Es gibt Quadratzahlen mit höchstens drei Vieren am Ende. Viermal die Ziffer 4 oder noch größere Anzahlen sind nicht möglich.
Wie beweist man, dass eine Quadratzahl höchstens drei Vieren am Ende haben kann? Es sind unterschiedliche Wege möglich. Meiner geht wie folgt: Ich schaue mir an, auf welche Ziffern die Ausgangszahl enden muss, damit ihr Quadrat auf 4, 44, 444 und so weiter endet. Bei 44 kommt man für die letzten beiden Stellen auf 12, 62, 38 oder 88.
Sollen die letzten drei Ziffern der Quadratzahl 444 sein, muss die Ausgangszahl auf 462, 962, 038 oder 538 enden. Die Suche nach Quadratzahlen mit vier Vieren am Ende bleibt jedoch ohne Erfolg.
Mithilfe der binomischen Formel (x+y)2=x2+2xy+y2 kann man nämlich zeigen, dass die Quadratzahl
(1000a+b)2=1.000.000a2+1000×2ab+b2
zwar auf drei Vieren endet, sofern b eine der vier Zahlen 462, 962, 038 oder 538 ist, dass es jedoch keine natürlichen Zahlen a und b gibt, sodass die Quadratzahl auf 4444 endet. Man untersucht dazu die vier möglichen Zahlen für b einzeln, was leider etwas umständlich ist.
Es gibt allerdings deutlich elegantere Beweise, die mit nur wenigen Zeilen auskommen. Zum Beispiel den folgenden, den der Leser Martin Nunnemann vorgeschlagen hat:
38×38=1444 – also gibt es eine Quadratzahl, die auf 444 endet.
Gibt es Quadratzahlen, die auf 4444 enden? Diese müssten sich aus der Quadratur einer geraden Zahl ergeben. Gerade Zahlen g kann man wie folgt darstellen:
g=4i oder g=4i+2 (i=0, 1, 2, 3, …)
Die Quadrate sind dann:
(4i)2+=16i2 oder (4i+2)2=16i2+16i+4
Beim Teilen dieser beiden Quadrate durch 16 erhalten wir den Rest 0 oder den Rest 4. Da 10.000=625×16 ist, entscheiden allein die letzten vier Stellen einer Zahl, welchen Rest sie bei Division durch 16 lässt.
4444 dividiert durch 16 ergibt den Rest 12. Das Quadrat einer geraden Zahl hat jedoch den Rest 0 oder den Rest 4, wie wir oben gezeigt haben. Deshalb gibt es keine Quadratzahl, die auf 4444 endet.