Aufgaben wie diese werden mit dem sogenannten Schubfachprinzip gelöst. Man verteilt Objekte in Fächer und zeigt so, dass entweder eines oder mehrere Objekte übrig bleiben oder auch fehlen. Das klingt ziemlich abstrakt – am konkreten Beispiel versteht man besser, wie die Methode funktioniert.
Wir wollen versuchen, das Gegenteil zu beweisen – also die 1600 Nüsse so zu verteilen, dass es keine vier Affen mit identischer Anzahl gibt. Jede Anzahl darf also höchstens dreimal vorkommen. Wenn das nicht gelingt, haben wir die Aufgabe gelöst. Wir werden dabei sehen, dass 1600 Kokosnüsse für die gewünschte Verteilung nicht ausreichen.
Wir verteilen zunächst Kokosnüsse auf 99 Affen. Drei Affen bekommen keine Nuss, die nächsten drei je eine, die nächsten drei je zwei und so weiter bis zu den letzten drei, die jeweils 32 Nüsse bekommen.
Damit sind 3×(0+1+2+…+32)=1584 Kokosnüsse verteilt. Dies ist für 99 Affen auch die Mindestanzahl an Nüssen, die nötig ist, um die Bedingung der Aufgabe zu erfüllen.
Für den Affen Nummer 100 bleiben dann noch 1600–1584=16 Nüsse übrig. Er wäre dann zwangsläufig der vierte Affe mit dieser Anzahl von Nüssen.
Damit haben wir gezeigt, dass keine Verteilung existiert, bei der höchstens drei Affen gleich viele Nüsse bekommen.