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G. LudykRelativitätstheorie nur mit Matrizenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-60658-2_2

2. Allgemeine Relativitätstheorie

Günter Ludyk¹  

(1)

Physics and Electrical Engineering, University of Bremen, Bremen, Deutschland

 

 

Günter Ludyk

Email: guenter.ludyk@nord-com.net

Das Kapitel beginnt mit der Einführung der metrischen Matrix und der Auswirkung eines homogenen Gravitationsfeldes auf ein Masseteilchen. Dann wird die Bewegung auf einer geodätischen Linie in einem Gravitationsfeld betrachtet. Die allgemeine Transformation eines Koordinatensystems führt zur Christoffel-Matrix und der Riemannschen Krümmungsmatrix. Mit Hilfe der Ricci-Matrix kann dann die Allgemeine Relativitätstheorie von Einstein formuliert werden.

2.1 Allgemeine Relativitätstheorie und Riemannsche Geometrie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird Invarianz gegenüber einer beliebigen Koordinatentransformation, auch einem beschleunigten Koordinatensystem, gefordert. Die Form der Grundgesetze der Physik soll unverändert bestehen bleiben, wenn der Übergang aus einem System in ein anderes auf Grund der allgemeinen Transformationsgleichungen

(2.1)

erfolgt. Wir betrachten in einem beliebigen Koordinatensystem die unendlich kleine Umgebung eines Punktes P, in dem auch ein Gravitationsfeld vorhanden sein kann. In einem unendlich kleinen räumlichen Gebiet und für ein unendlich kleines Zeitintervall, also ein unendlich kleines Raum-Zeit-Intervall, kann das Koordinatensystem stets durch ein zu ihm beschleunigtes ersetzt werden, so dass in dem neuen Koordinatensystem kein Gravitationsfeld vorhanden ist, und dieses zugleich als nicht beschleunigt angesehen werden kann. ist das lokale Raum-Zeit-Koordinatensystem in der Umgebung eines Punktes. sei das allgemeine Koortinatensystem. Es wird nun folgendes angenommen:

Für alle lokalen Koordinatensysteme , denen irgendwelche unendlich kleine vierdimensionale Gebiete angehören, gilt die Spezielle Relativitätstheorie.

Der Punkt sei unendlich nahe bei P, und habe die reelen Koordinaten und in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, mit

(2.2)

wobei die Zeitkoordinate ct bedeuten soll. Ist positiv, so ist aus P durch eine Bewegung mit einer Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit hervorgegangen. (2.2) kann mit der Matrix

auch als quadratische Form

(2.3)

geschrieben werden. Geht man zu dem Koordinatensystem über, erhält man mit

und der Jacobi-Matrix

(2.4)

den Zusammenhang

(2.5)

Das in (2.3), eingesetzt ergibt

(2.6)

mit der metrischen Matrix

(2.7)

Die Elemente der metrischen Matrix sind Funktionen der Parameter ; sie können sich von Punkt zu Punkt ändern. In der Speziellen Relativitätstheorie ist in jedem beliebigen endlichen Gebiet. Ein sich selbst überlassener Massenpunkt bewegt sich in einem solchen Gebiet geradlinig und gleichförmig.

Befindet sich der Massenpunkt jedoch in einem Gravitationsfeld, ist die Bewegung gekrümmt und ungleichförmig. Je nach der Beschaffenheit des Gravitationsfeldes sind die andere Funktionen der Parameter. Die maximal zehn verschiedenen Elemente der symmetrischen Matrix beschreiben das Gravitationsfeld an jeder Stelle des Koordinatensystems. Im lokalen Koordinatensystem sind die konstant und können durch eine Ähnlichkeitstransformation in die Form überführt werden. Denn ist wie oben , dann erhält man mit der linearen Transformation sofort

Das gilt aber immer nur für einen Punkt, da die Jacobi-Matrizen von Punkt zu Punkt verschieden sind. Es existiert also keine Transformationsmatrix , die global gültig ist.

2.2 Bewegung eines Massenpunktes in einem Gravitationsfeld

Wie verhält sich ein Massenpunkt in einem Gravitationsfeld? Nach dem Relativitätsprinzip gelten im lokalen Inertialsystem, also in einem Koordinatensystem, das sich mit dem Masseteilchen mitbewegt, die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie. Für einen Massenpunkt, auf den keine Kräfte einwirken, gilt für die Bewegung

(2.8)

Die Eigenzeit ergibt sich aus

(2.9)

Durch Integration von Gl. (2.8) erhält man für die Anfangsposition und die Anfangsgeschwindigkeit die geradlinige Bewegung

Geht man jetzt zu einem globalen Nichtinertialsystem mit den Koordinaten über, so kann lokal an jeder Stelle auf die Form (2.9) gebracht werden. An jedem Punkt existiert also eine Transformation

(2.10)

zwischen und , die von Punkt zu Punkt verschieden ist. Auch ein Photon, also Licht, bewegt sich im lokalen Inertialsystem geradlinig. Dann ist aber nicht mehr die Eigenzeit des Photons; ein Photon besitzt keine Eigenzeit! Denn für Licht ist . Deshalb führen wir für Photonen den Bahnparameter ein, also ist

die Bewegungsgleichung des Photons im lokalen Inertialsystem. Jetzt gehen wir vom lokalen Inertialsystem mit dem Raumzeitvektor zum globalen Nichtinertialsystem mit dem Raumzeitvektor über. Mit der Jacobi-Matrix

erhält man für (2.9)

(2.11)

Für Licht ist also

(2.12)

2.2.1 Erste Lösung

Aus Gl. (2.8) erhält man für die Bewegung eines Masseteilchen mit

(2.13)

und mit der Gl. (4.​85) aus dem Anhang

aus (2.13)

(2.14)

oder

d. h.,

(2.15)

Mit und

(2.16)

kann für Gl. (2.15) auch die kompakte Gleichung geschrieben werden

(2.17)

Für die einzelnen Vektorkomponenten erhält man aus (2.16) und (2.17) unter Beachtung der Form von im Anhang ( ist Zeile k von )

(2.18)

Aus (2.16) und (2.18) kann man direkt ablesen

(2.19)

Die sogenannten Christoffel-Matrizen können direkt aus der Jacobi-Matrix , also aus der Transformationsmatrix für die Transformation vom lokalen Inertialsystem ins beschleunigte Nichtinertialsystem, d. h. ins Koordinatensystem mit Gravitationsfeld, berechnet werden!

Für die Bewegung eines Photons erhält man entsprechend die Bewegungsgleichung

(2.20)

2.2.2 Zweite Lösung

Eine alternative Lösung erhält man aus der zweiten Form gemäß (4.​89), nämlich

(2.21)

Damit erhält man aus (2.13)

(2.22)

d. h., mit

(2.23)

ausgeschrieben

(2.24)

also mit dem 16-dimensionalen Vektor ,

(2.25)

Das ist eine alternative Darstellung des Zusammenhanges (2.17)!

