Das Ausbalancieren gelingt nicht, wenn einer oder 23 Fahrgäste mitfahren wollen. Für alle anderen Anzahlen bis 24 ist eine austarierte Verteilung möglich.
Dass es mit einer Person allein nicht klappt, liegt auf der Hand. Und es klappt natürlich auch nicht mit 23 Personen, weil dann ein einzelner Platz unbesetzt bleibt.
Ganz allgemein gilt: Wenn eine austarierte Verteilung für n Fahrgäste existiert, dann gibt es auch eine austarierte Verteilung für 24–n Fahrgäste. Diese erhält man, indem man von einem voll besetzten (und damit austarierten) Karussell n Personen aussteigen lässt – und zwar an den Positionen, an denen n Fahrgäste austariert sitzen.
Außerdem gilt: Sind zwei verschiedene Personenverteilungen über die 24 Sitze ausbalanciert, ist auch die Überlagerung beider Personenverteilungen ausbalanciert. Natürlich unter der Bedingung, dass dabei kein Platz doppelt belegt wird.
All dies nutzen wir nun aus, um zu zeigen, dass alle Verteilungen von 2 bis 22 möglich sind. Wie das genau funktioniert, zeigen die folgenden Bilder:
Für alle geraden Anzahlen von Fahrgästen findet man leicht eine allgemeine Lösung: Wir setzen immer zwei Personen paarweise genau gegenüber aufs Karussell. Eine solche Anordnung ist ausgewogen – und damit auch die Überlagerung von 2 Paaren, also 4 Personen.
Genauso gelingt die paarweise Platzierung von 6, 8, 10 oder 12 Fahrgästen. Und mit noch mehr, solange die Anzahl der Fahrgäste gerade und kleiner als 25 ist.
Etwas schwieriger sind ungerade Personenzahlen. Wir lösen das Problem mit einer Anordnung von 3 Personen im regelmäßigen Dreieck. Für 5 Personen kommen dann 2 weitere Personen dazu, die sich genau gegenübersitzen.
Für 7 austarierte Fahrgäste kommt ein weiteres, sich genau gegenübersitzendes Paar hinzu. Für 9 Passagiere nimmt man 3 Personentrios, die jeweils ein regelmäßiges Dreieck bilden. Die Dreiecke sind jeweils um eine Sitzposition weitergedreht.
Durch Hinzufügen von 2 weiteren Personen, die sich wieder genau gegenübersitzen, erhält man 11 austarierte Personen. Auch 13 Fahrgäste lassen sich so verteilen – siehe Abbildung unten rechts.
Für einen Beweis, dass die Verteilung mit allen ungeraden Zahlen von 3 bis 21 klappt, wäre die Zeichnung mit 13 Personen gar nicht nötig gewesen. Denn wenn es Anordnungen für 3, 5, 7, 9 und 11 gibt, muss es auch welche für 24–3, 24–5, 24–7, 24–9 und 24–11 geben, also 13, 15, 17, 19 und 21.
Das Problem des ausbalancierten Karussells mag im ersten Moment konstruiert erscheinen – praktische Relevanz hat es aber in Zentrifugen, die in Labors mit Proben bestückt werden. Die Zentrifuge sollte dabei unbedingt ausbalanciert sein, damit sie keinen Schaden nimmt.