Y aura-t-il jamais une fin à tout cela ? Pas selon les mathématiciens.
Il est facile de voir que les nombres naturels sont infinis. Déclarez que tout nombre est le plus haut et vous pourrez toujours en ajouter un de plus. Il est aussi vrai, mais un peu plus rusé, qu’entre 0 et 1 il existe un nombre infini de nombres. Depuis des millénaires, les mathématiciens sont fascinés par le concept d’infini. Zénon d’Élée, un Grec adepte du stoïcisme, étudia l’idée à travers une série de paradoxes. Son plus fameux énonce que tout mouvement est impossible : aller d’un point A à un point B nécessite de passer par un nombre infini de points intermédiaires. Or, chacun prenant un temps positif pour aller de l’un au prochain, et puisque un nombre infini de nombres positifs doivent être ajoutés à l’infini, on ne peut aller nulle part en un temps fini. Nous savons maintenant où il se trompa (un nombre infini de nombres positifs peut avoir une somme finie !), mais cette pensée provoqua de nombreuses études. Aujourd’hui, l’idée centrale, derrière le calcul infinitésimal, implique l’infinité. Les taux moyens de changement usant d’une séquence infinie d’intervalles de temps positifs de plus en plus petits (nous disons « infiniment petit ») nous aident à définir ce taux instantané. Ceci fonctionne comme le compteur d’une voiture enregistrant votre vitesse ; votre distance parcourue au-dessus d’un intervalle de temps positif très petit. Sans l’infini, nous ne pourrions, peut-être, vraiment aller nulle part !
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
Toutes les bonnes choses ont une fin, sauf en mathématiques.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Buzz Lightyear, le fameux héros de l’espace de la série Toy Story des studios Pixar, proclame fièrement : « Vers l’infini et au-delà ! » Mais comme la fin de la droite des nombres réels, et l’horizon pour les marins intrépides, quelle que soit la façon dont nous voyageons, nous ne nous en rapprochons jamais autant que lorsque nous en étions partis. Même le nombre total de particules subatomiques de l’univers, estimé à bien moins que 10 100, n’est pas plus proche de l’infini que l’est le 1. Pour aller au-delà de l’infini, on doit d’abord l’atteindre. Zénon d’Élée aurait apprécié cela.
THÉORIES LIÉES
NOMBRES RATIONNELS & NOMBRES IRRATIONNELS
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
ZÉNON D’ÉLÉE
env. 490-env. 430 av. J.-C.
GEORG CANTOR
1845–1918
TEXTE EN 30 SECONDES
Richard Brown