Definiert man

(2.26)

dann erhält man für die einzelnen Vektorkomponenten das Skalarprodukt aus zwei 16-dimensionalen Vektoren

(2.27)

2.2.3 Zusammenhang zwischen und

Da die metrische Matrix so definiert ist, wobei ist, muss die Matrix von abhängig sein. Das ist in der Tat der Fall, weil einerseits

(2.28)

und andererseits ist, also ist

(2.29)

Weiterhin ist

(2.30)

und

(2.31)

Weil

ist, ist z. B.

und

Damit erhält man, wenn man (2.29) und (2.30) addiert und davon (2.31) subtrahiert,

(2.32)

Nennt man , dann erhält man mit (2.28) und (2.32) für das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte von

(2.33)

Da , ist, ist insbesondere

und man erhält schließlich mit der -ten Zeile der Matrix und dem -ten Element dieses Zeilenvektors, diesen Zusammenhang zwischen dem Element in der -Zeile und -ten Spalte von und den Elementen von

(2.34)

Das ist der gesuchte Zusammenhang zwischen und !

2.3 Geodätische Linie und Bewegungsgleichung

Die Bewegung von Lichtquanten und Masseteilchen in Gravitationsfeldern wird jetzt nochmals, allerdings jetzt mittels der Variationsrechnung, angegangen. Es wird das gleiche Ergebnis wie in Gl. (2.17) erwartet, was auch darin zum Ausdruck kommt, dass auch hier in der Bewegungsgleichung innerhalb eines Gravitationsfeldes, der Buchstabe verwendet wird. In der Speziellen Relativitätstheorie gilt für die Bewegung von Lichtquanten , also , oder für jedes kleine Wegstück . Die Wegstrecke waren Geraden, also die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten und . In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird jetzt auch gefordert, dass sich Licht und Massen auf kürzesten Verbindungen bewegen, geodätischen Linien, für die die Länge einen Extremwert besitzt:

(2.35)

Das wird ein System von vier totalen Differentialgleichungen ergeben. Für die Variation von erhält man

(2.36)

bzw. wegen der Symmetrie von

(2.37)

(2.37) durch dividiert, ergibt mit und

(2.38)

Die rechte Seite mit erweitert, liefert

(2.39)

Für die Variation der Matrix wird

(2.40)

angesetzt. Das zu einer quadratischen Form erweitert:

(2.41)

und die rechte Seite zu einem Vektorprodukt zusammengefasst:

(2.42)

Für den Zeilenvektor auf der rechten Seite kann mit

für (2.42) geschrieben werden (das Symbol steht für das Kronecker-Produkt, Anhang)

(2.43)

Mit diesen Zusammenhängen erhält man jetzt für das variierte Integral (2.35)

(2.44)

Für den ersten Summanden im Integral partielle Integration unter Berücksichtigung von durchgeführt, liefert

(2.45)

Damit die Variation des Integrals für jede beliebige Vektorfunktion verschwindet, muss nach dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung (dort führt diese Betrachtung zur Euler-Gleichung) die in eckigen Klammern stehende Vektorfunktion identisch verschwinden:

(2.46)

Das transponiert, wobei beachtet wird, ergibt

(2.47)

Für den zweiten Term auf der linken Seite erhält man

(2.48)

Hierbei ist

Dies in (2.48) eingesetzt, liefert endgültig

(2.49)

oder nach aufgelöst

(2.50)

Mit dem Lemma (Anhang Vektoren und Matrizen)

(2.51)

kann (2.50) mit wie folgt umgeformt werden:

(2.52)

Mit

erhält man schließlich eine Form, bei der nach links und nach rechts herausgezogen ist:

(2.53)

Fasst man

(2.54)

(2.55)

zusammen, dann erhält man die kompakte Gleichung

(2.56)

die mit der Bewegunsgleichung (2.17) übereinstimmt, d. h., diese Gleichung lieferte in der Sprache der Variationsrechnung, auch schon eine Extremale.

In (2.54) ist mit der k-ten Zeile der Matrix

Für die vier Komponenten , erhält man daraus mit der k-ten Zeile der Matrix

(2.57)

Mit

(2.58)

kann man für (2.57) auch schreiben

(2.59)

Die -Matrizen , die auf diese Weise gewonnen wierden, müssen nicht symmetrisch sein. An dem Wert der quadratischen Form in (2.59) ändert sich aber nichts, wenn man statt die symmetrische -Matrix

(2.60)

in (2.59) einsetzt, wenn man sie, wie man auch sagt, symmetrisiert.  (2.58) ausmultpliziert, ergibt

und transponiert

Dafür kann man auch

(2.61)

schreiben. Setzt man (2.61) in (2.60) ein, erhält man schließlich

(2.62)

Ausmultipliziert erhält man für die Komponenten der Christoffel-Matrix den ähnlich schon weiter oben hergeleiteten Zusammenhang

(2.63)

den man mit

(2.64)

auch so schreiben kann

(2.65)

Außerdem folgt aus (2.64) dieser Zusammenhang

(2.66)

Die vier Komponenten des Vektors mit wieder zu einem Vektor zusammengefasst, ergibt

(2.67)

bzw.

(2.68)

mit

(2.69)

was man auch so schreiben kann

(2.70)

Führt man die Matrix

(2.71)

ein, kann man auch

(2.72)

schreiben. Die in der Matrix auftretende Matrizendifferenz hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass die erste, die -te, die -te und die 16. Zeile bzw. Spalte gleich der Nullzeile bzw. Nullspalte sind! Für die Matrix hat das zur Folge, dass die entsprechenden Zeilen aus , , und bestehen. Weiter folgt aus (2.72)

(2.73)

d. h., es ist

also

(2.74)

2.3.1 Alternative geodätische Bewegungsgleichungen

Wieder können die Bewegungsgleichungen wie folgt modifiziert werden. Zum einen ist

(2.75)

zum anderen ist

Auf die skalare Komponente den -Operator aus dem Anhang (4.​51) angewendet, liefert

also

(2.76)

mit ( ist die partielle Ableitung von nach

(2.77)

wenn die j-te Zeile von ist.

Durch die Methode des scharfen Ansehens kann man für die Matrix auch

(2.78)

schreiben, wobei das hochgestellte B die Blocktransponierte der entsprechenden Matrix bedeuten soll. Unter der Blocktransponierten einer Blockmatrix versteht man:

(2.76) in (2.49) eingesetzt, ergibt

(2.79)

Mit

(2.80)

erhält man schließlich

(2.81)

Zu (2.81) kann man auch auf diesem Weg kommen:

Es ist . Wendet man hierauf den -Operator gemäß (4.​51) an, erhält man

Mit

(2.82)

erhält man wieder (2.81). Auch hier kann man wieder für schreiben

(2.83)

Noch ein Wort zu den Ableitungen nach s. Ist bzw. positiv, dann handelt es sich um ein sogenanntes zeitartiges Ereignis. Es ist

also

Setzt man , erhält man

Ein Vergleich mit den Ergebnissen der Speziellen Relativitätstheorie liefert , also die Zeit, die im bewegten Koordinatensystem abläuft. Man bezeichnet in diesem Zusammenhang auch wieder als Eigenzeit.

