10 Nullmengen

Es sei (E, , µ) ein beliebiger Maßraum. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit (messbaren) Mengen, die von dem Maß µ „nicht gesehen“ werden und in diesem Sinn Ausnahmemengen sind.

 

10.1 Definition. a) Die (messbaren) Nullmengen sind .

b) Eine Eigenschaft Π(x) gilt (µ-)fast überall (µ-f. ü.) oder für (µ-)fast alle x, wenn

• ► Die (Ausnahme-)Menge {x ∈ E: Π(x) gilt nicht} muss nicht messbar sein.
• ► u = w f. ü. ⇔ {u ≠ w} ⊂ N ∈ .
• ► u, w messbar, u = w f. ü. ⇔u ≠ w} ∈ _µ.
• ► u = w f. ü. erlaubt z. B., dass u messbar und w beliebig ist. Dann kann {u ≠ w} ∉ auftreten.

10.2 Satz. Es sei . Dann gilt

• a) ∫|u| dµ = 0 ⇔ |u| 0 f.ü ⇔ µ {u ≠0} = 0
• b) N ∈ ⇒ ∫_Nudµ=0.

Beweis. Wir beginnen mit b). Wegen ∣u∣∧ n ↑ ∣u∣ (n → ∞) folgt mit dem Satz von Beppo Levi (Satz 8.6) und Satz 9.3

Nun zu a). Offensichtlich sind ∣u∣ = 0 f. ü., u = 0 f. ü. und µ{u ≠ 0} = 0 gleichwertig. Es genügt daher, die erste Äquivalenz von a) zu zeigen.

„⇒“: Hier brauchen wir die sogenannte Markov-Ungleichung: Für alle A ∈ und c >0 gilt

Insbesondere haben wir für A = E

10.3 Korollar. Es seien u, w ∈ mit u = wf. ü.

• a) u, w ≥ 0 ⇒ ∫udµ =∫wdµ ∈ [0, ∞]
• b)

Beweis. Da u, w messbar sind, gilt {u ≠ w} ∈ . Daher

• a)
• b) u = w f. ü. gibt sofort u^± = w^± f. ü.; Teil a) für u^±, w^± zeigt die Behauptung.

10.4 Korollar. Für u ∈ und w ∈ gilt

Beweis. Es ist

und daraus folgt dann u ∈

 

10.5 Korollar (Markov-Ungleichung). Für u ∈ gilt

Beweis. Vgl. Beweis von 10.2.a) „⇒“.

 

10.6 Korollar. Jedes u ∈ ist f. ü. reellwertig. Insbesondere existiert ein ū ∈ mit u =ū f.ü.

 

Beweis. Definiere . Aufgrund der Maßstetigkeit (Satz 3.3.g) gilt

Daher erfüllt die Funktion die Behauptung, wobei N = {u ≠ ū}.

Konsequenz: Wir können stets durch ersetzen, m.a.W. ist - bis auf Nullmengen - ein Vektorraum, und wir dürfen das „∞ - ∞“ Problem (bei allen abzählbaren Operationen!) vernachlässigen.

Aufgaben

1. Es sei (E, , µ) ein Maßraum und u,v ∈ ℒ¹ (µ). Zeigen Sie:
   

   Hinweis: Betrachten Sie z. B. A = {u ≥v}.

2. In Aufgabe 10.1sei nun , wobei ein ∩-stabiler Erzeuger ist, so dass eine aufsteigende Folge existiert. Zeigen Sie:
   

   Hinweis: Eindeutigkeitssatz für Maße für G ↦ ∫_G(u⁺ + v^-) dµ und Aufgabe 10.1.

3. Vergleichen Sie die beiden folgenden Aussagen:
   • (a) Die Funktion u ist fast überall stetig.
   • (b) Die Funktion u stimmt fast überall mit einer stetigen Funktion überein.
4. Es sei (E, , µ) ein Maßraum. Zeigen Sie die folgenden Varianten der Markovschen Ungleichung (Korollar 10.6): Für positive Konstanten c, α > 0 gilt
   • (a)
   • (b)
   • (c)
   • (d)
   • (e)
   • (f) (Chebyshevsche Ungleichung) Es sei ein W-Maß, eine messbare Funktion („Zufallsvariable“), der Erwartungswert und die Varianz. Dann
5. (Vervollständigung) Es sei (E, , µ) ein endlicher Maßraum. Wir definieren für jede Menge Q ⊂ E das innere bzw. äußere Maß

   u* (Q) inf [µ(A) A ∈ , A ⊃ Q} und µ_*(Q):=sup{µ(A): A ∈ , A ⊂ Q}.

   Zeigen Sie:

   • (a) µ_* (Q) ≤{µ*(Q) und µ_* (Q) + µ*(Q^C) = µ(E).
   • (b) µ*(Q ∪ R) ≤ µ*(Q) + µ*(R) und µ_* (Q) + µ_*(R) ≤ µ_*(Q∪R).
   • (c) Zu jedem Q c E gibt es Mengen Q_*, Q^* ∈ mit µ(Q_*) = u_*(Q) und µ(Q*) = µ*(Q).

     Hinweis: Auf Grund der Definition des Infimums gibt es messbare Mengen Qⁿ ⊃ Q mit µ(Qⁿ) – µ*(Q) ≤ 1/n; betrachten Sie nun ∩ Qⁿ.

   • (d) Die Familie := {Q ⊂ E: µ_*(Q) = µ* (Q)} ist eine σ-Algebra.
   • (e) Der Maßraum (E, , µ) mit ist die Vervollständigung von (E, , µ) (vgl. Aufgabe 3.7, 5.4).
6. Es sei µ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum (E, ). Konstruieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (E, ), das dieselben Nullmengen wie µ hat.