Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, 5. Auflage by Burg, Klemens -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Cover Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, 5. Auflage ISBN 3834812943 Vorwort

Vorwort zur vierten Auflage Vorwort zur fünften Auflage

Inhaltsverzeichnis Teil I Funktionalanalysis

1 Grundlegende Räume

1.1 Metrische Räume

1.1.1 Definition und Beispiele 1.1.2 Topologische Hilfsmittel 1.1.3 Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit 1.1.4 Bestapproximation in metrischen Räumen 1.1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen

1.2 Normierte Räume. Banachräume

1.2.1 Lineare Räume 1.2.2 Normierte Räume. Banachräume

1.3 Skalarprodukträume. Hilberträume

1.3.1 Skalarprodukträume 1.3.2 Hilberträume 1.3.3 Ein Approximationsproblem 1.3.4 Der Zerlegungssatz 1.3.5 Orthonormalsysteme in Hilberträumen 1.3.6 Fourierentwicklung in Hilberträumen 1.3.7 Struktur von Hilberträumen

2 Lineare Operatoren in normierten Räumen

2.1 Beschränkte lineare Operatoren

2.1.1 Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm 2.1.2 Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren 2.1.3 Die Neumannsche Reihe. Anwendungen 2.1.4 Lineare Funktionale in normierten Räumen 2.1.5 Der Rieszsche Darstellungssatz 2.1.6 Adjungierte und symmetrische Operatoren

2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen

2.2.1 Vollstetige Operatoren 2.2.2 Ausgeartete Operatoren 2.2.3 Die Fredholmsche Alternative 2.2.4 Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen 2.2.5 Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen

2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren

2.3.1 Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren.Fourierentwicklung 2.3.2 Zusammenfassung 2.3.3 Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren 2.3.4 Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem 2.3.5 Das Spektrum eines symmetrischen Operators

3 Der Hilbertraum L2(Ω) und zugehörige Sobolevräume

3.1 Der Hilbertraum L2(Ω)

3.1.1 Motivierung 3.1.2 Definition von L2(Ω) 3.1.3 Einbettung von C∞0 (Ω) in L2(Ω) 3.1.4 Restriktion und norminvariante Erweiterung von L2-Funktionalen 3.1.5 Produkt von L2-Funktionalen mit stetigen Funktionen 3.1.6 Differentiation in L2(Ω)

3.2 Sobolevräume

3.2.1 Der Sobolevraum Hm(Ω) 3.2.2 Der Sobolevraum H◦m(Ω) 3.2.3 Ergänzungen

Teil II Partielle Differentialgleichungen

4 Einführung

4.1 Was ist eine partielle Differentialgleichung?

4.1.1 Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung 4.1.2 Beispiele 4.1.3 Herleitung von partiellen Differentialgleichungen

4.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung

4.2.1 Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 4.2.2 Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung

4.3 Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung

4.3.1 Klassifikation 4.3.2 Separationsansätze

4.4 Der Reynoldssche Transportsatz

5 Helmholtzsche Schwingungsgleichung undPotentialgleichung

5.1 Grundlagen

5.1.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis 5.1.2 Radialsymmetrische Lösungen 5.1.3 Die Darstellungsformel für Innengebiete 5.1.4 Mittelwertformel und Maximumprinzip 5.1.5 Flächen- und Volumenpotentiale

5.2 Ganzraumprobleme

5.2.1 Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung 5.2.2 Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung 5.2.3 Die Darstellungsformel für Außengebiete 5.2.4 Ganzraumprobleme

5.3 Randwertprobleme

5.3.1 Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen 5.3.2 Sprungrelationen 5.3.3 Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden

5.4 Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie

5.4.1 Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem 5.4.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators

5.5 Einführung in die Finite-Elemente-Methode

5.5.1 Die Fréchet-Ableitung 5.5.2 Variationsprobleme 5.5.3 Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme 5.5.4 Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM) 5.5.5 Diskretes Variationsproblem 5.5.6 Beispiele 5.5.7 Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode

6 Die Wärmeleitungsgleichung

6.1 Rand- und Anfangswertprobleme

6.1.1 Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung 6.1.2 Die Eindeutigkeitsfrage 6.1.3 Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie

6.2 Ein Anfangswertproblem

6.2.1 Aufgabenstellung 6.2.2 Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung 6.2.3 Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation

7 Die Wellengleichung

7.1 Die homogene Wellengleichung

7.1.1 Anfangswertprobleme im 7.1.2 Anfangswertprobleme im 7.1.3 Anfangswertprobleme im R2 (»Method of descent«) 7.1.4 Das Huygenssche Prinzip 7.1.5 Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen

7.2 Die inhomogeneWellengleichung im

7.2.1 Das Duhamelsche Prinzip 7.2.2 Die Kirchhoffsche Formel 7.2.3 Erzwungene Schwingungen

8 Die Maxwellschen Gleichungen

8.1 Die stationären Maxwellschen Gleichungen

8.1.1 Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung 8.1.2 Grundlösungen 8.1.3 Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen 8.1.4 Darstellungsformeln

8.2 Randwertprobleme

8.2.1 Problemstellungen 8.2.2 Außenraumprobleme 8.2.3 Innenraumprobleme

9 Die Euler-Gleichungen und hyperbolischeBilanzgleichungen

9.1 Kompressible und inkompressible Strömungen 9.2 Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen 9.3 Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall 9.4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 9.5 Schwache Lösungen 9.6 Die Euler-Gleichungen

10 Hilbertraummethoden

10.1 Einführung

10.1.1 Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung 10.1.2 Nachweis einer schwachen Lösung 10.1.3 Ein äquivalentes schwaches Problem

10.2 Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen

10.2.1 Das klassische Dirichletproblem 10.2.2 Das schwache Dirichletproblem 10.2.3 Ein äquivalentes schwaches Problem 10.2.4 Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren 10.2.5 Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren 10.2.6 Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems

10.3 Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen

10.3.1 Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung 10.3.2 Nachweis einer schwachen Lösung 10.3.3 Ausblick auf den allgemeinen Fall

10.4 Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem

10.4.1 Innenregularität 10.4.2 Randregularität

Anhang

A Anhang

A.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach A.2 Der Satz von Lax-Milgram

B Lösungen zu den Übungen Symbole Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T U V W Z

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