2.4 Beispiel: Gleichförmig rotierende Systeme

Es wird ein gegenüber einem festen Inertialsystem mit den Koordinaten t, x, y und z gleichförmig um die z-Achse rotierendes Koordinatensystem mit den Koordinaten und z betrachtet. Dann heißen die Transformationsgleichungen

(2.84)

Für die Jacobi-Matrix erhält man in diesem Fall

(2.85)

und für die metrische Matrix

(2.86)

und daraus

(2.87)

hat in diesem Fall den Wert

(2.88)

Befindet sich auf dem rotierenden System an dem Ort eine Uhr und betrachtet man zwei zeitlich direkt benachbarte Ereignisse mit , dann erhält man für die Eigenzeit in diesem Fall den Zusammenhang (mit )

Das ist der aus der Speziellen Relativitätstheorie bekannte Zusammmenhang! Für die Berechnung der Beschleunigungen werden die Ableitungen der metrischen Matrix benötigt. In diesem Fall ist , aber

Da nur die Matrix ist, vereinfacht sich in diesem Fall (2.57) zu

Im einzelnen erhält man mit

(2.89)

und

(2.90)

bzw.

(2.91)

(2.89) stellt mit der Masse m multipliziert die Zentrifugalkraft und (2.91) die Coriolis-Kraft dar! Die in diesem rotierenden System auftretenden Beschleunigungen werden bestimmt durch die Elemente der koordinatenabhängigen metrischen Matrix . Für ein lokales Bezugssystem kann man immer eine Koordinatentransformation (mit ) angeben, so dass das transformierte System offensichtlich ein Inertialsystem ist. Im Allgemeinen kann man aber für ein beschleunigtes oder ungleichförmig bewegtes (z. B. rotierendes) System keine global geltende Transformationsmatrix angeben. Der gegebene Raum ist gekrümmt!

Es soll jetzt noch gezeigt werden, dass für die Christoffel-Symbole des rotierenden Systems bei Anwendung von (2.19) die gleichen Ergebnisse herauskommen. Gemäß (2.85) ist

(2.92)

d. h.,

(2.93)

Aus (2.89) und (2.90) können für die Christoffel-Symbole die Werte abgelesen werden (alle übrigen sind gleich Null):

Entsprechend erhält man gemäß (2.19) z. B.

2.5 Allgemeine Koordinatentransformationen

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Invarianz der allgemeinen Naturgesetze in Bezug auf beliebig zueinander bewegte Koordinatensysteme gefordert. Noch allgemeiner gesagt:

Es wird die Invarianz gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen gefordert.

2.5.1 Absolute Ableitung

Zunächst muss geklärt werden, wie die Ableitungen eventuell modifiziert werden müssen, damit die abgeleiteten Ausdrücke invariant gegenüber Koordinatentransformationen werden.

Gegeben sei ein Vektorfeld , definiert entlang einer Kurve, deren Parameterdarstellung durch gegeben sei. Geht man zu einem anderen Koordinatensystem mit über, so interessiert für die mathematische Beschreibung insbesondere von dynamischen Vorgängen, wie die Ableitung in die Ableitung transformiert wird. Es ist, da ist,

(2.94)

d. h., wird nicht wie einfach durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix in transformiert. Der Grund hierfür liegt in der Definition der Ableitung als

wobei die Differenz der Vektoren an verschiedenen Orten auf der Kurve gebildet wird, wozu im Allgemeinen eine Transformationsmatrix gehört.

Damit immer dieselbe Transformationsmatrix genommen werden kann, muss die Differenz von zwei Vektoren am selben Ort der Kurve genommen werden. Es ist

(2.95)

und, wenn die Verschiebung von entlang einer geodätischen Linie erfolgt

also

(2.96)

Hierbei ist der Tangentenvektor an die geodätische Kurve , wobei die Parameterdarstellung von ist. Multipliziert man (2.96) mit , erhält man

(2.97)

Verschiebt man den Vektor vom Ort parallel in den Ort , dann erhält man den Vektor

bzw. mit (2.97)

(2.98)

Andererseits ist ein Vektor am Ort , ebenso wie . Für bleibt dieser Quotient immer ein Vektor am selben, sich allerdings ändernden Ort.

Der Grenzwert dieses Quotienten wird absolute Ableitung von entlang der Kurve genannt. Mit (2.98) wird

und deshalb definiert man die absolute Ableitung schließlich so

(2.99)

Den abgeleiteten Vektor kann man zerlegen in

(2.100)

so dass man in (2.99) nach rechts herausziehen kann:

(2.101)

Der in eckigen Klammern stehenden Ausdruck ist eine -Matrix (), die man kovariante Ableitung von nennt. Man kürzt ihn mit ab:

(2.102)

Diese kovariante Ableitung    geht in die normale partielle Ableitung über, wenn ist, also kein Gravitationsfeld vorliegt.

2.5.2 Transformation der Christoffel-Matrix

Nach (2.23) ist die Christoffel-Matrix so definiert

(2.103)

Geht man von dem Koordinatensystem mit zu dem Koordinatensystem mit den Koordinaten über, dann erhält man mit den Transformationsmatrizen

(2.104)

und

(2.105)

für die Christoffel-Matrix in dem Koordinatensystem mit

(2.106)

Mit der Produkt- und Kettenregel erhält man für

(2.107)

(2.107) in (2.106) eingesetzt liefert schließlich

(2.108)

Der zweite Summand auf der rechten Seite bringt die Koordinatenabhängigkeit der Transformationsmatrix zum Ausdruck.

Eine weitere wichtige Eigenschaft erhält man wie folgt. Differenziert man nach , erhält man

d. h.,

(2.109)

Geht man damit in (2.108) erhält man eine weitere Form für die transformierte Christoffel-Matrix, nämlich

(2.110)

Es ist weiterhin

(2.111)

(2.110) von rechts mit dem Vektor multipliziert, liefert

(2.112)

Addiert man Gl. (2.111) und (2.112), erhält man schließlich

(2.113)

Der Vektor in der eckigen Klammer in (2.113) transformiert sich also wie ein Vektor im Allgemeinen! Die Bewegungsgleichung ist invariant.

2.5.3 Transformation der Christoffel-Matrix

Nach (2.16) ist

(2.114)

wobei

ist. Definiert man weiter

(2.115)

erhält man mit den Transformationsmatrizen und die Beziehung

(2.116)

d. h., mit (2.115) ist

(2.117)

bzw.

(2.118)

Es ist

(2.119)

Mit

und

erhält man dann

(2.120)

Weiter ist

(2.121)

also

d. h. mit (2.114)

(2.122)

Der zweite Summand auf der rechten Seite bringt wieder die Koordinatenabhängigkeit der Transformationsmatrix zum Ausdruck.

2.5.4 Koordinatentransformation und kovariante Ableitung

Es ist

also

bzw.

