Gravitation und Relativität · Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie · 3.Auflage by Göbel, Holger -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Title Page Copyright Contents Vorwort Liste der verwendeten Symbole 1 Newton’sche Mechanik

1.1 Die Grundgleichungen der Newton’schen Mechanik

1.1.1 Gravitationspotential und Kraft 1.1.2 Bewegungsgleichung nach Newton 1.1.3 Gravitationspotential in der Nähe der Erdoberfläche 1.1.4 Die Feldgleichung nach Newton

1.2 Gravitationspotential und Poisson-Gleichung 1.3 Der fallende Apfel und das Prinzip der kleinsten Wirkung

1.3.1 Variation der Bahnkurve 1.3.2 Lagrange-Funktion und Wirkung

1.4 Ist die Newton’sche Mechanik falsch?

2 Spezielle Relativitätstheorie

2.1 Geschichte der speziellen Relativitätstheorie 2.2 Postulate der speziellen Relativitätstheorie 2.3 Galilei-Transformation 2.4 Raumkontraktion und Zeitdilatation

2.4.1 Zeitdilatation 2.4.2 Raumkontraktion

2.5 Lorentz-Transformation 2.6 Invarianzelement im relativistischen Fall 2.7 Eigenzeit 2.8 Vierervektoren 2.9 Raumzeit-Diagramme

2.9.1 Definition des Raumzeit-Diagramms 2.9.2 Raumartig, zeitartig, lichtartig 2.9.3 Lichtkegel 2.9.4 Gleichzeitigkeit 2.9.5 Raumkontraktion 2.9.6 Zeitdilatation 2.9.7 Uhrenparadoxon 2.9.8 Eigenzeit im Raumzeit-Diagramm 2.9.9 Das Zwillingsparadoxon

2.10 Eigenzeitdiagramme

2.10.1 Zeitkegel 2.10.2 Eigenzeitkreis

3 Gravitation und die Krümmung des Raumes

3.1 Geschichte der allgemeinen Relativitätstheorie 3.2 Postulate der allgemeinen Relativitätstheorie 3.3 Der gekrümmte Raum

3.3.1 Gravitation und Beschleunigung 3.3.2 Gravitation und Krümmung des Raumes 3.3.3 Die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie

3.4 Wie lässt sich Krümmung messen?

3.4.1 Messung der Krümmung im zweidimensionalen Raum 3.4.2 Krümmung in höherdimensionalen Räumen

3.5 Krümmung unterschiedlicher Geometrien

4 Vektoren und Koordinatensysteme

4.1 Definitionen

4.1.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Basen 4.1.2 Summationskonvention

4.2 Abstand und Metrik 4.3 Kovariante und kontravariante Basis

4.3.1 Definition 4.3.2 Bestimmung der kontravarianten Basis 4.3.3 Rechnen mit ko- und kontravarianten Vektoren

4.4 Rechnen mit indizierten Größen

4.4.1 Austausch von Indizes 4.4.2 Herauf- und Herunterschieben von Indizes 4.4.3 Kontraktion indizierter Größen 4.4.4 Projektion von Vektoren 4.4.5 Symmetrie indizierter Gleichungen

4.5 Indizierte Größen in der Physik

4.5.1 Polarisation isotroper Materialien 4.5.2 Polarisation anisotroper Materialien 4.5.3 Tensoren

5 Metrik und die Vermessung des Raumes

5.1 Metrik und Abstand

5.1.1 Differentielle Länge 5.1.2 Metrik in kartesischen Koordinaten 5.1.3 Metrik in Polarkoordinaten

5.2 Metrik und Krümmung 5.3 Metriken im Raum

5.3.1 Kartesische Koordinaten im dreidimensionalen Raum 5.3.2 Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum 5.3.3 Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum

5.4 Metriken in der Raumzeit

5.4.1 Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten 5.4.2 Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten

5.5 Eigenschaften der Metrik 5.6 Metriken von Räumen mit konstanter Krümmung

5.6.1 Metriken von Flächen mit konstanter Krümmung 5.6.2 Allgemeine Darstellung einer zweidimensionalen Metrik mit konstanter Krümmung

6 Vektoren in gekrümmten Koordinaten

6.1 Partielle Ableitung

6.1.1 Ableitung in geraden Koordinaten 6.1.2 Ableitung in gekrümmten Koordinaten

6.2 Basisvektoren und Christoffelsymbole

6.2.1 Definition der Christoffelsymbole 6.2.2 Bestimmung der Christoffelsymbole aus der Metrik

6.3 Kovariante Ableitung

6.3.1 Definition der kovarianten Ableitung 6.3.2 Sonderfälle der kovarianten Ableitung

6.4 Paralleltransport

7 Messung der Krümmung

7.1 Krümmung im zweidimensionalen Raum 7.2 Riemann-Krümmung

7.2.1 Krümmung in höherdimensionalen Räumen 7.2.2 Berechnung der Riemann-Krümmung 7.2.3 Symmetrieeigenschaften der Riemann-Krümmung 7.2.4 Kontraktion der Riemann-Krümmung

