A Anhang

A.1 Konstruktion einer nicht-messbaren Menge

Es sei λ^d das Lebesgue-Maß auf und die Familie der Nullmengen. Die Vervollständigung von ist definiert durch

eine Menge heißt Lebesgue-messbar. Man sieht leicht, dass eine σ-Algebra ist,15 und dass wohldefiniert ist und λ^d fortsetzt.

A.1 Satz. Es gibt Mengen in , die nicht Lebesgue-messbar sind:

Beweis. Zunächst sei d = 1. Wir nennen x, y ∈ [0, 1) äquivalent, wenn Mit [x] bezeichnen wir die Äquivalenzklassen . Nach Konstruktion gilt , wobei alle Äquivalenzklassen sind.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms finden wir eine Menge L, die aus jeder Klasse [x_i] genau ein m_i enthält. Insbesondere gilt

Daher ist für ein , also oder

Weiterhin ist für wäre r + x = q + y für x, y ∈ L mit x ≠ y und damit , was nach Konstruktion von L ausgeschlossen ist.

Angenommen, L wäre Lebesgue-messbar, dann sehen wir wegen der σ-Additivität des Lebesgueschen Maßes, dass

Andererseits ist invariant unter Translationen, (Satz 4.7), d. h.

was offensichtlich nicht möglich ist. Somit ist L nicht Lebesgue-messbar.

Für d > 1 sieht man so, dass [0, 1)^d-1 x L nicht Lebesgue-messbar sein kann.

A.2 Berechnung des Spatvolumens

Wir wollen das Volumen eines d-dimensionalen Parallelepipeds (Spat) bestimmen. Es sei eine invertierbare d x d-Matrix und

der von A aufgespannte Spat.

A.2 Satz. Für alle A ∈ GL(d, ) gilt λ^d [A ([0, 1)^d)] = |det A|.

Für den Beweis von Satz A.2 benötigen wir zwei Hilfssätze.

A.3 Lemma. Es sei D = diag [λ_1, ..., λ_d] , λ_n > 0, eine d x d Diagonalmatrix. Dann ist λ^d(D(B)) = det D ⋅ λ^d(B) für alle Borelmengen .

Beweis. Sowohl D als auch D^-1 definieren stetige Abbildungen. Daher ist D(B) für jedes eine Borelmenge. Wegen des Eindeutigkeitssatzes für Maße (Satz 4.5) genügt es, die Aussage für halboffene Rechtecke , zu zeigen. Offenbar gilt

und

A.4 Lemma. Zu jeder Matrix gibt es orthogonale Matrizen S, T ∈ O(d) und eine Diagonalmatrix D = diag [λ₁, ..., λd] mit strikt positiven Einträgen λ_n > 0, so dass A = SDT.

Beweis. Die Matrix A^TA ist symmetrisch. Daher gibt es eine Matrix U ∈ O(d) mit

Wir bezeichnen mit := den n-ten Einheitsvektor und mit |⋅| die Euklidische Norm. Dann ist

Setze mit Dann gilt

und daher ist S:= AUD^-1 ∈ O(d). Da T:= U^T ∈ O(d), gilt zudem

Beweis von Satz A.2. Mit Hilfe von Lemma A.3 und A.4 ergibt sich für

A.3 Messbarkeit der Stetigkeitsstellen beliebiger Funktionen

Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Bezüglich der Metrik d bezeichnen wir mit

die offene Kugel mit Radius r > 0 und Zentrum x ∈ E. Für eine beliebige Funktion (Messbarkeit wird nicht vorausgesetzt) setzen wir

(diam B = sup_x,y |x – y| ist der Durchmesser der Menge B c ). Weil r ↦ diam f(B_r (x)) eine fallende Funktion von r ist, können wir in der Definition von w^f(x) das Infimum inf_r>0 durch inf_0<r<δ ersetzen.

A.5 Lemma. Die Funktion f ist im Punkt x genau dann stetig, wenn w^f(x) = 0.

Beweis. „⇒“: Es sei f stetig an der Stelle x. Dann gilt

Somit

„⇐“: Für alle r > 0 und x, x′ mit x′ ∈ B_r(x) gilt

Indem wir x und x′ vertauschen, erhalten wir

Nun sei w^f(x) = 0 angenommen. Dann gibt es für jedes ∊ > 0 ein r_∊, so dass für alle r < r_∊, und x′ ∈ B_r(x)

gilt. Das zeigt die Stetigkeit von f an der Stelle x.

A.6 Lemma. w^f ist oberhalbstetig, d. h. {w^f < α} ist für jedes α > 0 eine offene Menge.

Beweis. Es sei x₀ ∈ {w^f < α}. Dann gibt es ein r = r(α) > 0 mit

Wähle y ∈ B_r/3 (x₀). Wegen B_r/3 (y) ⊂ B_r(x₀) gilt

Daher ist y ∈ {w^f < α}, also B_r/3(x₀) ⊂ {w^f < α}.

