La propriété de distributivité concerne la façon dont l’addition et la multiplication interagissent : les ensembles ayant ces propriétés se nomment anneaux.
L’arithmétique avec des entiers implique deux opérations fondamentales : addition et multiplication (desquelles on apprend la soustraction et la division). À l’école, nous avons appris que la somme 1 + 4 + 9 + 16 ne nécessite pas de parenthèses : nous pouvons débuter n’importe où dans cette somme, même en réarrangeant les termes, et obtenir la même réponse (car l’addition est associative et commutative). Nous avons appris comment les opérations interagissent quand nous apprenons la propriété distributive des entiers : a × (b + c) = a × b + a × c. Beaucoup d’ensembles possèdent ces mêmes propriétés utiles présentées par les entiers. Nous n’en dresserons pas la liste ici, mais à tous ces ensembles avec ces propriétés nous donnons un nom : anneaux. L’ensemble des nombres réels est aussi un anneau, bien qu’il a une propriété utile additionnelle que les entiers ne possèdent pas. Avec les entiers, bien que vous puissiez ajouter ou multiplier deux entiers et obtenir un entier, et que vous pouviez aussi soustraire deux entiers et obtenir un entier, vous ne pouvez pas nécessairement diviser deux entiers et en obtenir un. D’un autre côté, vous pouvez diviser tout nombre réel par tout autre nombre réel (autre que 0 !) et obtenir un nombre réel. La distinction donne à l’ensemble des nombres réels la désignation de champ.
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
L’ensemble des entiers possède des propriétés subtiles qui le désignent sous le nom d’anneau. L’ensemble des nombres réels est même plus subtil : on l’appelle champ.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Anneaux et champs étaient historiquement importants car ils permirent aux mathématiciens de traduire certains problèmes classiques en un nouveau langage. Ce nouveau langage admis pour ces preuves longuement désirées indique que la quadrature du cercle, la duplication du cube, et le fait de triséquer un angle arbitraire, ne sont pas possibles en utilisant seulement la règle graduée et le compas. Les mathématiciens peuvent aussi prouver qu’en dépit de l’existence de la formule quadratique – des formules cubiques et quartiques – il n’y a pas de formule pour les polynomiales quintiques.
THÉORIES LIÉES
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
ÉVARISTE GALOIS
1811–1832
RICHARD DEDEKIND
1831–1916
EMMY NOETHER
1882–1935
TEXTE EN 30 SECONDES
David Perry