[Für Dummies 01] • Mathematik für Ingenieure I für Dummies by Fried, J. Michael -- Read -- Imperial Library of Trantor

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Mathematik für Ingenieure I für Dummies – Schummelseite Titel Impressum Inhaltsverzeichnis Über den Autor Danksagung Einleitung

Zu diesem Buch Konventionen in diesem Buch Törichte Annahmen über den Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Grundlegende lineare Algebra Teil II: Viel mehr lineare Algebra Teil III: Eindimensionale Analysis Teil IV: Der Top-Ten-Teil

Symbole in diesem Buch Wie es weitergeht

Teil I - Grundlegende lineare Algebra

1 - Die Grundlagen der Mathematik: Logik, Mengen und Zahlen

Aussagenlogik – die Sprache der Mathematik verstehen

Wörter erfinden: die Definition Wörter verbinden: die Aussage Rasiermesserscharfe Logik – eine Basis für alle Mathematik Logisch schreiben: Symbole, Symbole

Mengen und Relationen

Eine Menge Mengen Verbundmengen

Zahlen, Zahlen, noch mehr Zahlen

Mit Hilfe der Logik zählen lernen Die Sache mit den Schulden – Negative Zahlen Die ganzen Zahlen zerbrechen – Rationale Zahlen Da fehlt doch was – Reelle Zahlen

Komplex muss nicht kompliziert sein – komplexe Zahlen

Eine Wurzel aus – 1: Die komplexen Zahlen entstehen Rechnen mit komplexen Zahlen Polarkoordinaten Komplexes Potenzieren und Wurzelziehen

2 - Von Vektoren und Matrizen

Vektorräume

Mehr als Pfeile Weitere Vektorräume entdecken Vektorrechnung mit octave Sind sie abhängig? Eine Basis eröffnet die Dimensionen Skalarprodukte und Normen: Längenmessung!

Lineare Abbildungen

Ganz einfach linear! Eine formale Definition der linearen Abbildung Dies also ist der Abbildung Kern Lineare Abbildungen und Spaltenvektoren

Mehrspaltiges: Matrizen

Zeilen zuerst, Spalten später Matrizenräume sind Vektorräume Matrixalgebra – mancherlei Matrizen multiplizieren Matrizen sind – lineare Abbildungen!

3 - Lineare Gleichungssysteme

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Für Schreibfaule – kurz und knapp mit Matrizen Ja, geht das denn? Die Kerne kehren zurück Matrizenadel: Von Zeilen- und Spaltenrang Ja, das geht! Der Rang macht’s möglich: Lösbarkeit

Determinanten bestimmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Bäumchen wechsle dich oder Permutationen Igitt! Determinanten Nicht gar so eklig: Rekursiv geht’s gut! Rechnen mit Determinanten und nochmal: Lösbarkeit von Gleichungssystemen Inverse Matrix – Kehrwerte bei Matrizen

Gauß-Algorithmus: Im Halbschlaf Gleichungssysteme lösen

Gestaffelt ist’s einfach – Rückwärtslösen Endlich konkret: das Eliminationsverfahren Abhängige Spalten, was nun? Aufwand für Gauß und Cramer Nicht nur einzelne Gleichungssysteme: Berechnung der Inversen

Teil II - Viel mehr lineare Algebra

4 - Eigenwerte und Eigenvektoren

Das Eigenwertproblem – kein Minderwertigkeitskomplex

Ganz charakteristisch, die Gleichung Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms Ganz allein meine! Berechnung der Eigenvektoren Einige Eigenschaften von Eigenwerten

Ein Platz für die Eigenvektoren: der Eigenraum

Eigenwerte von Dreiecks- und Diagonalmatrizen

Ähnliche Matrizen

Diagonalähnliche Matrizen

Symmetrische und hermitesche Matrizen

Symmetrische Matrizen Orthonormierte Eigenvektoren Orthogonalmatrizen Symmetrische und orthogonale Matrizen

5 - Quadratische Formen und Ausgleichsrechnung

Ellipsengleichungen und quadratische Formen

Basiswechsel Hauptachsentransformation

Der Physik auf der Spur: Lineare Ausgleichsrechnung

Orthogonalität Orthogonalprojektion Ausgleichsrechnung praktisch

6 - Ein wenig Dreidimensionales

Nicht nur für Piloten: Orientierung in 3D

Oben und unten – Ebenen unterteilen den Raum

Das Vektorprodukt

Teil III - Eindimensionale Analyse

7 - Folgen und Grenzwerte

Räume mit Abstand

Topologie: die Frage nach den nachbarschaftlichen Beziehungen Rand- und innere Punkte Häufungspunkte

Folgen Grenzwerte von Folgen

Cauchy-Folgen Auf dem Weg zur Analysis: Reelle Zahlenfolgen Mit den Folgen rechnen