7.3 Die Bianchi-Identität

8 Die Einstein’sche Feldgleichung

8.1 Ansatz zur Bestimmung der Feldgleichung 8.2 Die Energie-Impuls-Matrix

8.2.1 Energie-Impuls-Matrix für bewegte Materie 8.2.2 Energie- und Impulserhaltung 8.2.3 Energie-Impuls-Matrix für ruhende Materie 8.2.4 Energie-Impuls-Matrix für den materiefreien Raum 8.2.5 Energie-Impuls-Matrix für eine Flüssigkeit 8.2.6 Eigenschaften der Energie-Impuls-Matrix

8.3 Herleitung der Einstein’schen Feldgleichung

8.3.1 Einstein-Krümmung 8.3.2 Masse und die Krümmung des Raumes 8.3.3 Die kosmologische Konstante

8.4 Vorgehensweise bei der Lösung der Feldgleichung

9 Schwarzschild-Metrik oder wie Masse den Raum krümmt

9.1 Definition der Schwarzschild-Metrik 9.2 Berechnung der Schwarzschild-Metrik

9.2.1 Ansatz zur Bestimmung der Schwarzschild-Metrik 9.2.2 Gravitation und Zeitdilatation 9.2.3 Gravitation und Raumkontraktion 9.2.4 Der Schwarzschildradius 9.2.5 Die Schwarzschild-Metrik

9.3 Schwarze Löcher 9.4 Die Bestimmung des Faktors κ

10 Bewegungsgleichung nach Einstein

10.1 Bewegung von Teilchen im Raum 10.2 Geodätische Gleichung

10.2.1 Lösung der geodätischen Gleichung im Raum

10.3 Bewegung von Teilchen in der Raumzeit

10.3.1 Die geodätische Gleichung in der Raumzeit 10.3.2 Das Prinzip der kleinsten Wirkung 10.3.3 Der Newton’sche Grenzfall

10.4 Vorgehensweise bei der Lösung der Bewegungsgleichung 10.5 Warum der Apfel vom Baum fällt

10.5.1 Lichtstrahlen und das Fermat’sche Prinzip 10.5.2 Teilchen und die Wellenfunktion 10.5.3 Wellenfunktion und Wirkung

11 Die Krümmung der Raumzeit

11.1 Darstellung der Raumzeit-Krümmung 11.2 Die Methode der Einbettung

11.2.1 Die Einbettung zweidimensionaler Metriken in den Raum 11.2.2 Einbettung der Schwarzschild-Metrik

11.3 Die Methode der geodätisch äquivalenten Abbildung

11.3.1 Definition der geodätisch äquivalenten Abbildung 11.3.2 Bestimmung der Metrikkoeffizienten 11.3.3 Grafische Darstellung der geodätisch äquivalenten Metrik

11.4 Der Fall der Apfels in der gekrümmten Raumzeit

12 Lichtablenkung in der gekrümmten Raumzeit

12.1 Ausbreitung von Licht im Gravitationsfeld 12.2 Aufstellen der Bewegungsgleichung

12.2.1 Bestimmung der Christoffelsymbole 12.2.2 Auswertung der geodätischen Gleichung 12.2.3 Das Wegelement der Raumzeit für Licht

12.3 Lösung der Bewegungsgleichung

12.3.1 Lösung für den nichtrelativistischen Fall 12.3.2 Lösung für den relativistischen Fall

13 Bewegung von Körpern in der gekrümmten Raumzeit

13.1 Periheldrehung im Gravitationsfeld 13.2 Aufstellen der Bewegungsgleichung 13.3 Die Gleichung der Bahnkurve

13.3.1 Ableitung der Bahnkurve 13.3.2 Lösung für den Newton’schen Fall 13.3.3 Lösung für den relativistischen Fall

13.4 Die Energiebilanzgleichung

14 Robertson-Walker-Metrik und das gekrümmte Universum

14.1 Definition der Robertson-Walker-Metrik 14.2 Ansatz zur Bestimmung der Metrik 14.3 Auswertung der Feldgleichung 14.4 Der Skalenfaktor und die Friedmann-Gleichungen

15 Kosmologie

15.1 Das expandierende Universum

15.1.1 Der Hubble-Parameter 15.1.2 Der Skalenfaktor der Expansion

15.2 Friedmann-Gleichung für unser Universum

15.2.1 Die allgemeine Friedmann-Gleichung 15.2.2 Die vereinfachte Friedmann-Gleichung 15.2.3 Berechnung der zeitlichen Entwicklung unseres Universums

15.3 Lösung der Friedmann-Gleichung 15.4 Grafische Darstellung der Expansion

15.4.1 Licht und Galaxien im Raumzeit-Diagramm 15.4.2 Das Universum mit konstantem Hubble-Parameter 15.4.3 Das Universum mit zeitabhängigem Hubble-Parameter

15.5 Emissionsentfernung und physikalische Entfernung

16 Gravitationswellen

16.1 Die Wellengleichung

16.1.1 Die Metrik bei schwachem Gravitationsfeld 16.1.2 Die Linearisierung der Einstein’schen Feldgleichung

16.2 Eigenschaften von Gravitationswellen

16.2.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit 16.2.2 Polarisation

16.3 Die Erzeugung von Gravitationswellen

16.3.1 Die Quadrupolgleichung 16.3.2 Doppelsternsysteme

16.4 Detektion von Gravitationswellen

A Anhang

A. 1 Drehmatrix A. 2 Prinzip der kleinsten Wirkung A. 3 Der kanonische Impuls A. 4 Glossar

Literaturverzeichnis Index

Notes

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