. y Munch, E., «Chatter detection in turning using persistent homology», Mechanical Systems and Signal Processing, n.º 70, 2016, pp. 527-541.

6. Tralie, C. J. y Perea, J. A., «(Quasi) periodicity quantification in video data, using topology», SIAM Journal on Imaging Science, n.º 11, 2018, pp. 1049-1077.

7. Emrani, S., Gentimis, T. y Krim, H., «Persistent homology of delay embeddings and its application to wheeze detection», IEEE Signal Processing Letters, n.º 21, 2014, pp. 459-463.