L’infini se présente sous différentes tailles. Comment savons-nous que nous les avons toutes trouvées ?
La liste des nombres naturels n’a pas de fin : 1, 2 3, 4, 5… Il existe aussi à l’infini beaucoup de nombres réels (nombres décimaux comme 5 ou π ou 0,1234567891011121314…). Ces deux types d’infini sont connus respectivement sous le nom d’« infini dénombrable » et de « continuum ». À la consternation générale de ses contemporains, Georg Cantor prouva que tout cela avait des tailles différentes. La série des nombres décimaux est d’un infini plus grand que celui des nombres entiers. Cantor poursuivit en identifiant plus de niveaux d’infini que ces deux-là (infiniment, en fait). Mais, pour la plupart des mathématiciens ordinaires, ce sont les deux plus importants types d’infini. Cantor avait vu que le continuum est d’un infini plus grand que le niveau dénombrable. Mais, ce qu’il ignorait, c’est s’il existait ou pas des niveaux intermédiaires entre les deux. Il croyait que non et c’est cette conjecture que l’on nomma « hypothèse du continuum ». Le débat resta ouvert jusqu’en 1963, lorsque le mathématicien américain Paul Cohen prouva un résultat choquant : l’hypothèse du continuum est formellement impossible à décider. Cela signifie que, compte tenu de l’ensemble de toutes les lois mathématiques, l’hypothèse du continuum n’est ni prouvable ni improuvable.
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
Le mathématicien allemand Georg Cantor découvrit que l’infini se présente en beaucoup de variétés. La façon dont ces différents niveaux d’infini sont reliés entre eux demeure encore un mystère.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Le legs de Cantor est un des rares points où les mathématiques rencontrent l’idéologie. Un contemporain de Cantor, Leopold Kronecker démolit le sujet dans sa totalité en affirmant que « Dieu a créé les entiers [nombres entiers], tout le reste est l’œuvre de l’être humain ». David Hilbert, lui, déclara : « Personne ne nous expulsera du paradis que Cantor a créé. » Ces divergences d’opinion sont toujours de mise. Pendant que certains théoriciens des ensembles recherchent de nouvelles lois qui permettraient à l’hypothèse du continuum d’être tranchée, d’autres affirment que nous ne le saurons jamais.
THÉORIES LIÉES
LE THÉORÈME D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
GEORG CANTOR
1845–1918
KURT GÖDEL
1906–1978
PAUL COHEN
1934–2007
HUGH WOODIN
1955–
TEXTE EN 30 SECONDES
Richard Elwes