Brückenkurs Mathematik · 3.Auflage by Gehrke, Jan Peter -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Titel Impressum Widmung Inhaltsverzeichnis Vorworte

Vorwort zur ersten Auflage

Über Brückenkurse Einsatzmöglichkeiten und Aufbau dieses Buches Errata Dank

Vorwort zur zweiten Auflage

Neuerungen Dank

Vorwort zur dritten Auflage

Neuerungen

I Einführung

I.1 Ein paar Beispiele I.2 Interpretation von Schaubildern I.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten I.4 Der Begriff der Funktion I.5 Einteilung des Zahlenstrahls – Intervalle

II Lineare Funktionen

II.1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem

Streckenlänge

II.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem II.3 Die Hauptform der Geradengleichung

Die Achsenschnittpunkte einer Geraden

II.4 Die gegenseitige Lage von Geraden II.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden

II.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen II.5.2 Zueinander orthogonale Geraden II.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden

III Quadratische Funktionen

III.1 Die Binomischen Formeln

III.1.1 Die 1. Binomische Formel III.1.2 Die 2. Binomische Formel III.1.3 Die 3. Binomische Formel III.1.4 Der Weg zurück – Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang

III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen

III.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF) III.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück – There and back again III.2.3 Scheitelermittlung durch „Absenken“

III.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel III.4 Der Umgang mit Parabelscharen – Grundlagen Parameterfunktionen III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen

IV Grundlagen Potenzfunktionen

IV.1 Potenzfunktionen – Definition und ein paar Eigenschaften

IV.1.1 Parabeln n-ter Ordnung IV.1.2 Hyperbeln n-ter Ordnung

IV.2 Die Potenzgesetze

IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind IV.2.2 Das „nullte“ Potenzgesetz und noch eine Definition IV.2.3 Das erste Potenzgesetz IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz IV.2.8 Rationale Hochzahlen IV.2.9 Rechnen ohne Klammern – Vorfahrtsregeln beim Rechnen

IV.3 Rechnen mit Wurzeln – Einfache Wurzelgleichungen IV.4 Die Logarithmengesetze

Was ist der Logarithmus ... ... und wie zum Teufel rechnen ich mit ihm?!?

V Ganzrationale Funktionen – Eine Einführung

V.1 Definition und Grenzverhalten

Wie erhalten wir ganzrationale Funktionen? Kleiner Exkurs: Fortgeschrittenes Vokabular im Umgang mit Polynomfunktionen Das Verhalten für große x

V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen V.3 Noch mehr Symmetrie – Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten V.4 Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert V.4.2 Das Horner-Schema V.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen

V.5 Das Baukastenprinzip – Zusammengesetzte Funktionen

V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen

V.6 Den Überblick behalten – Gebietseinteilungen vornehmen V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen

V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den zugehörigen Rechenregeln V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IV V.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen – Jetzt wird’s kritisch! V.7.4 Betragsgleichungen

VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen

VI.1 Grundlagen

VI.1.1 Ein paar Spielregeln zu Beginn VI.1.2 Darstellungsformen von Folgen VI.1.3 Die Definition der Monotonie VI.1.4 Der Nachweis der Monotonie VI.1.5 Beschränktheit

VI.2 Der Grenzwert einer Folge

VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe

VI.3 Die Grenzwertsätze

VI.3.1 Die 3 Grenzwertsätze VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen

VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen

VI.4.1 Arithmetische Folgen I – Ein paar Grundlagen VI.4.2 Geometrische Folgen I – Ein paar Grundlagen

VI.5 Die vollständige Induktion – Ein mächtiges Beweisverfahren

VI.5.1 Arithmetische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder VI.5.2 Geometrische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen

VI.6 Ein Test alles Gelernten – Die Fibonacci-Zahlenfolge

VI.6.1 Einführung und historischer Abriss VI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge – Grundlagen VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe VI.6.4 Der Goldene Schnitt VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel

VII Einführung in die Differentialrechnung

VII.1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung

VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten

VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln

VII.3.1 Die Summenregel VII.3.2 Die Faktorregel VII.3.3 Die Produktregel VII.3.4 Die Quotientenregel VII.3.5 Die Kettenregel

VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen

VII.4.1 Extrempunkte VII.4.2 Wendepunkte VII.4.3 Neu und alt – Ableitung trifft Parameter

VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle

VII.5.1 Stetigkeit – Ohne Sprung ans Ziel VII.5.2 Differenzierbarkeit – Knickfrei durch’s Leben VII.5.3 Monotonie – Wo geht’s denn hin? VII.5.4 Die Wertetabelle – Eine oft ignorierte Zeichenhilfe

VII.6 Die Kurvendiskussion – Gesamtübersicht mit Beispiel

VIII Über das Lösen linearer Gleichungssysteme

VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen

VIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren VIII.1.3 Das Additionsverfahren VIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS

VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten

VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren VIII.2.2 Gibt es Lösungen – und wenn ja wie viele?

VIII.3 LGS und Funktionen – Bestimmung ganzrationaler Funktionen

IX Mit Brüchen muss man umgehen können - GebrochenrationaleFunktionen

IX.1 Grundlagen – Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen IX.3 Ein paar Besonderheiten – Definitionslücken und Asymptoten IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen

X Trigonometrische Funktionen

X.1 Grundlagen und Ableitungsregeln

X.1.1 Definition und Beispiele X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion X.1.3 Das Bogenmaß X.1.4 Andere Winkel X.1.5 Der Sinussatz X.1.6 Der Kosinussatz X.1.7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen – Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung

X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus)

XI Wachsen ist schön – Exponentialfunktionen

XI.1 Grundlagen XI.2 Ableiten von Exponentialfunktionen XI.3 Wachstum

XI.3.1 Lineares Wachstum XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum XI.3.3 Beschränktes Wachstum XI.3.4 Logistisches Wachstum

XI.4 Die Grenzen erfahren – Grenzwertuntersuchung mit L’Hospital

XII Die Ableitung der Umkehrfunktion

XII.1 Was ist eine Umkehrfunktion? – Grundlagen und Begriffe XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen

XII.2.1 Implizites Differenzieren XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel

XIII Integralrechnung

XIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel – Ober- und Untersumme

XIII.1.1 Ober- und Untersumme

XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam? XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen

XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution XIII.3.2 Etwas Interessantes – Die Produktintegration XIII.3.3 Ein praktischer Satz – Über das Aufleiten von Brüchen

XIII.4 Flächenberechnung – Worauf man achten sollte XIII.5 Einmal rundherum – Berechnung von Rotationsvolumen

XIV Beweise mit Vektoren führen

XIV.1 Der Vektor in der analytischen Geometrie XIV.2 Linear abhängig und unabhängig XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs

XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck

XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt

XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales

XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung

XV Rechnen im Raum – Analytische Geometrie

XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt XV.2 Eine Runde Teamwork – Das Spatprodukt XV.3 Geraden und Vektoren XV.4 Ebenen

XV.4.1 Die Koordinatenform XV.4.2 Die Normalenform XV.4.3 Umwandeln von Ebenen

XV.5 Lagebeziehungen

XV.5.1 Gegenseitige Lagen von Geraden XV.5.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen XV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade

XV.6 Abstände

XV.6.1 Der Abstand zweier Punkte XV.6.2 Die Hessesche Normalenform – Abstandsbestimmungen bei Ebenen XV.6.3 Abstände, die uns noch fehlen

XV.7 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel XV.8 Ein kugelrunder Abschluss

XVI Wenn’s nicht direkt geht – Ein wenig Numerik

XVI.1 Für Nullstellen – Das Newton-Verfahren

XVI.1.1 Wann Newton nicht funktioniert XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel

XVI.2 Für Flächen – Die Keplersche Fassregel

XVI.2.1 Sehnentrapeze XVI.2.2 Tangententrapeze XVI.3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an – Die Simpson-Regel

A Die Strahlensätze

A.1 Einführende Betrachtungen A.2 Der 1. Strahlensatz A.3 Der 2. Strahlensatz A.4 „Kurzversion“ des 1. Strahlensatzes

B Ungleich geht die Welt zu Grunde – Ein paar Infos über Ungleichungen

B.1 Ganz elementare Regeln B.2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei

C Das Pascalsche Dreieck

C.1 Worum es geht C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks C.3 Warum das Schema funktioniert

Weiterführende Literatur Stichwortverzeichnis

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