(2.123)

Für

(2.124)

ist die partielle Ableitung nach :

(2.125)

Andererseits ist

Das in (2.125) liefert schließlich

(2.126)

Wie transformiert sich das Produkt aus und einem Vektor ? Es ist

(2.127)

Darin erhält man für

Das in (2.127) eingesetzt, ergibt

(2.128)

Addiert man zu Gl. (2.126) die von links mit der Matrix multiplizierte Gl. (2.128), erhält man

also

(2.129)

(2.129) legt die Definition nahe,

(2.130)

um kompakter

(2.131)

zu erhalten. In dieser Gleichung wird auf der rechten Gleichungsseite ein Vektor aus mit einer -Matrix multipliziert! Wir führen folgende Abkürzungen ein:

(2.132)

und

(2.133)

nennt man die kovariante Ableitung von bezüglich . Der Zusammenhang (2.131) schreibt sich jetzt

(2.134)

Die Form auf der rechten Seite von (2.131) erinnert an die rechte Seite der Form, die bei der -Operation auftritt; denn es ist allgemein

(2.135)

Um dieses Lemma verwenden zu können, wird (2.131) zunächst etwas ausführlicher geschrieben. Mit

(2.136)

wobei die k-te Zeile der Einheitsmatrix ist, erhält man für (2.131)

(2.137)

Jetzt Lemma (2.135) auf diese Gleichung angewendet, liefert

(2.138)

Mit

erhält man daraus

(2.139)

Die Matrizensumme

wird also mittels einer normalen Ähnlichkeitstransformation in die Matrizensumme

überführt! Es werden wieder folgende Abkürzungen eingeführt (jetzt ist transponiert!):

(2.140)

und

(2.141)

nennt man wieder kovariante Ableitung  von , jetzt aber bezüglich dem transponierten Vektor . Der Zusammenhang (2.139) schreibt sich jetzt

(2.142)

Wichtige Folgerung:

Damit in den Formeln der Allgemeinen Relativitätstheorie Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen besteht, müssen in Formeln aus der Speziellen Relativitätstheorie gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden!

Die in (2.141) definierte kovariante Ableitung unterscheidet sich von der in (2.101) definierten in dem Summanden ; dort stand an dessen Stelle . Es ist aber in der Tat

(2.143)

Denn bezeichnet man mit die j-te Zeile der Untermatrix , dann setzt sich die Matrix wie folgt zusammen

d. h., es ist

(2.144)

Damit erhält man unter Beachtung von :

(2.145)

d. h., man kann statt (2.141) auch schreiben

(2.146)

2.6 Zwischenbemerkung

Geht man von einer Gleichung aus, die beim Vorhandensein von Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt, dann muß diese Gleichung für in die entsprechende Gleichung von Newton übergehen. Die Kraft, mit der sich zwei diskrete Massen m und anziehen, ist bekanntlich proportional dem Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung der beiden Schwerpunkte:

Die Kraft wirkt in Richtung des Differenzvektors . Das kann man auch so schreiben

Für mehrere diskrete Massen erhält man als Anziehungskraft:

und für eine verteilte Masse mit der Massendichte

In Anlehnung an die elektrische Feldstärke , die zusammen mit einer Ladung q die Kraft hervorbringt, definiert man die Gravitationsfeldstärke , die auf die Masse m die Kraft ausübt. Für den Fall mehrerer diskreter Massen erhält man die Gravitationsfeldstärke

Man kann also die Analyse des Problems in zwei Schritte aufteilen. Im ersten Schritt wird z. B. zunächst das durch die verschiedenen Massen erzeugte Gravitationsfeld im Punkt bestimmt und dann im zweiten Schritt wird die auf die im Punkt auf die Masse m wirkende Kraft ermittelt.

Die potentielle Energie ist das Integral über Kraft mal Weg, also

Wird die Masse m um den kleinen Weg verschoben, so ist die geleistete Arbeit gleich der Änderung der potentiellen Energie

Dividiert man diese Gleichung durch , erhält man die Kraft in x-Richtung

bzw., wenn man durch die Masse m dividiert die x-Komponente der Gravitationsfeldstärke

Allgemein wird daraus schließlich mit

also

oder

(2.147)

wobei man das Gravitationspotential , das eine skalare Funktion des Ortes ist, aus der linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, der Poisson-Gleichung.

(2.148)

mit der Gravitationskonstanten G und der Massendichte , ermittelt. Diese Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen Gravitationspotential und Materie in der Newtonschen Physik dar.

Die oben angegebenen beiden Schritte sind also:

1. Finden der Lösung der Poisson-Gleichung (2.148).

2. Aufstellung und Lösung der Gl. (2.147), um zu finden.

Das ist das Vorgehen in der klassischen Newtonschen Physik. Wie muß man in der Allgemeine Relativitätstheorie die beiden Schritte ausführen bzw. modifizieren, d. h., wie erhält man allgemein die und wie stellt man die dynamischen Gleichungen auf? Angenommen, es liegt der Fall vor, dass nur das Element von abhängt, dann ist nur das 00-Elemente der Submatrizen von null verschieden, d. h., es ist

Die Beschleunigung ist proportional zu den partiellen Ableitungen des Gravitationspotentials nach den Koordinaten . Betrachtet man die Gleichung

(2.149)

dann steht auf der linken Gleichungsseite eine Beschleunigung und auf der rechten Seite besteht die Matrix aus partiellen Ableitungen der nach den Koordinaten . Die spielen anscheinend in der Allgemeine Relativitätstheorie die gleiche Rolle wie das Gravitationspotential in der klassischen Physik! Dort wurde das Gravitationspotential mit Hilfe der Poissonschen Gleichung ermittelt, deren Form vor allem durch den Laplace-Operator in

bestimmt wird. Gesucht wird jetzt also ein mathematischer Ausdruck, in dem die zweiten Ableitungen der nach den vier -Raumzeitkoordinaten vorkommen. So ein Ausdruck taucht in der Tat in der Differentialgeometrie von Gauß und Riemann auf, und zwar bei der Untersuchung der Krümmung von Flächen bzw. Hyperflächen im drei- bzw. n-dimensionalen Raum, wobei die Flächen durch quadratische Formen mit den als Elementen der dazugehörigen Matrix beschrieben werden. Deshalb befasst sich der Anhang Etwas Differentialgeometrie mit der Theorie der Krümmung von Flächen im drei- und n-dimensionalen Raum.

2.7 Parallelverschiebung

Für die weitere Betrachtung wird die Definition der Parallelverschiebung benötigt:

1. 1.

   Die Parallelverschiebung eines Vektors , der tangential zu der gekrümmten Fläche ist und entlang einer Geodätischen dieser Fläche verläuft, ist wie folgt definert: Der Ursprungspunkt des Vektors bewegt sich entlang der Geodätischen und der Vektor selbst bewegt sich stetig so, dass sein Winkel mit der Geodätischen und seine Länge konstant bleiben. Er verändert sich dann bei einer Parallelverschiebung entlang gemäß (2.97) um .

    
2. 2.

