Schwere Rätsel:
Elf echte Herausforderungen
Zum Schluss kommen die ganz dicken Bretter: Zehn Probleme, die den Kopf zum Rauchen bringen. Mein Tipp: Denken Sie auch über mehrere Tage immer wieder über die Aufgabe nach. Manchmal dauert es einfach länger, bis die entscheidende Idee kommt.
90) Eine Münze – drei Treffer
Max fordert Maja zu einem Spiel mit einer Münze heraus: »Wir werfen sie immer wieder aufs Neue. Sobald dreimal hintereinander die Zahlseite oben liegt, habe ich gewonnen.«
»Und wann gewinne ich?«, fragt Maja.
»Such dir auch eine Sequenz aus drei aufeinanderfolgenden Ergebnissen«, sagt Max. »Du kannst dabei frei aus Kopf und Zahl wählen. Wenn deine Sequenz vor meiner auftaucht, hast du gewonnen.«
Welche Sequenz sollte Maja wählen? Wie hoch sind dann ihre Siegchancen?
Die Lösung finden Sie hier
Wenn Architekten ein Gebäude planen, müssen sie auch an möglichst kurze Wege denken. Wie platziert man Fahrstühle, Treppenhäuser und Türen am besten? Wo führen welche Leitungen entlang, damit alle Räume erschlossen sind und Verbindungen nicht zu lang werden?
Im folgenden Rätsel geht es um eine abstrahierte Version dieses Problems. Sie kennen es womöglich als Aufgabe für vier Kugeln. Wie müssen diese arrangiert werden, sodass jede Kugel die drei anderen berührt?
Die Lösung ist bekannt: Sie bauen aus den vier Kugeln eine dreieckige Pyramide – siehe folgende Abbildung:
Ihre Aufgabe ist etwas anspruchsvoller: Ordnen Sie sechs Bleistifte so im Raum an, dass jeder der Stifte die fünf anderen berührt.
Hinweis: Wir gehen davon aus, dass die Stifte rund und nur auf einer Seite angespitzt sind.
Zusatzaufgabe: Lösen Sie das Problem für sieben Bleistifte!
Die Lösung finden Sie hier
92) Wo ist die Prinzessin?
Die Planungen für die Hochzeit laufen auf Hochtouren, als der Prinz eine Nachricht bekommt, die ihm große Sorgen bereitet: Die Prinzessin ist verschwunden.
Gerüchten zufolge wurde sie entführt. Und zwar auf die Logik-Insel. Dort geht alles streng logisch zu. Auf der Insel leben zwei Stämme. Die einen sagen stets die Wahrheit, die anderen lügen immer.
Der König der Logik-Insel wird abwechselnd von den beiden Stämmen gestellt. Doch nur wenige Eingeweihte wissen, welchem Stamm der derzeitige König angehört.
Nur eines ist von ihm bekannt: Er weiß alles, was auf der Insel geschieht und in der Vergangenheit geschehen ist.
Der Prinz macht den König ausfindig und stellt ihm die folgenden zwei Fragen:
Wir kennen die Antworten des Königs auf die zwei Fragen nicht, wir wissen jedoch, dass der Prinz diese kennt und nun weiß, ob die Prinzessin auf der Logik-Insel ist oder nicht.
Wissen Sie es auch?
Die Lösung finden Sie hier
93) Ohne Bordkarte ins Flugzeug
Die folgende Aufgabe hat mich eine ganze Weile beschäftigt. Vergeblich hatte ich versucht, das Ganze mit immer komplizierteren Formeln zu lösen. Bis mir dann ein paar Tage später die zündende Idee kam. Schaffen Sie das auch?
Auf einem Flughafen warten 100 Passagiere darauf, dass sie endlich ins Flugzeug einsteigen können. In die Maschine passen exakt 100 Leute – der Flug ist also ausgebucht.
Endlich geht es los. Die 100 Reisenden bilden eine Schlange. Der Mann, der ganz vorn steht und als Erster ins Flugzeug darf, hat jedoch dummerweise seine Bordkarte verloren. Weil das Computersystem gerade ausgefallen ist, lassen ihn die Stewards trotzdem einsteigen. »Setzen Sie sich einfach auf einen zufällig ausgewählten Platz«, erklärt ihm eine Angestellte.
Und das macht der Mann dann auch. Alle folgenden Passagiere setzen sich auf den Platz, der auf ihrer Bordkarte steht. Sollte dieser Platz allerdings schon belegt sein, dürfen sie sich wie der Mann ganz vorn in der Schlange einfach einen freien Platz aussuchen.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person an letzter Stelle in der Schlange, also Fluggast Nummer 100, auf dem Sitz Platz nehmen kann, der auf seiner Bordkarte steht?
Hinweis: Dieses Problem ähnelt dem Zwergen-Betten-Rätsel Nr. 74 auf Seite , ist jedoch etwas anders gelagert.
