LE PROGRAMME DE HILBERT

théorie en 30 secondes

Au début du XX^e siècle, les mathématiques vécurent une « crise fondamentale ». Tandis que des mathématiciens résolvaient des problèmes de plus en plus complexes, certaines questions de base demeuraient sans réponse. D’où venaient les nombres ? Quelles sont leurs lois fondamentales ? Pourquoi certaines questions concernant les nombres sont-elles si extraordinairement difficiles ? Confronté à ces défis, David Hilbert lança une audacieuse idée. Il voulut démonter les mathématiques jusqu’à l’os en n’en gardant que l’essentiel et en les traitant simplement comme un jeu. Comme les échecs sont joués avec des pions et des tours, le jeu des mathématiques a ses symboles et ses composants de base : 0, 1, +, ×, =, etc. En réduisant les mathématiques à un jeu de symboles et en oubliant leur « signification », Hilbert pensait découvrir leurs règles fondamentales. Il espérait qu’une stratégie gagnante émergerait. Ce serait une méthode unique qui déterminerait si tout énoncé concernant les nombres est vrai ou faux. Malheureusement, le programme de Hilbert ne fut jamais réalisé. Le théorème d’incomplétude de Kurt Gödel démontra qu’un ensemble complet de règles ne pourra jamais être connu. Plus tard, le travail d’Alan Turing sur les algorithmes démontra qu’il ne pourrait jamais y avoir une procédure seule capable d’évaluer la vérité de tout énoncé mathématique.

CONDENSÉ EN 3 SECONDES

David Hilbert désirait utiliser la logique sous-jacente de la structure de l’arithmétique dans le but de trouver la théorie extrême des mathématiques. Hélas, ses plans ne virent jamais le jour.

RÉFLEXION EN 3 MINUTES

Bien que le programme de Hilbert ne lui permît pas de réaliser ses grands espoirs, son travail eut un impact durable sur les mathématiques. Son approche « formaliste » de la manière de traiter les systèmes numériques comme des jeux provoqua un nouvel intérêt pour la logique mathématique. Bien qu’un simple programme d’ordinateur ou algorithme ne résoudra jamais tous les problèmes mathématiques, plusieurs sous-classes spéciales de problèmes peuvent être résolues ainsi. À partir du programme de Hilbert, les mathématiciens actuels continuent de récolter des résultats positifs.

THÉORIES LIÉES

ALGORITHMES

LE THÉORÈME D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES

DAVID HILBERT

1862–1943

WILHELM ACKERMANN

1896–1962

JOHN VON NEUMANN

1903–1957

KURT GÖDEL

1906–1978

ALAN TURING

1912–1954

TEXTE EN 30 SECONDES

Richard Elwes

À l’instar des échecs, les mathématiques ne sont qu’un jeu. Mais quelles en sont les règles ?