Wir zeichnen ein Weg-Geschwindigkeits-Diagramm – allerdings ein ganz spezielles. Die x-Achse beginnt bei Kilometer 30 und endet bei Kilometer 120. Auf der y-Achse zeichnen wir für jeden Punkt x die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten 30 Kilometer ein.
Der erste Wert, für den wir überhaupt einen y-Wert berechnen können, ist der für Kilometer 30. Dort ist y die Durchschnittsgeschwindigkeit von 0 bis 30 Kilometer.
Der letzte Wert im Diagramm ist jener für Kilometer 120 – also im Ziel. Er entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten 30 Kilometer – von Kilometer 90 bis Kilometer 120.
Nun kommt der entscheidende Punkt: Die ins Diagramm eingezeichnete Durchschnittsgeschwindigkeit der jeweils letzten 30 Kilometer ist eine stetige Funktion. Das bedeutet: Es ist eine Linie, die im Diagramm keinerlei senkrechte Sprünge nach oben oder unten macht.
Beim Verlauf dieser Funktion sind drei Fälle möglich:
– Die Werte liegen für alle x von 30 bis 120 über 30 km/h.
– Die Werte liegen für alle x von 30 bis 120 unter 30 km/h.
– Die Werte liegen teils unter 30 km/h und teils über 30 km/h.
Die ersten beiden Fälle sind nicht möglich, weil die Radsportlerin dann entweder mehr als vier Stunden oder weniger als vier Stunden für ihre Tour bräuchte.
Bleibt also nur der dritte Fall. Wenn die Funktion der Durchschnittsgeschwindigkeit der jeweils letzten 30 Kilometer aber sowohl oberhalb als auch unterhalb der 30-km/h-Marke liegt, muss sie an mindestens einer Stelle auch bei exakt 30 km/h liegen.
Dieser Punkt liegt irgendwo zwischen den beiden x-Werten, an denen die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten 30 Kilometer mehr beziehungsweise weniger als 30 km/h beträgt. Eine Linie, die einen Punkt oberhalb von 30 km/h mit einem unterhalb von 30 km/h verbindet, muss zwingend die 30-km/h-Linie kreuzen.