Die Lösung finden Sie hier
94) Wo steckt der verschollene Abenteurer?
Sie kennen wahrscheinlich das Rätsel von dem Wanderer, der nach Süden läuft, dann Richtung Westen und dann wieder nach Norden, um an derselben Stelle anzukommen, an der er gestartet ist. Die Frage lautet, welche Farben die Bären haben, denen er unterwegs begegnet ist.
Weiß, werden die meisten antworten. Und dass der Wanderer genau am Nordpol gestartet ist. Erst nach Süden, dann nach Westen und dann wieder nach Norden.
Das folgende Rätsel scheint sich auf den ersten Blick kaum davon zu unterscheiden: Ein Abenteurer ist verschollen irgendwo auf der Erde. Wir haben immerhin Informationen über eine kleine Wanderung, die er unternommen hat.
Demnach ist er erst fünf Kilometer nach Süden gelaufen, dann fünf Kilometer nach Westen und zum Schluss fünf Kilometer nach Norden, um wieder genau am Ausgangspunkt anzukommen.
Die Frage lautet: Wo auf der Erde ist das möglich? Und wo muss man den Verschollenen suchen?
Hinweis: Falls Sie glauben, dass er direkt am Nordpol ist: Diese Antwort stimmt definitiv nicht. Am Nordpol befinden sich nämlich gerade Forscher in einer Station – sie hätten den Abenteurer auf jeden Fall bemerkt. Aber er ist ja verschollen.
Die Lösung finden Sie hier
95) Die fantastischen Vieren
Quadratzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Schon die alten Babylonier notierten sogenannte pythagoreische Zahlentripel auf Tontafeln. Diese natürlichen Zahlen a, b, c erfüllen die Gleichung a2+b2=c2. Sie sind zugleich Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Beispiele sind 32+42=52 und 202+212=292. Auch mit mehr als drei Quadratzahlen sind verblüffende Kombinationen möglich – etwa 102+112+122=132+142.
In dieser Aufgabe geht es jedoch nicht um Summen aus Quadratzahlen, sondern um ihre Ziffern:
Gegeben ist eine beliebige natürliche Zahl. Nun bilden Sie das Quadrat dieser Zahl. Können die letzten Ziffern dieser Zahl gleich 4 sein?
Offensichtlich gibt es Lösungen, wenn nur die letzte Ziffer eine 4 sein soll: Eine lautet 2, denn 2×2=4. Und auch zwei Vieren am Ende sind möglich – zum Beispiel 12×12=144.
Nun zur eigentlichen Frage: Wie oft kann die Ziffer 4 am Ende einer Quadratzahl auftauchen? Sind beliebig viele Vieren möglich? Oder gibt es eine Obergrenze bei der Anzahl? Wenn das zutrifft: Wo liegt diese Grenze?
Die Lösung finden Sie hier
96) Die dreieckige Zielscheibe
Der Schützenverein hat einen neuen Vorstand und der möchte einiges anders machen. Der erste Beschluss sorgt schon mal für einiges Kopfschütteln: Künftig wird mit Luftgewehren nicht mehr auf runde, sondern auf dreieckige Scheiben geschossen.
Bei den Scheiben handelt es sich um gleichseitige Dreiecke, die Seitenlänge beträgt zehn Zentimeter.
Ein Schütze schießt fünf Mal auf die neuen Scheiben und landet fünf Treffer auf der Dreiecksfläche. Wie diese verteilt sind, wissen wir nicht.
Zeigen Sie, dass man stets zwei Treffer auf der Scheibe findet, deren Abstand höchstens fünf Zentimeter beträgt.
Die Lösung finden Sie hier
97) Kinder vergleichen ihre Namen
33 Schülerinnen und Schüler hat die neu zusammengestellte Klasse. Und das bedeutet: Jeder muss sich 32 Vor- und Nachnamen merken, denn die Kinder kennen einander bislang nicht.
Als die Kinder sich einander vorstellen, bemerken sie, dass der eine oder andere Vor- oder Nachname doppelt, dreifach und sogar noch häufiger vorkommt. Sie beschließen, der Sache auf den Grund zu gehen.
Jedes Kind schreibt an die Tafel, wie viele andere Kinder in der Klasse den gleichen Vornamen tragen wie es selbst. Danach schreibt jedes der 33 Kinder an die Tafel, wie viele Mitschüler den gleichen Nachnamen haben wie es selbst. In beiden Fällen zählt der Anschreibende sich selbst nicht mit.
66 Zahlen landen so an der Tafel. Und unter diesen 66 Zahlen kommt jede der Zahlen 0, 1, 2, 3, … 9, 10 mindestens einmal vor.
Beweisen Sie, dass es in dieser Klasse mindestens zwei Kinder gibt, die den gleichen Vor- und Nachnamen haben.
Hinweis: Jedes Kind hat genau einen Vornamen und genau einen Nachnamen.
