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Contents
Vorwort zur 1. Auflage
Vorwort zur 2. Auflage
1 Funktionentheorie
1.1 Komplexe Zahlen und Funktionen
1.1.1 Allgemeine Eigenschaften
1.1.2 Verallgemeinerte komplexe Zahlen*
1.1.3 Polarkoordinaten
1.2 Holomorphe Funktionen
1.2.1 Komplex differenzierbar
1.2.2 Reell differenzierbar
1.2.3 Lokal konstante Funktionen
1.2.4 Konforme Abbildungen
1.2.5 Äquipotential- und Stromlinien*
1.2.6 Biholomorphe Funktionen
1.2.7 Möbius-Transformation*
1.3 Cauchy Integralsatz
1.3.1 Wegintegrale
1.3.2 Stammfunktion in ℂ
1.3.3 Cauchy Integralsatz
1.3.4 Anwendungen zum Cauchy Integralsatz
1.3.5 Allgemeine Cauchy Integralformel
1.4 Potenzreihen
1.4.1 Taylor- und Laurent-Reihen
1.4.2 Analytische Fortsetzung*
1.5 Der Residuensatz
1.5.1 Singularitäten
1.5.2 Residuensatz
1.5.3 Anwendungen des Residuensatzes*
Aufgaben
2 Spezielle Funktionen
2.1 Logarithmusfunktion
Definition 2.1 (Logarithmusfunktion).
Lemma 2.1.
Beweis.
Beispiel 2.1.
2.2 Arcus-Funktionen
Definition 2.2 (Arcustangens).
Lemma 2.2.
Beweis.
Definition 2.3 (Arcussinus).
Lemma 2.3.
Beweis.
Beispiel 2.2.
2.2.1 Area-Funktionen*
2.3 Gamma- und Betafunktion
Definition 2.4 (Gammafunktion).
Lemma 2.6.
Beweis.
Lemma 2.7.
Beweis.
Lemma 2.8.
Beweis.
Lemma 2.9.
Beweis.
Beispiel 2.3.
Lemma 2.10 (Stirling-Formel).
Beweis.
2.4 Polylogarithmus*
Definition 2.5 (Integraldefinition Polylogarithmus).
Lemma 2.11 (Reihendarstellung).
Beweis.
Lemma 2.12.
Beweis.
Aufgaben
3 Grundlagen der Funktionalanalysis
3.1 Vektorräume und Algebren
Definition 3.1 (Vektorraum).
Beispiel 3.1.
Definition 3.2 (Untervektorraum).
Definition 3.3 (Lineare Abbildung).
Definition 3.4 (Algebra).
Beispiel 3.2.
Definition 3.5 (Lie-Algebra).
Beispiel 3.3.
Beispiel 3.4 (Spin-1/2-Algebra).
Definition 3.6 (Bildraum und Kern).
3.2 Metrische und normierte Räume
3.2.1 Metrische Räume
3.2.2 Normierte Räume
3.2.3 Matrixnormen
3.2.4 Innenproduktraum
3.3 Banach- und Hilberträume
Definition 3.12 (Cauchyfolge).
Lemma 3.3.
Beweis.
Definition 3.13 (Vollständigkeit).
Definition 3.14 (Hilbertraum).
Beispiel 3.10.
3.4 Orthogonale Funktionensysteme
3.4.1 Orthogonalität
3.4.2 Spezielle orthonormale Funktionensysteme
3.4.3 Orthonormalbasen
3.4.4 Separabilität*
Aufgaben
4 Orthogonale Funktionen
4.1 Fourierreihen und Fourier-Integrale
4.1.1 Stückweise stetige Funktionen
4.1.2 Fouriersummen
4.1.3 Der Satz von Fejér
4.1.4 Fourier-Integraltheorem
4.1.5 Fourier-Transformation
4.1.6 Laplace-Transformation
4.2 Orthogonale Polynome
Definition 4.6 (Orthogonale Polynome).
