Mathematische Algorithmen mit Python by Steinkamp, Veit -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Aus dem Lektorat Inhaltsverzeichnis Materialien zum Buch 1 Einführung

1.1 Entwicklungsumgebungen

1.1.1 IDLE 1.1.2 Thonny

1.2 Die Installation der Module 1.3 Schlüsselwörter von Python 1.4 Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung

1.4.1 Maschinengenauigkeit 1.4.2 Rundungsfehler 1.4.3 Stellenauslöschung

1.5 Algorithmenbegriffe 1.6 Übungen

2 Datentypen und Datenstrukturen

2.1 Tupel

2.1.1 Exkurs: Elementare Datentypen von Python 2.1.2 Würfelsimulation 2.1.3 Vertauschen von Objekten

2.2 Set

2.2.1 Mengenlehre 2.2.2 Vereinigungsmenge 2.2.3 Schnittmenge 2.2.4 Differenzmenge

2.3 Liste 2.4 Dictionary 2.5 Zusammenfassung 2.6 Aufgaben

3 Programmstrukturen

3.1 Mathematische Operatoren 3.2 Die lineare Programmstruktur 3.3 Verzweigungsstrukturen

3.3.1 Einfachauswahl 3.3.2 Mehrfachauswahl

3.4 Wiederholstrukturen

3.4.1 Die while-Schleife 3.4.2 Die for-Schleife

3.5 Operation auf Vektoren und Matrizen

3.5.1 Skalarprodukt 3.5.2 Addition von Matrizen 3.5.3 Multiplikation von Matrizen

3.6 Unterprogrammtechnik mit Funktionen

3.6.1 Eingebaute Funktionen 3.6.2 Selbst erstellte Funktionen 3.6.3 Funktionen mit einem Rückgabewert 3.6.4 Funktionen mit mehreren Rückgabewerten 3.6.5 Namensraum 3.6.6 Rekursion: Eine Funktion ruft sich selbst auf

3.7 Einen Algorithmus optimieren

3.7.1 Binäre Exponentiation 3.7.2 Das Horner-Schema

3.8 Objektorientierte Programmierung

3.8.1 Definition einer Klasse 3.8.2 Vererbung

3.9 Laufzeitanalyse

3.9.1 Messen der Laufzeit 3.9.2 Komplexitätsklassen

3.10 Aufgaben

4 Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy

4.1 NumPy

4.1.1 Wichtige NumPy-Funktionen 4.1.2 Wertetabellen für mathematische Funktionen erstellen 4.1.3 Die Datenstruktur von ndarray 4.1.4 Rechnen mit Matrizen

4.2 Matplotlib

4.2.1 Die objektorientierte API 4.2.2 Funktionsplot mit Beschriftungen 4.2.3 Unterdiagramme 4.2.4 Das Slider-Steuerelement 4.2.5 Funktionsplotter

4.3 SymPy

4.3.1 Symbolische Operationen mit Matrizen 4.3.2 Symbolisches Differenzieren und Integrieren

4.4 SciPy 4.5 Aufgaben

5 Zahlen

5.1 Natürliche und ganze Zahlen

5.1.1 Teilbarkeit 5.1.2 Division mit Rest 5.1.3 Der euklidische Algorithmus 5.1.4 Der erweiterte euklidische Algorithmus 5.1.5 Primzahlen 5.1.6 RSA-Verschlüsselung

5.2 Rationale Zahlen 5.3 Irrationale Zahlen 5.4 Transzendente Zahlen

5.4.1 Die Kreiszahl π 5.4.2 Die eulersche Zahl e

5.5 Aufgaben

6 Gleichungssysteme

6.1 Lineare Gleichungssysteme

6.1.1 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems 6.1.2 Der Gauß-Algorithmus 6.1.3 Der Gauß-Jordan-Algorithmus 6.1.4 Lösung mit Determinanten: Die cramersche Regel 6.1.5 Lösung mit der Inversen einer Matrix 6.1.6 Lösung mit der NumPy-Funktion solve() 6.1.7 Lösung mit SymPy-Methoden

6.2 Iterative Verfahren

6.2.1 Das Jacobi-Verfahren 6.2.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren 6.2.3 Konvergenzverhalten

6.3 Nichtlineare Gleichungssysteme

6.3.1 Lösung mit SciPy 6.3.2 Lösung mit SymPy

6.4 Aufgaben

7 Folgen

7.1 Divergente Folgen 7.2 Differenzfolgen 7.3 Konvergente Folgen 7.4 Rekursive Folgen 7.5 Geometrische Folgen 7.6 Der Grenzwert von Folgen

7.6.1 Grenzwertdarstellung im Koordinatensystem 7.6.2 Symbolische Berechnung des Grenzwertes

7.7 Aufgaben

8 Nullstellen berechnen

8.1 Bisektionsverfahren 8.2 Fixpunktverfahren 8.3 Newton-Verfahren 8.4 Vergleich der Verfahren 8.5 Numerische Berechnung mehrerer Nullstellen 8.6 Aufgaben