   Die Parallelverschiebung eines Vektors auf einer Fläche entlang einer gebrochenen Linie, die aus einigen geodätischen Stücken besteht, geschieht so, dass von der ersten Ecke zur zweiten Ecke entlang des ersten geodätischen Bogenstücks verschoben wird, dann entlang des zweiten Bogenstücks, usw.

    
3. 3.

   Schließlich wird die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer glatten Kurve durch den Grenzprozess beschrieben, bei dem die Kurve durch gebrochene Linien angenähert wird, die aus geodätischen Stücken besteht.

    

Wird ein Vektor in einem flachen Raum, bei dem also ist, entlang einer geschlossenen Schleife parallelverschoben, so kommt er mit der gleichen Länge und Richtung wieder an den Anfangsort zurück. Kommt dagegen ein geänderter Vektor zurück, so muss sein, es liegt eine Krümmung vor.

Beispiel: Verschiebt man auf einer Kugel, am Nordpol beginnend, einen Vektor zuerst entlang eines Längskreises bis zum Äquator, dann entlang des Äquators, z. B. entlang eines Viertelkreises, und schließlich wieder entlang eines Längskreises bis zum Nordpol, so wird der dort ankommende Vektor eine andere Richtung haben als der Anfangsvektor . Nennt man die Differenz zwischen dem Anfangs- und Endvektor

so ist die Frage, was passiert mit , wenn die umlaufene Fläche immer kleiner wird? Natürlich geht gegen den Nullvektor, aber nicht das Verhältnis (umlaufene Fläche).

Es wird jetzt das sphärische Dreieck des Beispiels durch ein differentiell kleines Viereck ersetzt und nicht mehr der Differenzvektor bei einem kompletten Umlauf betrachtet. Es wird der Anfangsvektor den halben Weg um das Viereck in einer Richtung verschoben. Dann wird der gleiche Vektor den halben Weg in der anderen Richtung verschoben. Am Treffpunkt entsteht die Differenz . Dieser Differenzvektor soll im folgenden Abschnitt genauer hergeleitet und betrachtet werden.

2.8 Riemannsche Krümmungsmatrix

Verschiebt man einen Vektor vom Punkte um in den Punkt , so ändert er sich gemäß (2.97) um

(2.150)

Es ist also

(2.151)

Eine weitere Verschiebung von nach in Richtung ergibt die Änderung

(2.152)

Für kann in erster Näherung

(2.153)

geschrieben werden. (2.151) und (2.153) in (2.152) eingesetzt, ergibt

(2.154)

Der dritte Term in der großen eckigen Klammer kann so umgeformt werden:

(2.155)

(2.155) in (2.154) eingesetzt, ergibt

(2.156)

Geht man jetzt zunächst in Richtung und dann erst in Richtung , dann erhält man entsprechend

(2.157)

Für das letzte Produkt im dritten Summanden von (2.156) kann man auch schreiben

(2.158)

Es ist

(2.159)

also mit (2.156),(2.157) und (2.158)

(2.160)

Mit der Riemannschen Krümmungsmatrix

(2.161)

ist also

(2.162)

Außerdem definieren wir die etwas modifizierte Krümmungsmatrix

(2.163)

2.8.1 Eigenschaften der Riemannschen Krümmungsmatrix

Zusammensetzung von und

Welche Form haben die Komponenten der Riemannschen Krümmungsmatrix

Die bereits weiter oben erwähnte Eigenschaft, dass in der auftretenden Matrizendifferenz die erste, -te, -te und die 16. Zeile bzw. Spalte gleich der Nullzeile bzw. Nullspalte sind, hat für die Riemannsche Krümmungsmatrix zur Folge, dass ihre entsprechenden Spalten gleich Nullspalten sind!

Weiter erhält man mit (2.144)

für

Dieses Matrizenprodukt trägt zu dem Matrixelement die Summe bei

(2.164)

bei. ist die -te Zeile der Untermatrix , d. h., die -te Zeile der Untermatrix .

Weiter ist

Dieses Matrizenprodukt trägt zu dem Matrixelement die Summe ( ist die -te Spalte von )

(2.165)

bei. Gemäß (2.161) erhält man mit (2.164) und (2.165) schließlich

(2.166)

Aus dieser Form kann man sofort die Eigenschaft

(2.167)

ablesen. Mit Hilfe von (2.166) kann man auch die sogenannte zyklische Identität verifizieren:

(2.168)

Aus (2.166) kann mit Hilfe von (2.64), (2.74) und (2.66) auch eine geschlossene Form für in (2.161) wie folgt berechnet werden: Es ist

Nach dem Herausheben einiger Terme erhält man schließlich die geschlossene Form

(2.169)

(2.170)

oder auch

(2.171)

Aus (2.171) folgt direkt durch Vergleich der entsprechenden Formen

(2.172)

(2.173)

(2.174)

Auch in diesem Fall gilt die zyklische Identität

(2.175)

Stehen die beiden Vektoren und aufeinander senkrecht, dann ist der Flächeninhalt des umfahrenen Rechtecks gleich . In der Differentialgeometrie (siehe Anhang) wird nun der Grenzwert des Verhältnisses von zu dem Flächeninhalt als Krümmung bezeichnet

oder mit

Mit Hilfe von (2.162) erhält man dann

(2.176)

Riemannsches Koordinatensystem

Für die Untersuchung der Eigenschaften der Riemannschen Krümmungsmatrix ist es vorteilhaft, zunächst eine Koordinatentransformation so durchzuführen, dass in dem neuen Koordinatensystem die Christoffel-Matrizen werden. Eine solche Koordinatentransformation ist im Fall einer gekrümmten Raumzeit, wo also von abhängt, zwar nur lokal möglich, aber dann auch für jedes ! Durch Rücktransformation der gewonnenen Aussagen, sind sie auch wieder global gültig. Gesucht ist also eine lokale Koordinatentransformation so, dass in dem neuen Koordinatensystem wird. Für geodätische Linien gilt für die vier Koordinaten

(2.177)

Hierbei gehören die zu einem beliebigen Koordinatensystem, in dem die Geodätische durch dargestellt und s die Bogenlänge entlang der Kurve ist. In einem festen Punkt mit der Koordinate kann man jede Koordinate in eine Potenzreihe entwickeln:

(2.178)

Hierbei ist die k-te Komponente des Tangentenvektors

an die Geodäte im Punkt . Dann gilt aber gemäß (2.177)

(2.179)

Dies in (2.178) eingesetzt ergibt für eine kleine Umgebung von , also für kleine unter Vernachlässigung der Potenzen höher als zwei:

(2.180)

Nennt man jetzt , erhält man aus (2.180)

Dieser Zusammenhang legt folgende Koordinatentransformation von nach nahe

(2.181)

Wie lautet die dazugehörige metrische Matrix in

(2.182)

In diesem Koordinatensystem hat die Geodätische die Gleichung

(2.183)

Da in dem neuen Koordinatensystem aber die Geodätischen Geraden der Form sind, muss in (2.183) der Ausdruck gleich dem Nullvektor sein. Da beliebige Vektoren sind, muss für gelten

(2.184)

Folgerungen für die Riemannsche Krümmungsmatrix

Wenn in einem Punkt für ein besonderes Koordinatensystem ist, dann sind natürlich auch sämtliche in (2.64) definierten gleich null. Da aber

(2.185)

ist, sind auch sämtliche ersten partiellen Ableitungen der Elemente der metrischen Matrix gleich null, d. h., es ist:

(2.186)

In dem lokalen Koordinatensystem mit hat die Riemannsche Krümmungsmatrix die Form

(2.187)

Sie hat die Struktur

(2.188)

Hierbei hat jede Untermatrix die Form

(2.189)

ist also die Untermatrix, die in in der -ten Zeile und -ten Spalte steht. Weiterhin ist das Matrixelement, dass in der Untermatrix in der -ten Zeile und -ten Spalte steht.

