[Für Dummies 01] • Analysis kompakt für Dummies by Ryan, Mark -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Cover Schummelseite Titel Über den Autor Einführung

Über dieses Buch Konventionen in diesem Buch Wie Sie dieses Buch einsetzen Törichte Annahmen über den Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Analysis – ein Überblick Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis Teil III: Grenzwerte Teil IV: Differentiation Teil V: Integration Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden Wie es weitergeht

Teil I Analysis – ein Überblick

Kapitel 1 Was ist Analysis?

Was Analysis nicht ist Was also ist Analysis? Beispiele für die Analysis aus der Praxis

Kapitel 2 Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differentiation und Integration

Differentiation – Definition

Die Ableitung ist eine Steigung Die Ableitung ist eine Änderungsrate

Und jetzt zur Integration

Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert

Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop Was passiert beim Vergrößern? Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht

Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich?

Teil II Die Voraussetzungen für die Analysis

Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra

Was Sie über Brüche wissen sollten

Ein paar schnelle Regeln Brüche multiplizieren Brüche dividieren Brüche addieren Brüche subtrahieren Brüche kürzen

Betrag (Absolutwert) – absolut einfach Potenzen machen stark Zu den Wurzeln der Wurzeln

Wurzeln, Wurzeln überall!

Logarithmen ... wirklich keine Hexerei Faktorisieren – wer braucht das schon?

Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen

Quadratische Gleichungen lösen

Methode 1: Faktorisieren Methode 2: Die abc-Formel Methode 3: Quadratische Ergänzung

Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen

Was ist eine Funktion?

Die definierende Eigenschaft einer Funktion Unabhängige und abhängige Variablen Funktionsnotation Zusammengesetzte Funktionen

Wie sieht eine Funktion aus? Allgemeine Funktionen und ihre Graphen

Geradeheraus – Geraden in der Ebene Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus Einige ungerade Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen

Inverse Funktionen Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen

Horizontale Transformationen Vertikale Transformationen

Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf!

Trigonometrie im Crashkurs Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen Inverse trigonometrische Funktionen

Teil III Grenzwerte

Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit

Bis an die Grenzen – NEIN

Drei Funktionen erklären den Grenzwert Weiter zu den einseitigen Grenzwerten Die formale Definition eines Grenzwerts – wie erwartet! Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten Grenzwerte an der Unendlichkeit – haben Sie gute Schuhe an?

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen

Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren

Kapitel 8 Grenzwerte auswerten

Einfache Grenzwerte

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten Einsetzen und Einkochen

Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert

Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen

Grenzwerte bei unendlich auswerten

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden

Teil IV Differentiation

Kapitel 9 Differentiation – Orientierung

Differentiation: Sucht die Steigung!

Die Steigung einer Geraden Die Ableitung einer Geraden

Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate

Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung

Die Ableitung einer Kurve Der Differenzquotient Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert

Kapitel 10 Regeln für die Differentiation – was sein muss, muss sein!

Grundlegende Regeln der Differentiation

Die Konstantenregel Die Potenzregel Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten Die Summenregel – und die kennen Sie schon Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied Trigonometrische Funktionen differenzieren Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren

Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs!

Die Produktregel Die Quotientenregel Die Kettenregel

Kapitel 11 Differentiation und die Form von Kurven

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen Krümmung und Wendepunkte Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben Von nun an ging’s bergab! Ihr Reisetagebuch

Lokale Extremwerte finden

Die kritischen Werte herausleiern Der Test der ersten Ableitung Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests!

Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden Krümmung und Wendepunkte bestimmen Die Graphen von Ableitungen – Bis zum Abwinken

Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differentiation sei Dank!

Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme

Das maximale Volumen einer Schachtel

Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Maximale und minimale Höhe Geschwindigkeit und Abstand Gesamte zurückgelegte Distanz Gummigeruch und Bremsstreifen: Beschleunigung und Abbremsen Und jetzt alles zusammen

(Relativ) verkettete Änderungsraten

Einen Trog auffüllen

Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben

Die Aufgabenstellung mit der Tangente Das Normallinienproblem

Teil V Integration

Kapitel 13 Integration und Flächenannäherung – Ein Einstieg

Die Fläche unter einer Kurve bestimmen Der Umgang mit negativen Flächen Flächen annähern

Flächen mit Hilfe linker Summen annähern Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern

Die Summennotation

Die Grundlagen summieren Riemann-Summen in Sigma-Notation

Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln

Kapitel 14 Integration: Die Rückwärts-Differentiation

Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differentiation Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? Die müßige Flächenfunktion Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2

Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differentiation

Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken

Umkehrregeln für Stammfunktionen Raten und Prüfen Die Substitutionsmethode

Flächen mit Hilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen

Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis

Teilweise (partielle) Integration: Teilen und Herrschen!

Das u auswählen Teilweise Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal

A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen)

1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 2. Fall: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren Bonusrunde: Koeffizienten ähnlicher Terme gleichsetzen

Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen

Der Mittelwertsatz für Integrale und der Durchschnittswert Die Fläche zwischen zwei Kurven – Der doppelte Spaß Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln

Die Pfannkuchenstapelmethode Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode

Bogenlängen analysieren Die Regel von L’Hôpital: Analysis für die Kranken Uneigentliche Integrale: Am Verlauf zu erkennen

Uneigentliche Integrale mit vertikalen Asymptoten Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei unendlichen Integrationsgrenzen

Teil VI Der Top-Ten-Teil

Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie sich merken sollten

Den Platz, wo Ihre Sonnenbrille liegt a2 − b2 = (a – b)(a + b) , aber ist undefiniert Irgendetwas0 = 1 SghKahTga Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel sin2 θ + cos2 θ = 1 Die Produktregel Die Quotientenregel Wo Sie Ihre Schlüssel hingelegt haben

Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie vergessen können

(a + b)2 = a2 + b2 − Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Falsch! Wenn k eine Konstante ist, dann ist Falsch! Die Quotientenregel ist Falsch! Falsch! ∫ (sin x) dx = cos x + C − Falsch! Den Satz von Green

Stichwortverzeichnis

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