Der kleine Bruder bekommt 6 Euro.
Die Aufgabe ist ein typisches Problem aus der Zahlentheorie. Wenn n der Stückpreis für eine Figur ist und zugleich der Anzahl der Figuren entspricht, ergibt sich ein Verkaufserlös von n×n=n2.
Beim Aufteilen des Geldes hat sich herausgestellt, dass n2 beim Teilen durch 20 einen Rest zwischen 10 und 20 lässt. Denn nur dann bekommt die erste Schwester 10 Euro mehr als Schwester zwei und es bleibt ein Rest kleiner als 10 Euro für den kleinen Bruder übrig.
Wir können n schreiben als n=10a+b, wobei a, b natürliche Zahlen sind und b einstellig ist. Die Einnahmen der Schwestern sind dann:
n2=(10a+b)2
n2=100a2+20ab+b2
Weil sowohl 100a2 als auch 20ab durch 20 teilbar sind, entscheidet allein b2, wie groß der Rest von n2 beim Teilen durch 20 ist.
Wir wissen außerdem, dass b einstellig ist, und müssen uns daher nur noch anschauen, für welche b von 1 bis 9 das Quadrat b2 einen Rest größer als 10 und kleiner als 20 hat.
Dies trifft nur für b=4 und b=6 zu. Der Rest von b2 bei der Division durch 20 ist in beiden Fällen 16 – daher bekommt der kleine Bruder 6 Euro.
Das Kuriose an dieser Lösung ist, dass wir zwar nicht wissen, wie groß der Verkaufserlös tatsächlich war. Er könnte zum Beispiel 142 oder 3162 betragen. Entscheidend ist allein, dass die ursprüngliche Zahl auf 4 oder 6 endet. Dann wissen wir mit Sicherheit, die erzielte Verkaufssumme beim Teilen durch 20 den Rest 16 hat und der Bruder 6 Euro bekommt.