Le « diagramme d’Euler » propose une aide visuelle dans le but de comprendre les relations entre plusieurs ensembles.
Collectionner et catégoriser des objets est un élément-clé des mathématiques. Les collections d’objets (ensembles) nous permettent de définir les propriétés communes des choses que nous étudions. Créer des unions d’ensembles (les combiner en prenant un objet de chaque dans un nouvel ensemble), ou d’intersections (prenant seulement ce qui est commun aux deux), nous aide à affiner leurs propriétés. Comme avec les nombres, nous pouvons combiner des objets dans un ensemble pour faire d’autres objets dans le même ensemble. Un groupe est un ensemble ayant quelques propriétés spéciales. (1) Deux objets dans l’ensemble peuvent être combinés, via une opération (addition, par exemple), et la combinaison des deux objets doit toujours être dans un ensemble. (2) Il existe un objet spécial dans l’ensemble appelé l’identité, ayant la propriété que tout objet combiné avec l’identité laisse l’objet inchangé – par exemple 0 est l’identité additive puisque vous pouvez l’ajouter à tout autre entier sans que la valeur change. (3) Et à chaque groupe d’objet il existe un autre groupe appelé son inverse. Tout objet combiné avec son inverse est l’identité. Pensez à tous les entiers avec addition comme l’opération de combinaison et 0 comme l’identité et vous obtenez l’idée, par exemple 5 + (− 5) = 0.
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
Toute collection d’objets est un ensemble mathématique. Un groupe est créé en combinant des objets dans un ensemble pour faire d’autres objets dans l’ensemble.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Bien que nous ayons pensé en nombres nos objets, les choses peuvent devenir plus intéressantes quand vous introduisez différents types d’éléments comme vos objets. Effectivement, le fameux « cercle des cinquièmes » en théorie musicale est l’ensemble de douze échelles majeures. On peut lui donner une structure de groupe appelée un groupe cyclique.
THÉORIES LIÉES
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
JOSEPH-LOUIS LAGRANGE
1736–1813
NEILS HENRIK ABEL
1802–1829
ÉVARISTE GALOIS
1811–1832
ARTHUR CAYLEY
1821–1895
GEORG CANTOR
1845–1918
BENOÎT MANDELBROT
1924–2010
TEXTE EN 30 SECONDES
David Perry