Es ist mit (2.69) und (2.186)

(2.190)

Für

(2.191)

erhält man mit

(2.192)

schließlich

(2.193)

Natürlich sind wegen der auftretenden Matrizendifferenz in auch die erste, -te, -te und die 16. Spalte von und von gleich der Nullspalte.

In

hat die Form

d. h., die Elemente von sind (siehe auch (2.64)

(2.194)

Für erhält man aus (2.166)

(2.195)

Aus (2.195) folgt direkt durch Vergleich der entsprechenden Formen

(2.196)

und die sogenannte zyklische Identität

(2.197)

Aus (2.166) folgt in

(2.198)

(2.198) partiell differenziert, liefert

(2.199)

Mit Hilfe von (2.199) erhält man durch Einsetzen der entsprechenden Terme die sogenannte Bianchi-Identität

(2.200)

Da das in einem beliebigen Ereignis gilt, gilt es überall.

2.9 Die Ricci-Matrix und ihre Eigenschaften

Ziel der Betrachtungen der Riemannschen Krümmungstheorie ist, mit ihrer Hilfe einen Weg zu finden, wie man die Komponenten der Christoffel-Matrix ermitteln kann. Diese braucht man für die Lösung der, das dynamische Verhalten eines Masseteilchens in einem Schwerefeld beschreibenden Gleichung

Um die Komponenten der Christoffel-Matrix berechnen zu können, benötigt man die zehn Komponenten der symmetrischen Metrischen Matrix . Also wären zehn Differentialgleichungen nötig. Die Riemannsche Krümmungsmatrix hat aber, als -Matrix, 256 Komponenten, würde also im Extremfall 256 Gleichungen liefern. Berücksichtigt man allerdings, dass vier Zeilen und vier Spalten von nur aus Nullen bestehen, so bleiben nur noch Gleichungen. Immer noch zu viele. Die Zahl der Gleichungen kann man allerdings entscheidend verringern, indem man durch geschickte Addition von Matrixelementen die Zahl der Komponenten der neu entstehenden Matrix verringert. Erzeugt man auf diesem Weg eine symmetrische -Matrix, erhält man genau zehn unabhängige Gleichungen für die Ermittlung der zehn unabhängigen Komponenten von . Eine solche Matrix ist die sogenannte Ricci-Matrix, die man auf zwei Wegen erhalten kann. Ein Weg führt über die Summe der Untermatrizen in der Hauptdiagonalen von ; er wird im Anhang beschrieben. Der zweite Weg geht wie folgt.

Die Ricci-Matrix wird aus der Summe der Elemente der Hauptdiagonalen, den Spuren, der Untermatrizen von gebildet:

(2.201)

Entsprechend werden die Komponenten der neuen Matrix so definiert

(2.202)

Aus (2.195) kann man sofort ablesen, daß die Ricci-Matrix symmetrisch ist; denn es ist

Außerdem ist wegen (2.163)

(2.203)

also

(2.204)

wobei die -te Zeile von ist und die -Matrix ist, die aus den vier Untermatrizen in der -ten Blockspalte von besteht, d. h., es gilt für die Matrizenelemente

(2.205)

Mit Hilfe von (2.201) erhält man für die Ricci-Matrixkomponenten

(2.206)

oder mit (2.174)

(2.207)

Der Krümmungsskalar R wird aus der Ricci-Matrix durch Spurbildung so gewonnen

(2.208)

Umgekehrt erhält man entsprechend

(2.209)

Aus (2.166) folgt direkt

(2.210)

und aus (2.169)

(2.211)

2.9.1 Symmetrie der Ricci-Matrix

Auch wenn selbst nicht symmetrisch ist, so ist doch die aus ihr gewonnene Ricci-Matrix  symmetrisch, was im Folgenden gezeigt werden soll. Die Symmetrie wird mit der Komponentengleichung (2.210) der Ricci-Matrix gezeigt. Dass der zweite und vierte Summand symmetrisch in und sind, sieht man sofort. Dem Anteil

sieht man nicht direkt an, dass er symmetrisch in und ist. Dies kan man mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes für Determinanten¹ aber wie folgt zeigen. Die Entwicklung der Determinante von nach der -ten Zeile liefert

wobei das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte der Adjungierten von ist. Ist das -Element der Inversen von , dann ist

also

Damit erhält man für

oder

bzw.

d. h.,

(2.212)

Nach (2.63) ist andererseits

d. h., die beiden letzten Summanden heben sich heraus und es bleibt

Daraus folgt dann mit (2.212)

(2.213)

Dieser Form sieht man aber sofort die Symmetrie in und an.

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass der dritte Summand in (2.210) symmetrisch ist. Er setzt sich so zusammen

Daraus kann man ablesen, dass dieser Anteil symmetrisch ist, denn es ist

Damit wurde gezeigt, dass die Ricci-Matrix in der Tat symmetrisch ist.

2.9.2 Divergenz der Ricci-Matrix

Multipliziert man die Bianchi-Identität (2.200) in der Form

mit und summiert über , erhält man in , da dort ist,

Mit (2.209) wird daraus

(2.214)

Für den dritten Summanden kann man nach (2.173) auch

schreiben. Setzt man jetzt und summiert über , erhält man

(2.215)

Im zweiten Summanden kann man nach (2.172) durch ersetzen. Setzt man dann noch und summiert über , erhält man für (2.215) mit der Spur der Riccati-Matrix ,

(2.216)

Ersetzt man in der letzten Summe den Summationsindex durch , so kann man schließlich zusammenfassen

(2.217)

Zu dem gleichen Ergebnis wäre man auch gekommen, wenn man von der Gleichung ausgegangen wäre:

(2.218)

Denn setzt man und summiert über , erhält man zunächst

Setzt man jetzt und summiert über , erhält man wieder (2.217).

Zu einem anderen Ergebnis kommt man, wenn man ausgehend von (2.218) (mit statt ) zunächst diese Gleichung mit multipliziert,

und dann wieder setzt und über und summiert und (2.215) beachtet:

Setzt man jetzt noch setzt und über summiert, erhält man schließlich den wichtigen Zusammenhang

(2.219)

Das sind vier Gleichungen für die vier Raumzeitkoordinaten . Endgültig kann man das Gesamtergebnis auch so darstellen

(2.220)

Die Divergenz der zusammengesetzten Matrix ist gleich null.

