[Für Dummies 01] • Grundlagen der Differenzialgleichungen für Dummies by Timm, Sigg -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Cover Schummelseite Titelei Inhaltsverzeichnis Einleitung

Über dieses Buch Konventionen in diesem Buch Was Sie nicht lesen müssen Törichte Annahmen über die Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten Teil II: Was, bitteschön, sind Differenzialgleichungen? Teil III: Differenzialgleichungen – rechnerisch gelöst Teil IV: Die große weite Welt der Differenzialgleichungen Teil V: Der Top-Ten-Teil

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden Wie es weitergeht

Teil I Was Sie alles brauchen – die Zutaten

Kapitel 1 Elementare Funktionen – Elementares über Funktionen

Was ist überhaupt eine Funktion? Polynome – anständige Funktionen

So sehen sie aus Der Definitionsbereich: Nullstellen von Polynomen – das Mitternachtskapitel Das Ausklammern – die Faktorzerlegung Verhalten von Polynomen für x gegen Unendlich

Gebrochen rationale Funktionen – komplizierte Zeitgenossen

Alles, was erlaubt ist, der Definitionsbereich Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner Wenn der Zähler Null wird, aber nicht der Nenner Wenn der Nenner Null wird, aber nicht der Zähler Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig Null werden

Exponential- und Logarithmusfunktionen – wie Feuer und Wasser

Die allgemeine Exponentialfunktion Der Logarithmus Die e-Funktion Definitions- und Wertebereich der e-Funktion Rechenbeispiele

Trigonometrische Funktionen – ein ewiges Auf und Ab

Grundlegendes über die Hauptdarsteller Sinus und Kosinus Spezielle Funktionswerte Die wichtigste Sinus-Kosinus-Formel der Welt

Betragsfunktionen – sie sehen in allem nur das Positive Kreise und Ellipsen – jetzt geht’s rund

Kreise – runder geht’s nicht Ellipsen – naja, bessere Eier halt

Kapitel 2 Strecken, spiegeln, schieben und schunkeln mit Funktionen

Spieglein, Spieglein

Symmetrien

Rauf und runter Rechts und links Strecken und stauchen in y-Richtung Strecken und Stauchen in x-Richtung Alles zusammen Funktionenschar – die Blumensträuße unter den Funktionen

Beispiele

Kapitel 3 Differenzieren – die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch

Was ist denn eine Ableitung?

Schreibweisen der ersten Ableitung Schreibweise der höheren Ableitungen

Ableitungen der elementaren Funktionen Ableitungsregeln

Summen- und Faktorregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel

Alles zusammen

Noch ein letztes Beispiel

Geometrische Bedeutung von f ′ (x), f ′′ (x) und f ′′′ (x)

f(x) und f ′ (x) – mal Hochgebirge, mal Sandstrand f ′′ (x) – krumme Dinger

Ganz besondere Punkte

Hoch-, Tief- und Sattelpunkte Wendepunkte

Kapitel 4 Integrieren – genauso wichtig wie das Differenzieren

Unbestimmtes Integral

Schreibweise mit Schlangenzeichen

Bestimmtes Integral Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken

Integration durch Substitution Substitution am bestimmten Integral Substitution am unbestimmten Integral Partielle Integration Partielle Integration – die Vorgehensweise Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung Partialbruchzerlegung – die Vorgehensweise

Numerisches Integrieren – so macht’s der Computer

Einfachste Näherung: Trapezregel Zweiteinfachste Näherung: Keplersche Fassregel

Kapitel 5 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein!

Welche Zahlen gibt es? Was sind komplexe Zahlen? Die drei Darstellungen

Die kartesische Darstellung mit x und y Die Polardarstellung mit r, φ, Sinus und Kosinus Die exponentielle Darstellung mit r, φ und der e-Funktion

Umrechnung der Darstellungen

Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch Umrechnung von kartesisch in (exponentiell bzw. polar)

Rechnen mit komplexen Zahlen

Die konjugiert komplexe Zahl Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Das Multiplizieren komplexer Zahlen Das Dividieren komplexer Zahlen Das Potenzieren komplexer Zahlen mit reellen Potenzen Die n Lösungen der Gleichung zn = w Die 2 Lösungen der Mitternachtsformel

Kapitel 6 Nicht nur Angeber sagen Vektoren statt Pfeile

Was hat es mit diesen Pfeilen auf sich? Vektoren addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren

Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Der Betrag eines Vektors Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt

Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt

Kapitel 7 Matrizen und nicht Matratzen

Grundlegendes zu den Matrizen Besondere Matrizen Rechnen mit Matrizen

Addieren und Subtrahieren von Matrizen Multiplizieren von Matrizen Transponieren von Matrizen

Determinante

Berechnung einer (2 × 2)-Determinante Berechnung einer (3 × 3)-Determinante Sarrus-Regel Berechnung einer (n ×n)-Determinante

Inverse Matrix Lineare Gleichungssysteme

Kapitel 8 Eigenwertprobleme sind keine Probleme

Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? Berechnung der Eigenwerte Berechnung von Eigenvektoren

Berechnung reeller Eigenvektoren Berechnung komplexer Eigenvektoren

Teil II Was, bitteschön, sind Differenzialgleichungen?