A.7 Satz. Es sei eine beliebige Funktion. Die Menge der Stetigkeitsstellen C^f:= {x: f ist stetig in x} ist eine Borelmenge.

Beweis. Lemma A.5 zeigt

und gemäß Lemma A.6 sind die Mengen offen, also Borelsch. Daher ist auch deren abzählbarer Schnitt C^f eine Borelmenge.

A.4 Das Integral komplexwertiger Funktionen

Bisweilen müssen wir das Integral auf komplexwertige Integranden erweitern, z. B. für die Fouriertransformation (Kapitel 22). Da die Abbildung

messbar ist und eine messbare Inverse (x, y) = (Re z, Im z) ↦ Re z + i Im z besitzt, können wir und identifizieren. Damit lässt sich das Integral durch ℂ-Linearität fortsetzen. Es sei eine messbare Funktion und μ ein Maß auf . Wir definieren

Das Integral komplexwertiger Funktionen wird dann definiert durch

Es ist eine leichte Übung zu zeigen, dass das so fortgesetzte Integral ℂ-linear ist; insbesondere gilt

Die Dreiecksungleichung

sieht man so: Da ∫ f dμ ∈ ℂ ist, gibt es ein θ ∈ (-π, π], so dass e^iθ ∫ f dμ ≥ 0. Daher

A.5 Regularität von Maßen

Es sei (E, d) ein metrischer Raum, bezeichne die (bezüglich der Metrik d) offenen, die abgeschlossenen und die Boreischen Teilmengen von E.

A.8 Definition. Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Ein Maß μ auf heißt regulär von auβen, wenn

(A.1)

und regulär von innen, wenn μ(K) < ∞ für alle kompakten Mengen K c E und

(A.2)

Ein von außen und innen reguläres Maß heißt regulär.

Regularität hängt wesentlich von der topologischen Ausgangslage ab. Wir beweisen hier nur einige elementare Zusammenhänge, die für Anwendungen wichtig sind. Der Raum E heißt σ-kompakt, wenn es eine aufsteigende Folge kompakter Mengen K_n ↑ E gibt.

Manchmal wird für die innere Regularität die Gültigkeit von (A.2) für alle Borelmengen U gefordert. Allerdings gilt

A.9 Lemma. Es sei (E, d) ein metrischer Raum und μ ein reguläres Maβ. Dann gilt

(A.3)

Ist E σ-kompakt, dann gilt (A.3) für alle

Beweis. Es sei mit μ(B) < ∞.

1°) Es sei B ⊂ K für ein Kompaktum K und ∊ > 0 fest. Wegen (A.1) existiert eine offene Menge U ⊃ K \ B, so dass μ(U) ≤ μ(K \ B) + ∊. Nun gilt

Somit folgt

was (A.3) für die hier betrachteten Mengen B impliziert.

2°) Es sei μ(B) < ∞ und ∊ > 0 fest. Wegen (A.1) und (A.2) gilt

Wenden wir 1° auf die Menge B ∩ K ⊂ K an, dann erhalten wir

∃L c B ∩ K, L kompakt: μ(B ∩ K) ≤ μ(L) + ∊.

Nun ist B \ L c (U \ K) ∪ (B ∩ K) \ L und somit

was (A.3) impliziert.

3°) Nun sei E σ-kompakt. Nach Voraussetzung existieren kompakte Mengen K_n ↑E. Da μ(K_n) < ∞ ist, gilt für wegen der Maßstetigkeit

(beachte: für K c B kompakt gilt L:= K ∩ K_n ⊂ K ∩ B und L ist kompakt). Die umgekehrte Ungleichung ist wegen der Monotonie von μ trivial.

A.10 Satz. Es sei (E, d) ein metrischer Raum. Jedes endliche Maβ μ auf ist von auβen regulär. Wenn E σ-kompakt ist, dann ist μ auch von innen regulär, also regulär.

Beweis. Setze

1°) Wir zeigen: ∑ ist eine σ-Algebra.

ist klar.

(∑₂) Sei A ∈ ∑ und ∊ > 0.

Mithin gilt und es folgt A^c ∈ ∑.

(∑₃) Seien und ∊ > 0.

Somit

Mit Hilfe der Inklusion

sehen wir mit der Maßstetigkeit und der σ-Subadditivität von μ

Mithin folgt μ(U \ Φ_n) < 2_∊ für alle n > n(e) und daher gilt U_n A_n ∈ ∑.

2°) Wir zeigen: ⊂ ∑ und Für abgeschlossene Mengen F ⊂ E ist

Wegen der Maßstetigkeit haben wir lim_n→∞ μ(Un) = μ(F), d. h. F c U_n und μ(U_n \F) < ∊ für hinreichend große n > N(∊). Das zeigt, dass F ∈ ∑ und

3°) Wir zeigen: μ ist von außen regulär. Wegen 2° gibt es für Folgen und mit F_n c B c U_n und lim_n→∞ μ(U_n) \ F_n) = 0. Somit

d. h. das Infimum in (A.1) (Regularität von außen) wird angenommen.