2.10 Allgemeine Theorie der Gravitation

2.10.1 Die Einstein-Matrix

Mit der Einstein-Matrix

(2.221)

unter Beachtung, dass symmetrisch ist, kann man (2.220) so zusammenfassen

(2.222)

Das ist eine sehr wichtige Eigenschaft der Einstein-Matrix:

Die Divergenz der Einstein-Matrix verschwindet!

2.10.2 Newtonsche Gravitationstheorie

Nach Newton gilt für die Beschleunigung

(2.223)

wobei das Gravitationspotential und ist. Das kann man auch so schreiben

(2.224)

Die Newtonsche Universalzeit ist ein Parameter, der zwei Freiheitsgrade hat, nämlich den Zeitursprung und die Zeiteinheit a, die beide beliebig gewählt werden können: . Damit erhält man

(2.225)

Das kann man mit dem Raumzeitvektor

auch so schreiben

(2.226)

Hierbei hat die Form

Wie erhält man jetzt noch die Aussage der Poisson-Gleichung

(2.227)

Für die Krümmungsmatrix  wird neben der Matrix

zunächst noch die Matrix

benötigt, um daraus die folgende Matrix zu ermitteln

Allerdings ergibt sich hier für das Produkt die Nullmatrix, sodass sich die Krümmungsmatrix nun so zusammensetzt

Hierbei ist

so daß sich endgültig ergibt

(2.228)

Die -Untermatrizen in der Hauptdiagonalen der Krümmungsmatrix enthalten genau die Komponenten der linken Seite der Poisson-Gleichung. Das liefert nachträglich die Motivation für die Einführung der Ricci-Matrix! Für sie ergibt sich hier speziell

(2.229)

Bildet man die Spur der Ricci-Matrix, so ist

(2.230)

so daß man endgültig die Poisson-Gleichung auch kurz so schreiben kann

(2.231)

Den Zusammenhang zwischen Gravitationspotential und Materie in der Newtonschen Mechanik stellt die Poissonsche Gleichung

her, wo die Massendichte und G die Newtonsche Gravitationskonstante sind. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird nun gefordert, allgemein invariante Gravitationsgleichungen zwischen den und der Materie aufzustellen. Es bietet sich an, die Materie durch die Energie-Impuls-Matrix zu charakterisieren.

Für das rotierende System in Abschn. 2.5 war , so daß sich für das Potential und für ergibt. Andererseits erhält man im Newtonschen, nichtrelativistischen Grenzfall , für die Energie-Impuls-Matrix (Abschn. 1.​9.​2) und für die übrigen . Mit erhält man . Damit kann man für die obige Poissonsche Gleichung  auch in der neuen Termanologie schreiben

(2.232)

2.10.3 Die Einstein-Gleichung mit

Wenn man davon ausgeht, dass im allgemeinen Fall, d. h. bei Vorhandensein von Gravitationsfeldern, auf der rechten Seite von (2.232) die symmetrische Energie-Impuls-Matrix  steht, so muss anscheinend auf der linken Gleichungsseite eine Matrix stehen, die die zweiten partiellen Ableitungen der Elemente der metrischen Matrix enthält. Wird hierfür die Einstein–Matrix genommen, so erhält man als Ansatz für die Einsteinsche Feldgleichung

(2.233)

Da die Matrix symmetrisch ist, muss auch die Einstein-Matrix

(2.234)

symmetrisch sein. Das ist in der Tat der Fall; denn sowohl die Ricci-Matrix , als auch die Diagonalmatrix sind symmetrisch. wird aus der Riemannschen Krümmungsmatrix

(2.235)

gewonnen.

Endgültige Form der Einstein-Gleichung

Die Energie-Impuls-Matrix auf der rechten Seite der Einsteinschen Feldgleichung (2.233) hat die Eigenschaft, dass ist, wenn es sich um ein abgeschlossenes System handelt, d. h., keine äußeren Kräfte wirken. Also muss auch auf der linken Seite gelten. Das ist aber für die symmetrische Matrix nach (2.222) der Fall!

Insgesamt wird endgültig axiomatisch die Einsteinsche Feldgleichung so festgesetzt

(2.236)

Das ist eine Matrizendifferentialgleichung für die Ermittlung der metrischen Matrix . Das ist keine Fernwirkungsgleichung mehr, wie bei Newton, sondern beschreibt die Zusammenhänge an einem Raumzeitpunkt ! ist abhängig von den Ableitungen von bis zur zweiten Ordnung, wobei die Abhängigkeit von den zweiten Ableitungen linear ist, und nichtlinear abhängig von den . Einsteins Gleichung ist also ein gekoppeltes System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Ermittlung der Komponenten der metrischen Matrix in Abhängigkeit von der durch gegebenen Materieverteilung als Quelle des Gravitationsfeldes.

Durch Spurbildung folgt aus (2.236)

also

(2.237)

wobei

ist. Setzt man (2.237) in (2.236) ein, erhält man diese Form der Einsteinschen Feldgleichung

(2.238)

Der konstante Faktor hat übrigens den Zahlenwert

(2.239)

2.11 Zusammenfassung

2.11.1 Kovarianzprinzip

Einstein postulierte das Äquivalenzprinzip:

Gravitationskräfte sind äquivalent zu Trägheitskräften.

Schwerefelder können durch den Übergang zu einem beschleunigten Koordinatensystem eliminiert werden. In diesem neuen lokalen Inertialsystem gelten die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie. Aus dem Äquivalenzprinzip folgt also unmittelbar das Kovarianzprinzip:

Gesetze müssen invariant gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen sein.

Im Besonderen bedeutet das, daß sie auch in einem lokalen Inertialsystem gültig sein müssen, also beim Übergang von der metrischen Matrix zur Minkowski-Matrix sich die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie ergeben.

Es gilt der Zusammenhang , also auch , d. h., mit Hilfe der speziellen Transformationsmatrix gelangt man für ein bestimmtes Ereignis zu einem lokalen Inertialsystem in dem die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie gelten. Umgekehrt gelangt man von dem speziellen lokalen Inertialsystem mit dem Ereignis zu dem selben Ereignis im allgemeinen Koordinatensystem über die Transformation .

Die physikalischen Gleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie müssen also so formuliert werden, daß sie invariant (kovariant) gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen sind. Oben wurde hergeleitet: Damit in den Formeln der Allgemeinen Relativitätstheorie Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen besteht, müssen in Formeln aus der Speziellen Relativitätstheorie gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden. Dann ist man schon fertig! Das Gesetz gilt allgemein.