9 Numerische Differenziation

9.1 Simulation des Grenzwertprozesses 9.2 Tangentengleichung 9.3 Vorwärts-, Rückwärts- und zentraler Differenzenquotient

9.3.1 Vorwärtsdifferenzenquotient 9.3.2 Rückwärtsdifferenzenquotient 9.3.3 Der zentrale Differenzenquotient 9.3.4 Differenzenquotienten mit selbst erstellten Funktionen berechnen

9.4 Optimale Schrittweite 9.5 Höhere Ableitungen

9.5.1 Höhere Ableitungen aus vorgegebenen Formeln berechnen 9.5.2 Höhere Ableitungen aus der 1. Ableitung berechnen 9.5.3 Höhere Ableitungen mit dem erweiterten Horner-Schema berechnen 9.5.4 Höhere Ableitungen mit dem Modul Numdifftools berechnen

9.6 Kurvendiskussion

9.6.1 Statische Darstellung von Extremwerten und Wendepunkt 9.6.2 Kriterien für Extremstellen 9.6.3 Simulation der Tangentensteigung für ein Polynom 3. Grades 9.6.4 Kurvendiskussion mit Numdifftools 9.6.5 Kurvendiskussion mit SymPy 9.6.6 Umgekehrte Kurvendiskussion

9.7 Aufgaben

10 Reihen

10.1 Divergierende Reihen

10.1.1 Die Reihe der Quadratzahlen 10.1.2 Harmonische Reihe

10.2 Konvergente Reihen

10.2.1 Die eulersche Zahl e 10.2.2 Vergleich von Konvergenzgeschwindigkeiten 10.2.3 Konvergenzkriterien

10.3 Geometrische Reihen 10.4 Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung

10.4.1 Potenzreihen 10.4.2 Taylor-Entwicklung

10.5 Aufgaben

11 Numerische Integration

11.1 Das Problem der Flächenberechnung

11.1.1 Simulation eines bestimmten Integrals 11.1.2 Simulation des Fehlers

11.2 Verfahren der Flächenberechnung

11.2.1 Die summierte Mittelpunktregel 11.2.2 Die summierte Trapezregel 11.2.3 Das Simpson-Verfahren 11.2.4 Vergleich der Verfahren

11.3 Bogenlängen 11.4 Rotationskörper 11.5 Zweifachintegrale

11.5.1 Zweifachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen 11.5.2 Zweifachintegrale mit variablen Integrationsgrenzen

11.6 Aufgaben

12 Differenzialgleichungen

12.1 Das eulersche Polygonzugverfahren 12.2 Richtungsfelder 12.3 Differenzialgleichungen 1. Ordnung

12.3.1 Die konstante Wachstumsrate 12.3.2 Die konstante Wachstumsrate mit oberer Wachstumsschranke 12.3.3 Die logistische Wachstumsrate

12.4 Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung 12.5 DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel 12.6 DGL-System mit zwei Unbekannten 12.7 DGL-System mit drei Unbekannten 12.8 Optimierungen des Euler-Verfahrens

12.8.1 Das Heun-Verfahren 12.8.2 Das vierstufige Runge-Kutta-Verfahren 12.8.3 Vergleich der Verfahren

12.9 Lösung von Differenzialgleichungen mit SciPy 12.10 Lösen von Differenzialgleichungen mit Sympy 12.11 Aufgaben

13 Ausgleichsrechnungen

13.1 Lineare Ausgleichsprobleme

13.1.1 Lösung mit linearen Gleichungssystemen 13.1.2 Lösung mit dem Vektoransatz 13.1.3 Lösung mit dem erweiterten Vektoransatz 13.1.4 Anwendungsbeispiel: Bremsweg 13.1.5 Anwendungsbeispiel: Planetenbahn

13.2 Nichtlineare Ausgleichsprobleme

13.2.1 Exponentialfunktion 13.2.2 Potenzfunktion

13.3 Aufgaben

14 Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen

14.1 Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen

14.1.1 Histogramm 14.1.2 Normalverteilung

14.2 Lageparameter

14.2.1 Modus 14.2.2 Median 14.2.3 Arithmetischer Mittelwert 14.2.4 Harmonischer Mittelwert 14.2.5 Geometrischer Mittelwert

14.3 Streuparameter

14.3.1 Spannweite 14.3.2 Standardabweichung

14.4 Strukturparameter

14.4.1 Schiefe 14.4.2 Wölbung

14.5 Aufgaben

15 Fraktale

15.1 Turtle-Grafik 15.2 Die kochsche Schneeflocke 15.3 Das Sierpinski-Dreieck 15.4 Der Pythagoras-Baum 15.5 Mandelbrot- und Julia-Mengen

15.5.1 Mandelbrot-Menge 15.5.2 Julia-Menge 15.5.3 Farbige Darstellung von Julia-Mengen

15.6 Aufgaben

Anhang

16.1 Wichtige mathematische Begriffe und Sätze

16.1.1 Grundlegende Begriffe der Mathematik 16.1.2 Wichtige Sätze der Mathematik

16.2 Matplotlib-Eigenschaften

17 Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis Rechtliche Hinweise Über den Autor

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