Kapitel 9 Was sind Differenzialgleichungen?

Zusammenhang zwischen Ableitungen, Steigungen, Krümmungen, Zu- und Abnahmen, sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ort – Geschwindigkeit – Beschleunigung

Differenzialgleichungen – Anfangswertprobleme – Randwertprobleme Differenzialgleichungssysteme

Gekoppelte Differenzialgleichungen Lineare Systeme – Matrizen

Kapitel 10 Für jede Differenzialgleichung gibt es eine passende Schublade

Differenzialgleichungen klassifizieren

Gewöhnlich / partiell Linearität Homogenität Ordnung Beispiele

Differenzialgleichungssysteme klassifizieren

Kapitel 11 Verschiedene Lösungsmethoden

Ratender Zugang – nicht nur für Glücksspieler Grafischer Zugang – nicht nur für Grafikdesigner Numerischer Zugang – nicht nur für Numeriker Rechnerischer Zugang – nicht nur für Spitzenmathematiker

Kapitel 12 Grafischer Zugang zu Differenzialgleichungen erster Ordnung

Das Richtungsfeld zeigt, wo’s lang geht

Erstes Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen

Einmal rückwärts: Von der allgemeinen Lösung zur Differenzialgleichung

Zweites Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen Drittes Beispiel zum Zeichnen, Staunen, Vermuten und Überprüfen

Teil III Differenzialgleichungen – rechnerisch gelöst

Kapitel 13 Differenzialgleichungen erster Ordnung (homogen und inhomogen)

Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung

Variation der Konstanten Berechnung der allgemeinen Lösung der linearen Differenzialgleichung erster Ordnung y′(x) + g(x) ⋅y(x) = r(x)

Nichtlineare Differenzialgleichungen erster Ordnung

Lösen mittels TdV

Kapitel 14 Anfangswertprobleme in Handarbeit und mit Herrn Eulers Verfahren lösen

Anfangswertprobleme sind auch keine Probleme

Erstes Beispiel eines Anfangswertproblems Zweites Beispiel eines Anfangswertproblems

Das Eulerverfahren – unglaublich, schon wieder Herr Euler!

Anschauliche Beschreibung der Methode Die Methode in Formeln Beispiel für eine Anwendung des Eulerverfahrens

Wettkampf: Hand gegen Rechner

Die exakte Lösung von Hand Die Näherungslösung vom Rechner Der Vergleich

Kapitel 15 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Grundlegendes und Wissenswertes Stufe 1: Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Charakteristisches Polynom

Stufe 2: Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

Ansatz für yp(x) Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz

Beispiele – Beispiele – Beispiele

Erstes Beispiel Abschließendes Beispiel der übleren Sorte

Kapitel 16 Differenzialgleichungssysteme

Beispiel 1 für die sagenhafte Umwandlung Beispiel 2 für die sagenhafte Umwandlung Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten

Kapitel 17 Anfangswertprobleme von Differenzialgleichungssystemen von Hand, mit Herrn Euler und mit MATLAB gelöst

Anfangswertprobleme von Hand gelöst Anfangswertprobleme mit Herrn Eulers Verfahren gelöst

Anschauliche Beschreibung der Methode Die Methode in Formeln Beispiel für eine Anwendung des Eulerverfahrens

Anfangswertprobleme mit MATLAB gelöst.

Teil IV Die große weite Welt der Differenzialgleichungen

Kapitel 18 Anwendungen aus der Physik

Der radioaktive Zerfall

Herleitung der Differenzialgleichung

Das Federpendel

Lösen der homogenen Differenzialgleichung Lösen einer inhomogenen Differenzialgleichung

Der elektrische Schwingkreis

Herleitung einer inhomogenen Differenzialgleichung

Kapitel 19 Anwendungen aus Biologie, Chemie, Ökonomie und Alltag

Biologie: Räuber-Beute-Modell

Und so hilft MATLAB beim Lösen

Chemie: Reaktionen 2. Ordnung A + B →D + E

So kommt die Differenzialgleichung zustande Und so lösen Sie sie

Ökonomie: Das Wechselspiel zwischen Zinsen und Konjunktur

So kommt das Differenzialgleichungssystem zustande Und so lösen Sie es

Alltag: Verbreitung von Gerüchten

So kommt die Differenzialgleichung zustande Und so lösen Sie sie

Differenzialgleichungen selbst gemacht

Teil V Der Top-Ten-Teil

Kapitel 20 Zehn Dinge, die Sie über Differenzialgleichungen wissen MÜSSEN

Nahe Verwandte Die Erbanlage Tage der Vernunft Eulers Großeltern Ein besonderer Acker Typisch Mathematiker Persönlichkeitsstörung Exotische Vögel Aufgaben der Bäume Unerwartete Gemeinsamkeiten

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