.Maja wählt die Sequenz Kopf-Zahl-Zahl und gewinnt das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/8. Sie verliert nur dann, wenn bei den ersten drei Würfen dreimal Zahl fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist .
Wenn die beiden immer wieder die Münze werfen und das Ergebnis notieren, entsteht eine Folge aus den beiden Möglichkeiten Kopf oder Zahl – zum Beispiel bei fünf Würfen die Folge Kopf-Zahl-Kopf-Kopf-Zahl.
Wir suchen nun in dieser – theoretisch unendlichen – Folge die Stelle, an der zum ersten Mal die Sequenz Zahl-Zahl-Zahl auftaucht.
Wenn dies gleich zu Beginn der Folge passiert ist, hat Max gewonnen. Die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht der Wahrscheinlichkeit für dreimal Zahl hintereinander und ist .
Die erstmals auftauchende Folge aus dreimal Zahl wird jedoch in der Regel nicht am Beginn der Folge liegen, sondern an Positionen weiter hinten. Wir gehen zu dieser erstmals in der Folge auftretenden Sequenz Zahl-Zahl-Zahl und schauen auf das Ergebnis des Münzwurfs unmittelbar davor. Dieses muss zwingend Kopf sein. Deshalb wählt Maja auch Kopf-Zahl-Zahl.
Denn wäre vor dreimal Zahl noch einmal Zahl, hätten wir ja gar nicht die zuerst auftretende Sequenz Zahl-Zahl-Zahl gewählt, denn vor Zahl-Zahl-Zahl stünde noch einmal Zahl. Es gäbe also eine Sequenz aus viermal Zahl, die einen Wurf vor der Sequenz aus dreimal Zahl beginnt. Und damit eine Sequenz aus dreimal Zahl, die einen Wurf vor der Sequenz aus dreimal Zahl beginnt.
Das kann jedoch nicht sein, weil wir ja die erstmals in der Folge auftretende Sequenz aus dreimal Zahl gewählt haben.
Damit steht fest: Entweder beginnt die Folge mit dreimal Zahl und Max gewinnt. Oder aber die Sequenz aus dreimal Zahl taucht weiter hinten in der Folge erstmals auf – und dann steht zwingend an der Position davor in der Folge das Ergebnis Kopf.
Die Sequenz ab dieser Position lautet dann Kopf-Zahl-Zahl-Zahl–und damit gewinnt Maja auf jeden Fall. Denn ihre Sequenz lautet Kopf-Zahl-Zahl.
Die Wahrscheinlichkeit für dreimal Zahl zu Beginn ist 1/8. Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Maja
.
Übrigens gewinnt Maja das Spiel in vielen Fällen schneller als oben beschrieben, weil ihre Sequenz meist schon früher in der Folge auftritt. Wir müssen in der Folge nämlich nur nach der erstmals auftauchenden Sequenz Zahl-Zahl suchen.
Unmittelbar davor muss Kopf sein – außer die Münzfolge beginnt mit Zahl-Zahl.