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Contents
1 Einleitung
2 Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen
2.1 Das Richtungsfeld einer Differenzialgleichung
2.2 Differenzialgleichungen der Form y′=f(ax+by+c)
2.3 Differenzialgleichungen der Form y′=f(y∕x)
2.4 Differenzialgleichungen mit beliebigen Substitutionen
3 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung
4 Wachstumsmodelle einer Größe
4.1 Lineares und quadratisches Wachstum
Beispiele.
4.2 Exponentielles Wachstum
4.3 Beschränktes Wachstum
Bemerkung.
4.4 Logistisches Wachstum
Definition.
4.5 Allee-Effekt
5 Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung
5.1 Symbiose- und Konkurrenzmodelle
5.2 Kompartimentmodelle
5.3 Periodisch schwankende Konkurrenzmodelle
6 Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit Konkurrenzterm
Definition.
Bemerkung.
6.1 Autonome Systeme und der Gleichgewichtssatz
Definition.
Definition.
7 Koexistenz und Konkurrenz mehrerer Arten Teil 1
Definition.
1. Modellansatz.
2. Modellansatz.
7.1 Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen
1. Das Euler-Verfahren
2. Das Trapez-Verfahren
3. Das Heun-Verfahren
7.2 Das Lotka-Volterra-Modell 1
Bemerkung.
Die Trajektorie
Durchschnittliche Population während einer Periode
7.3 Eingriffe von außen in das Lotka-Volterra-Modell 1
Das Vektorfeld des Lotka-Volterra-Modells 1
Die Linearisierung des Lotka-Volterra-Modells 1
Eine Funktion V(y1,y2) (später Lyapunov-Funktion) für das Lotka-Volterra-Modell 1
7.4 Das Lotka-Volterra-Modell 2 (= Modell mit beschränktem Beutewachstum)
Das Vektorfeld des Lotka-Volterra-Modells 2
Die Linearisierung des Lotka-Volterra-Modells 2
Eine Funktion V(y1,y2) für das Lotka-Volterra-Modell 2
8 Stabilitätssätze
8.1 Stabilität bei nichtlinearen autonomen DGLen
Definition.
Folgerung.
Bemerkung.
8.2 Die Lösung einer homogenen linearen DGL über die Eigenwerte
Fall a)
Fall b)
Fall c)
Zusammenfassung
8.3 Stabilität einer linearen homogenen DGL für n=2
Bemerkung.
8.4 Die direkte Lösung einer linearen homogenen DGL
8.5 Stabilität von nichtlinearen und linearisierten DGLen
Vorbereitung 1: Die formale Lösung der inhomogenen DGL
Vorbereitung 2: Die Abschätzung von Gronwall
8.6 Stabilität mittels Lyapunov-Funktionen
Definition.
Bemerkungen.
Bemerkung.
9 Koexistenz und Konkurrenz mehrerer Arten Teil 2
9.1 Das Lotka-Volterra-Modell 3 (= Modell der Konkurrenz zweier Arten um dieselbe Ressource mit festen Einzelkapazitäten)
Das Vektorfeld des Lotka-Volterra-Modells 3
Die Linearisierung des Lotka-Volterra-Modells 3
Eine Lyapunov-Funktion für das Lotka-Volterra-Modell 3
9.2 Das Lotka-Volterra-Modell 4 (= Modell der Konkurrenz zweier Arten um dieselbe Ressource mit variablen Einzelkapazitäten)
Das Vektorfeld des Lotka-Volterra-Modells 4
Die Linearisierung des Lotka-Volterra-Modells 4
9.3 Das Lotka-Volterra-Modell 5 (= Konkurrenz zweier Arten um eine feste Ressourcemenge)
Der Chemostat
1. Das Vektorfeld des Chemostatmodells
2. Eine Lyapunov-Funktion für das Chemostatmodell
Erweiterung des Systems auf zwei Planktonarten
10 Differenzial- und Differenzengleichungen
10.1 Differenzial- und Differenzengleichungen im Vergleich Teil 1
Lineare DGL und DFGL
Nichtlineare DGL und DFGL
10.2 Verzweigungen
Definition.
Bemerkung.
A) Sattel-Knoten-Verzweigung
B) Falten-Verzweigung
C) Heugabel-Verzweigung
D) Hopf-Verzweigung
10.3 Gestörte Verzweigungen
10.4 Der Banach’sche Fixpunktsatz
Bemerkung.
Folgerung.
Bemerkung.
10.5 Differenzial- und Differenzengleichungen im Vergleich Teil 2
11 Koexistenz und Konkurrenz mehrerer Arten Teil 3
Modell A).
Modell B).
Modell C).
Bemerkung.
11.1 Das Lotka-Volterra-Modell 6 (= Modell mit beschränktem Beutewachstum und beschränkter Fressmenge der Räuber)
Das eigentliche zweidimensionale Modell
Das Vektorfeld des Lotka-Volterra-Modells 6
Eine Lyapunov-Funktion für das Lotka-Volterra-Modell 6
Die Linearisierung des Lotka-Volterra-Modells 6
11.2 Das Lotka-Volterra-Modell 7 (= Modell mit beschränktem Beutewachstum, beschränkter Fressmenge und intraspezifischer Konkurrenz der Räuber)
11.3 Nahrungskettemodelle
Modell 1
Eine Lyapunov-Funktion
Modell 2
12 Zeitverzögerte Differenzialgleichungen
12.1 Lineare zeitverzögerte Differenzialgleichungen
12.2 Nichtlineare zeitverzögerte Differenzialgleichungen
Einführungsbeispiel.
12.3 Linearisierte verzögerte Differenzialgleichungen
1. Modell: y˙(t)=ky(t)[G-y(t-T)] mit k,G>0 (Verzögertes logistisches Wachstum)
2. Modell: y˙(t)=ky(t)[G-ay(t)-by(t-T)] mit a,b,k,G>0
Eine Lyapunov-Funktion
3. Modell: y˙(t)=-ay(t-T)+ky(t)[G-y(t)] mit a,k,G>0
4. Modell: y˙(t)=ky(t)[G-ay(t)-by˙(t-T)] mit a,b,k,G>0
13 Epidemiemodelle
Vorüberlegungen
13.1 Epidemisches Modell SI
13.2 Epidemisches Modell SIS
Die Basisreproduktionszahl
13.3 Epidemisches Modell SIR
Die SI-Trajektorie
Eine Lyapunov-Funktion
13.4 Endemisches Modell SIR nach Soper 1
13.5 Endemisches Modell SIR nach Soper 2
Die SI-Trajektorie
Eine Lyapunov-Funktion
13.6 Endemisches Modell SIR mit gleicher Zu- und Abwanderungs-Rate ohne krankheitsbedingtem Tod
Bemerkung.
13.7 Endemisches Modell SIR mit gleicher Zu- und Abwanderungs-Rate und krankheitsbedingtem Tod
13.8 Endemisches Modell SIR mit gleicher Zu- und Abwanderungs-Rate ohne krankheitsbedingten Tod mit Impfung
14 Spezielle Probleme mit Differenzialgleichungen 1. Ordnung
14.1 Verfolgungs- und Fluchtkurven
Bemerkung.
14.2 Die Brachistochrone
Übungen
Weiterführende Literatur
Stichwortverzeichnis
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