8 - Stetigkeit

Grenzwerte reellwertiger Funktionen

Rechenregeln für Grenzwerte einer Funktion

Springen oder nicht springen: Stetigkeit

Ohne abzusetzen oder ε – δ: Stetigkeitsdefinitionen Rechenregeln für stetige Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen

9 - Differentialrechnung

Die Ableitung

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten Und geometrisch ist das auch! Vorsicht: Nicht knicken! Differenzieren und Stetigkeit

Die Ableitung regeln

Ableitungsketten – verschachtelte Funktionen Haufenweise Beispiele zur Kettenregel Ableitung von Umkehrfunktionen

Wiederholtes Differenzieren: Höhere Ableitungen

Play it again, Sam! Ableitungen ableiten

Ganz oben und ganz unten – Maxima und Minima

Globale und lokale Extremstellen Bestimmung von Extremstellen

Der Mittelwertsatz – gerade mit krumm vergleichen

Ein Extremum muss sein: der Satz von Rolle Schief geht es auch: der Mittelwertsatz Grenzwerte ableiten und die Regeln von de l’Hospital

10 - Bestimmte, unbestimmte und uneigentliche Integrale

Ein bestimmtes Integral

Krummlinige Flächen berechnen Einfache Rechenregeln für bestimmte Integrale Und jetzt umgekehrt: Stammfunktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das unbestimmte Integral

Alle meine Stammfunktionen Nicht auf Sand gebaut: Grundintegrale

Was ist eigentlich ein uneigentliches Integral?

Die Sache mit den Randpunkten Und wieder einmal: Grenzwerte Vergleichskriterien

Parameterintegrale

Eigenschaften eigentlicher Parameterintegrale Variable Integrationsgrenzen Uneigentliche Parameterintegrale

11 - Differenzieren ist Handwerk – Integrieren eine Kunst!

Scheibchenweise integrieren: Partielle Integration

Hier hilft die Produktregel Unbestimmt: Partielle Integration zur Bestimmung von Stammfunktionen Und bestimmt! Partielle Integration bei bestimmten Integralen

Die Schwierigkeiten verstecken: Substitution

Hin- und hersubstituieren Und noch eine Variante der Substitution

Partialbruchzerlegung – Integrale rationaler Funktionen

Zerlegung in einfache Brüche Zwei Sorten Partialbrüche bleiben übrig Partialbruchzerlegung bei unbestimmter Integration

12 - Reihen

Immer längere Summen: Unendliche Reihen

Bausteine stapeln oder Schildkrötenrennen Alternierende Reihen: Schritt vor, Schritt zurück Absolute Konvergenz? Unbedingt! Wann konvergiert’s? – Cauchy, Leibniz und Co

Potenzreihen

Potenzreihen oder unendlich lange Polynome Wo konvergiert’s denn? Was ist das denn? Eine Funktion! Differentiation und Integration von Potenzreihen – Stück für Stück

Taylorreihen

Funktionen ertasten: Approximation durch Polynome Den Spieß umdrehen – Funktionen als Reihe Des Schneiders Trickkiste: Taylorentwicklung für Dummies

Teil IV - Der Top-Ten-Teil

13 - Zehn Dos and Don’ts der linearen Algebra

Don’t: Den Imaginärteil mit dem imaginären Anteil verwechseln Do: Bruchrechnen in Normalform und für Potenzen und Wurzeln die Polardarstellung verwenden Don’t: Beim komplexen Wurzelziehen zu viele oder zu wenige Wurzeln erhalten Don’t: Lineare Gleichungssysteme wie in der Schule lösen Do: Das Gauß-Verfahren verwenden Don’t: Zu viele Schritte auf einmal machen Do: Die einzelnen Schritte dazuschreiben Don’t: Lösungen vergessen Do: Die Gleichungen und Unbekannten geschickt sortieren Don’t: Den Nullvektor zum Eigenvektor erklären

14 - Zehn wichtige Punkte in der Analysis

Besorgen Sie sich eine Formelsammlung! Folgen sind keine richtigen Mengen! Verwenden Sie die Grenzwertrechenregeln nie ungeprüft! Kein Bild sagt mehr als tausend Worte! Das Ableiten können Sie einfach lernen! Integrieren müssen Sie immer wieder üben! Potenzreihen sind Reihen! Vergessen Sie die Randpunkte des Konvergenzintervalls nicht! Schreiben Sie Ihre Rechnungen sauber auf!

15 - Wie man einen Mathekurs erfolgreich überlebt

Mathematik und Psychologie

Warum Mathematiker eine seltsame Sprache sprechen

Nicht locker lassen!

Was tun, wenn Sie mal gefehlt haben? Der Unterschied zwischen einer Mathematikvorlesung und einer Theatervorstellung

Glauben Sie nichts! Üben Sie! Üben Sie!

Die richtige Wahl einer Übungsgruppe Üben Sie nicht allein!

Stichwortverzeichnis

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