Für ein Masseteilchen, auf das keine Kraft wirkt, gilt z. B. in einem Inertialsystem mit

die Gleichung

(2.240)

Ersetzt man hierin das gewöhnliche Differential durch das kovariante Differential , mit

erhält man gemäß (2.146) zunächst

(2.241)

also

Das in (2.240) statt eingesetzt, ergibt allgemein

(2.242)

oder

(2.243)

Durch die Christoffel-Matrix kommt die Wirkung des Gravitationsfeldes zum Ausdruck. Ist kein Gravitationsfeld vorhanden, dann ist und man erhält wieder Gl. (2.240). Ein Vergleich von (2.243) mit der Gleichung einer Geodätischen zeigt, dass sich das Materieteilchen auf einer Geodätischen, also im gekrümmten Raum auf dem kürzesten Weg bewegt.

Treten neben den Gravitationskräften noch andere Kräfte auf, z. B. hervorgerufen durch elektrische Felder, so gilt für ein Inertialsystem die Gleichung

(2.244)

Diese Gleichung von links mit multipliziert und wiederum die kovariante Ableitung verwendet, führt mit

zu

(2.245)

oder

(2.246)

wobei auf der rechten Seite neben den sonstigen Kräften die Gravitationskräfte auftreten.

2.11.2 Einsteinsche Feldgleichung und Dynamik

Die Einsteinsche Feldgleichung bringt zum Ausdruck, dass jede Form von Materie und Energie Quelle des Schwerefeldes sind. Das Schwerefeld wird durch die metrische Matrix beschrieben, deren Komponenten mit Hilfe der Einsteinschen Feldgleichung

(2.247)

ermittelt werden müssen. Damit hat man im Prinzip das gleiche Vorgehen wie bei der Newtonschen Dynamik:

1. 1.

   Lösung der Poissonschen Gleichung  zur Ermittlung der Potentialfunktion .

    
2. 2.
   Aufstellen und Lösen der Gleichung

   

   um zu ermitteln.
    

In der Allgemeinen Relativitätstheorie erhält man jetzt also das Vorgehen:

1. 1.
   Lösen der Einsteinschen Feldgleichung (2.247)

   

   zur Ermittlung der metrischen Matrix .
    
2. 2.
   Aufstellen und Lösen von (2.246)

   

   um zu ermitteln.
    

2.12 Hilbert-Funktional

Oben wurde die Einstein-Gleichung als Axiom postuliert. Einstein hat sie in jahrelanger Arbeit gefunden. Jetzt soll diese Gleichung, Hilbert folgend, aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden, zunächst allerdings nur für das freie Gravitationsfeld .

Bestimmt wird das Gravitationsfeld vor allem durch die metrische Matrix , d. h., durch die dadurch hervorgerufene Raumkrümmung. Alle Krümmungsparameter sind sozusagen in dem Krümmungsskalar R konzentriert, der durch Spurbildung der Ricci-Matrix  gebildet wird. Es wird nun ein Variationsfunktional so angesetzt, daß die Raumkrümmung minimal wird:

(2.248)

Allerdings ist dieses Integral so nicht invariant gegenüber Koordinatentransformationen mit einer Transformationsmatrix . Dazu folgende Überlegung: Sei

(2.249)

d. h. sei die Matrix, die im Punkt die metrische Matrix in die Minkowski-Matrix transformiert. Bildet man auf beiden Seiten von (2.249) die Determinanten, erhält man

(2.250)

d. h.,

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Integral eines Skalars über dem Skalar ebenfalls ein Skalar. Beim Übergang zu krummlinigen Koordinaten geht das Integrationselement in

über. In krummlinigen Koordinaten verhält sich also bei der Integration über irgendein Gebiet des vierdimensionalen Raums die Größe wie eine Invariante. Ist f ein Skalar, so heißt die Größe , die bei der Integration über eine Invariante ergibt, auch skalare Dichte. Diese  Größe liefert bei ihrer Multiplikation mit dem vierdimensionalen Volumenelement einen Skalar.

Aus diesem Grund betrachten wir jetzt nur noch die Wirkung

(2.251)

Unter wird hier das vierdimensionale Volumenelement verstanden. Die Einstein-Gleichung soll aus (2.251) und der Bedingung bei beliebigen Variationen folgen. ist eine sogenante Lagrange-Dichte, die über das Volumen integriert wird. Die Elemente der Christoffel-Matrix  lauten nach (2.63)

(2.252)

und die Elemente der Riemannschen Krümmungsmatrix gemäß (2.166) lauten

(2.253)

Der Krümmungsskalar R wird gemäß (2.208) aus der Ricci-Matrix durch Spurbildung gewonnen

(2.254)

gemäß (2.211) ist

(2.255)

Die Lagrange-Hamilton-Theorie auf das Wirkungsintegral (2.251) angewendet , liefert die Euler-Lagrange-Gleichungen des zu (2.251) gehörenden Variationsproblems. Wir betrachten die Elemente von und von als eigenständige Funktionen . Es liegt also ein Funktional der Form vor

(2.256)

Hierzu gehören diese Euler-Lagrange-Gleichungen

(2.257)

Die Euler-Lagrange-Gleichungen zu (2.251) lauten

(2.258)

(2.259)

(2.258) liefert die Einsteinsche Feldgleichung. Denn zunächst kann man kompakt hierfür schreiben:

(2.260)

Für erhält man zunächst

(2.261)

Außerdem ist

(2.262)

Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinanten („Die Summe der Produkte aller Elemente einer Zeile mit ihren Adjunkten ist gleich dem Wert der Determinanten„) erhält man für die Entwicklung der Determinanten von nach der -ten Zeile:

(2.263)

wobei das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte der Adjungierten von ist. ist das -Element von . Es ist natürlich

also elementweise , oder . Damit erhält man durch partielle Differentiation von (2.263) nach

also

(2.264)

Damit in (2.262), ergibt

(2.265)

Das in (2.261) eingesetzt, ergibt schließlich

(2.266)

Jetzt fehlt in (2.260) noch . Es ist mit

(2.267)

Multiplikation dieser Matrix mit ergibt übrigens

(2.268)

(2.266) und (2.267) in (2.260) eingesetzt liefert zunächst

(2.269)

d. h., diese spezielle Form der Einsteinschen Feldgleichung

(2.270)

Multipliziert man diese Gleichung von links mit der invertierten metrischen Matrix , erhält man schließlich wieder die Einsteinsche Feldgleichung für ein quellenfreies Gravitationsfeld () wie in (2.236)

(2.271)

2.12.1 Materiewirkung

Bisher wurde nur das Gravitationsfeld im Vakuum behandelt. Will man die Quellen des Gravitationsfeldes, also z. B. die Materie, mit erfassen, so muß das Wirkungsfunktional noch einen additiven Term enthalten, der die Quelle beschreibt:

(2.272)

Die Lagrange-Gleichung bezüglich ist dann

(2.273)

Die große runde Klammer liefert die linke Seite von (2.269), d. h., zusammen erhält man für (2.273)

Definiert man jetzt die Energie-Impuls-Matrix so

(2.274)

dann erhält man mit

schließlich nach Linksmultiplikation von (2.274) mit und wieder die Einsteinsche Feldgleichung

(2.275)

Fußnoten

1

Die Summe der Produkte aller Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit ihren Adjunkten ist gleich dem Wert der Determinanten.