Definition 4.7 (Differentialgleichung).
Definition 4.8 (Rekursionsformel).
Definition 4.9 (Rodrigues-Formel).
4.2.1 Legendre-Polynome
4.2.2 Hermite-Polynome
4.2.3 Laguerre-Polynome
4.2.4 Tschebyscheff-Polynome*
4.3 Kugelflächenfunktionen
4.3.1 Assoziierte Legendre-Funktionen
4.3.2 Kugelflächenfunktionen
4.3.3 Anwendungen
Aufgaben
5 Tensorrechnung
5.1 Euklidische Räume
5.1.1 Affine Vektoren und Tensoren
5.2 Allgemeine Koordinatentransformationen
Definition 5.4 (nicht singuläre Transformation).
Beweis.
Beispiel 5.1 (Zylinderkoordinaten).
5.3 Kontravariante und kovariante Tensoren
Definition 5.5 (Kontra- und kovariante Vektoren).
Beispiel 5.2 (Gradient in Zylinder- und Kugelkoordinaten).
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten:
5.4 Der metrische Tensor
Definition 5.8 (Metrischer Tensor).
Beispiel 5.3 (Metrischer Tensor).
Definition 5.9 (Kovektor).
Definition 5.10 (Skalarprodukt).
Definition 5.11 (Länge eines Vektors).
Definition 5.12 (Riemannsche Metrik).
Definition 5.13 (Länge eines Weges).
Beispiel 5.4 (Weglänge).
Definition 5.14 (Minkowski-Metrik).
5.4.1 Krummlinige Koordinaten im 𝖤d
5.4.2 Ableitungen krummliniger Basisvektoren
5.5 Tensoren in der Physik
5.5.1 Verallgemeinerter Kronecker-Tensor und der ϵ-Tensor
5.5.2 Duale Basis im Euklidischen Raum 𝖤3
5.5.3 Differential-Operatoren in 𝖤3
Aufgaben
6 Distributionen
6.1 Raum der Testfunktionen
Definition 6.1 (Testfunktionsraum 𝒟).
Beispiel 6.1 (Testfunktion in 𝒟).
Definition 6.2 (Testfunktionsraum 𝒮).
6.2 Distributionen
Definition 6.3 (Distribution).
Lemma 6.1 (Nullfolge).
Beispiel 6.2 (reguläre Distribution).
Beispiel 6.3.
6.2.1 Distributionen in der Physik
6.2.2 Rechnen mit Distributionen
6.2.3 Tensorprodukt von Distributionen*
6.2.4 Differentialgleichungen*
6.2.5 Distributionen auf Mannigfaltigkeiten*
Aufgaben
A Anhang
A.1 Ungleichungen
Lemma A.1.
Lemma A.2 (Hölder).
Beweis.
Lemma A.3 (Minkowski).
Beweis.
Lemma A.4 (Jensen).
A.2 Potenzreihen
Lemma A.5 (Quotientenkriterium).
Lemma A.6 (Wurzelkriterium).
Lemma A.7 (Cauchy-Hadamard).
A.3 Differentiation
Definition A.1.
Definition A.2 (Partielle Ableitung).
Definition A.3 (Totale Differenzierbarkeit).
Definition A.4 (Gradient).
Lemma A.8.
Definition A.5 (Das totale Differential).
Definition A.6.
Lemma A.9.
Definition A.7 (Funktionalmatrix).
Definition A.8 (Jacobi-Determinante).
A.4 Implizite Funktionen
Definition A.9 (Implizite Funktionen).
Lemma A.10.
Beweis.
Beweis.
A.5 Jacobi-Determinante
Lemma A.11.
Beweis.
Lemma A.12.
Beweis.
Beispiel A.1.
A.6 Integralrechnung
Definition A.10.
Lemma A.13.
Literatur
Stichwortverzeichnis
Notes
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