Wir schauen uns zunächst an, was die an die Tafel geschriebenen Zahlen bedeuten. Dort steht auf jeden Fall eine 10. Das heißt, ein Schüler hat 10 Mitschüler, die den gleichen Vor- oder Nachnamen tragen. Also gibt es 11 Schüler mit diesem Vor- oder Nachnamen. Jeder der 11 Schüler hat eine 10 an die Tafel geschrieben. Also steht dort auf jeden Fall 11-mal eine 10.
Analog gilt: Die Zahl 9 muss auf jeden Fall 10-mal an der Tafel stehen, denn es gibt 10 Schüler, die eine 9 notiert haben.
Die 8 taucht 9-mal auf, die 7 mindestens 8-mal und so weiter bis zur 1, die mindestens 2-mal an der Tafel steht und schließlich die 0, die mindestens 1-mal aufgeschrieben wurde.
An der Tafel stehen deshalb mindestens
11+10+9+8 +…+2+1=11×12/2=66 Zahlen.
Weil wir aber wissen, dass dort genau 66 Zahlen stehen (es sind ja nur 33 Schüler), folgt daraus, dass wir die 66 Zahlen bereits kennen: Es gibt genau eine 0 an der Tafel, 2-mal die 1, 3-mal die 2 und so weiter bis zu 11-mal die 10.
Wir wissen allerdings nicht, ob die 11 gleichen Namen sich auf Vor- oder Nachnamen beziehen. Beides ist möglich – und das gilt für alle Anzahlen von 1 bis 11.
Wir nehmen an, von den 11 verschiedenen Anzahlen (von 1 bis 11) beziehen sich n auf Vornamen und 11–n auf Nachnamen. Dann gibt es in der Klasse n verschiedene Vornamen und 11–n verschiedene Nachnamen.
Es sind deshalb n×(11–n) verschiedene Kombinationen aus Vor- und Nachname möglich. Weil n zwischen 0 und 11 liegt, kann das Produkt maximal einen Wert von 30 haben (n=5 oder n=6).
Weil die Klasse aber 33 Schüler hat, muss es mindestens drei Schüler geben, bei denen Vor- und Nachname identisch sind.