4°) Wir zeigen: Wenn E σ-kompakt ist, dann ist μ regulär. Es sei und L_m ↑ E eine aufsteigende Folge kompakter Mengen und F_n wie in Schritt 3°. Setze

Wegen der Maßstetigkeit gilt lim_m→∞ μ(F_n \ K_n,m) = 0, sowie

Daher gilt auch die Formel (A.2) (sogar für beliebige Mengen

A.11 Satz. Es sei (E, d) ein metrischer Raum und μ ein Maβ auf mit μ(K) < ∞ für alle kompakten Mengen K c E.

a) Wenn E σ-kompakt ist, dann ist μ von innen regulär.
b) Wenn es eine Folge gibt, dann ist μ von außen regulär.

Beweis. a) Es sei K_n ↑ E eine Folge kompakter Mengen. Dann ist μ_n(B):= μ(B ∩ K_n), B ; für jedes ein endliches Maß. Wir finden mit der Maßstetigkeit und Satz A.10 für jede Menge

b) Es sei B ∈ ℬ(E) und ∈ > 0. Aus dem Beweis von Satz A.10 (Definition der Familie Σ für die Maße μ{· ∩ G_n)) wissen wir

(A.4)

Für n = 1 ist das der Induktionsanfang für die folgende Aussage

(A.5)

Induktionsschritt n ⇝ n + 1: Wegen der starken Additivität von Maßen gilt

Es ist . Somit

Da ∈ > 0 beliebig ist, folgt die Regularität von außen.

Die σ-Endlichkeit ist im Beweis von Satz A.11 wesentlich: Auf ist das Zählmaß μ(B):= #B offensichtlich von innen regulär, jedoch gilt die äußere Regularität nicht einmal für einpunktige Mengen.

A.12 Beispiel. a) Das Lebesgue-Maß λ^d auf ist regulär. Offensichtlich ist σ-kompakt und die offenen Mengen . Da λ^d(B_n(0)) < ∞, folgt die Behauptung aus Satz A.11.

b) Für jede Borelmenge gibt es eine F_σ-Menge (= abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen) F und eine G_δ-Menge (= abzählbarer Durchschnitt offener Mengen) G mit F ⊂ B ⊂ G und λ^d (G \ F) = 0. Das folgt aus dem Beweis von Satz A.10 (Schritt 3°) und Satz A.11. [✍]

A.13 Bemerkung. Satz A.11 kann auf verschiedene Arten verallgemeinert werden, wobei stets die Topologie eine besondere Rolle spielt.

a) Wenn das Maß μ lokal-endlich ist (d. h. jedes x ∈ E besitzt eine offene Umgebung U_x mit μ(U_x) < ∞), dann gilt μ(K) < ∞ für alle Kompakta K ⊂ E.
b) Ein lokal-endliches Maß auf einem separablen Raum E (d. h. E enthält eine abzählbare dichte Teilmenge) ist σ-endlich.
c) Ein separabler und lokal-kompakt Raum E ist σ-kompakt.

A.6 Separabilität des Raums C_c(E)

Ein topologischer Raum bezeichnet die Topologie oder Familie der offenen Mengen, heißt lokal-kompakt, wenn jeder Punkt x ∈ E eine offene Umgebung U(x) hat, deren Abschluss kompakt ist. Der Raum E hat eine abzählbare Basis, wenn es eine abzählbare Familie mit für alle offenen Mengen gibt. Typische Beispiele sind lokal-kompakte metrische Räume (E, d), die eine abzählbare dichte Teilmenge haben.

Wir schreiben C_c(E) für die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger supp . Wir nennen C_c(E) separabel, wenn es eine bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz dichte abzählbare Teilmenge in C_c(E) gibt.

A.14 Satz. Es sei ein lokal-kompakter topologischer Raum mit abzählbarer Basis. Dann ist der Raum (C_c(E), ∥ · ∥_∞) separabel.

Beweis. Es sei eine abzählbare Basis von und . Es seien und . Eine Funktion f ∈ C_c(E) mit

nennen wir an (G_i, I_i)_i=1, ...,n adaptiert. Zu jedem solchen Tupel wählen wir eine feste adaptierte Funktion (sofern es eine gibt) und schreiben für diese Familie. Da die Familie abzählbar ist, ist höchstens abzählbar. Für u ∈ C_c(E) gilt

Da supp u kompakt ist, wird supp u durch U(x₁) ∪ ··· ∪ U(x_n), also für endlich viele x₁, ... , x_n, überdeckt. Andererseits ist für alle i = 1, ... , n