Mathématiques en 30 secondes

théorie en 30 secondes

La pièce centrale des mathématiques est l’arithmétique : le système des nombres entiers 0, 1, 2, 3… et leurs combinaisons bien connues : addition, soustraction, multiplication et division. Depuis des milliers d’années, les mathématiciens se battent avec ce système. À la fin du XIX^e siècle, ils se focalisèrent sur l’idée d’en trouver les lois fondamentales. Ils recherchèrent une liste de règles de base pour l’arithmétique, de laquelle tous les théorèmes pourraient être déduits logiquement. Plusieurs règlements apparurent, notamment l’ouvrage en trois volumes intitulé Principia Mathematica de Bertrand Russel et Alfred North Whitehead. Ils pensaient construire toutes les mathématiques en partant d’une liste de suppositions fondamentales. Mais, en 1931, Kurt Gödel prouva que tous ces efforts étaient vains. Il prouva un théorème établissant l’impossibilité d’écrire une liste complète des règles de l’arithmétique. Toute tentative serait automatiquement « incomplète ». Il manquera toujours un énoncé concernant les nombres entiers : même vrai, il ne pourra être déduit des lois données. Bien sûr, vous pourriez développer le règlement pour incorporer cet énoncé comme une nouvelle loi, mais cela devrait laisser d’autres trous dans la théorie. Le théorème de Gödel garantit que vous ne pourrez jamais espérer les boucher tous.

CONDENSÉ EN 3 SECONDES

Kurt Gödel stupéfia le monde en révélant que personne ne sera jamais capable de noter un ensemble complet de lois des nombres.

RÉFLEXION EN 3 MINUTES

Bien que Gödel nous assure qu’aucun ouvrage complet de règles d’arithmétique ne sera jamais écrit, une hiérarchie de systèmes logiques d’arithmétique a été construit a posteriori, où chaque système bouche les nombreux trous du système en-dessous. Le sujet de la « théorie de la preuve » compare les forces logiques de ces différents systèmes. Les mathématiciens qui sont contre, ont pour but de comprendre où s’accordent les résultats des mathématiques classiques, disant exactement quelles suppositions sous-jacentes sont nécessaires pour prouver un théorème donné.