Die Lösung finden Sie hier
98) Das Geschwister-Problem
Wird es ein Junge oder ein Mädchen? Über das Geschlecht eines Kindes entscheidet natürlich nicht der erste Ultraschall, sondern ein Wettrennen der Spermien. Unter den Milliarden Samenfäden des Mannes besitzt die eine Hälfte ein X-Chromosom und die andere Hälfte ein Y-Chromosom. Je nachdem, welche Variante schließlich die weibliche Eizelle befruchtet, wird das Kind ein Junge (Y-Chromosom) oder ein Mädchen (X-Chromosom).
Die Geschlechtswahl ist zufällig – und deshalb eignet sie sich wunderbar für das folgende mathematische Rätsel. Darin geht es um Mütter, die alle genau zwei Kinder haben. Ein paar Hundert dieser Mütter sind in einer großen Halle versammelt.
Eine Frau geht durch die Reihen und befragt Anwesende: »Hast du mindestens einen Sohn?« Eine Befragte antwortet mit »Ja« und verrät anschließend ihren Namen. Sie heißt Martina.
Dazu gleich die erste Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martina zwei Söhne hat?
Einer anderen anwesenden Mutter wird folgende Frage gestellt: »Hast du mindestens einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?« Die Frau antwortet »Ja« und nennt ebenfalls ihren Namen: Stefanie.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stefanie zwei Söhne hat? Genauso groß wie bei Martina?
Hinweis: Wir gehen davon aus, dass beide Geschlechter gleich häufig sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine Tochter zu bekommen, soll also genauso groß sein wie die, einen Sohn zu kriegen. Zudem nehmen wir an, dass die Geburtstage von Kindern gleichmäßig über die sieben Wochentage verteilt sind.
Die Lösung finden Sie hier
Viele Jahre herrschte der König – und es waren gute Jahre für ihn. Seine Untergebenen mussten hart arbeiten, der größte Teil des Gewinns ging an ihn. Doch die Zeiten änderten sich. Das frustrierte Volk blies zur Revolution.
Nun hat sich das einstige Königreich in eine Demokratie gewandelt. Und weil der König seine Untergebenen so ausgebeutet hat, darf er selbst nicht einmal mit abstimmen.
Doch der einstige Alleinherrscher gibt nicht auf: Er will sich zurückholen, was ihm seiner Meinung nach zusteht. Wenn es nicht anders geht, dann eben auf demokratischem Wege.
Nach der Revolution wurde die Verteilung der Reichtümer des Landes neu organisiert. Das Volk besteht aus neun ehemaligen Untergebenen und dem einstigen König – also aus insgesamt zehn Personen. Jeden Monat stehen genau zehn Goldtaler für Lohnzahlungen zur Verfügung. Jede Person bekommt deshalb jeden Monat einen Goldtaler ausgezahlt – auch der ehemalige König.
Der Verteilungsschlüssel darf verändert werden, sofern es eine Mehrheit dafür gibt. Ein ehemaliger Untergebener stimmt für eine Veränderung, sofern dadurch sein eigener Monatslohn steigt. Er stimmt dagegen, wenn sein Lohn sinkt. Wenn sich sein monatlicher Lohn nicht verändert, enthält er sich. Der Ex-König darf nicht mit abstimmen, er darf aber als Einziger Vorschläge machen, wie man die Verteilung des Geldes verändern könnte.
Welche maximale monatliche Lohnsumme kann sich der Ex-König sichern?
Zusatzfrage: Das Volk besteht aus insgesamt 1000 Personen inklusive König. Monatlich werden 1000 Taler ausgezahlt, zu Beginn an jede Person genau einer. Welche Höchstsumme ist für den König erreichbar?
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100) Zwölf Kugeln und eine Waage
Leichter oder schwerer? Bei einer klassischen Balkenwaage vergleichen wir Massen miteinander, indem wir sie in die beiden Waagschalen legen. Mit genau solch einer Waage sollen Sie die folgende Aufgabe lösen:
Auf dem Tisch liegen zwölf Kugeln, die optisch voneinander nicht zu unterscheiden sind. Elf der zwölf Kugeln sind auch exakt gleich schwer. Das Gewicht einer Kugel weicht jedoch von dem der elf anderen ab.
Wir wissen weder, welche der zwölf Kugeln die Abweichlerin ist, noch, ob diese leichter oder schwerer ist als die übrigen Kugeln.
Sie sollen die Kugel mit abweichender Masse finden und auch ermitteln, ob diese leichter oder schwerer ist. Dabei dürfen Sie eine Balkenwaage benutzen – aber nur für drei Wägungen.
Wie müssen Sie vorgehen?
Hinweis: Geben Sie nicht zu schnell auf! Das hier beschriebene Problem ist deutlich schwieriger als die gängigen Waagen-Rätsel, aber tatsächlich lösbar!
Die Lösung finden Sie hier
