[Quantenmechanik 01] • Pfadintegralformulierung und Operatorformalismus · 2. Auflage by Reinhardt, Hugo -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Cover Titelseite Impressum Widmung Vorwort zur 2. Auflage Vorwort zur 1. Auflage Inhalt 1 Teilchen-Welle-Dualismus

1.1 Klassische Teilchen 1.2 Wasserwellen 1.3 Lichtwellen 1.4 Elektronen

2 Der Einfluss der Messung

2.1 Experiment zur Bestimmung des vom Elektron passierten Spalts 2.2 Die Problematik des Messprozesses in der Quantenmechanik 2.3 Alternativen und Unschärferelation

3 Die Wahrscheinlichkeitsamplitude

3.1 Die Struktur der Wahrscheinlichkeitsamplitude 3.2 Der Zerlegungssatz 3.3 Vergleich mit der klassischen Mechanik 3.4 Die explizite Form der Übergangsamplitude 3.5 Phasenraumdarstellung des Propagators 3.6 Der Propagator eines freien Teilchens 3.7 Energiedarstellung des Propagators 3.8 Der Propagator einer Punktmasse in drei Dimensionen

4 Die Wellenfunktion

4.1 Wellenfunktion und Übergangsamplitude 4.2 Die Wellenfunktion des freien Teilchens 4.3 Wellenpakete 4.4 Materiewellen 4.5 Erwartungswerte und Unschärfe 4.6 Der Impulsraum 4.7 Messgrößen als Operatoren

5 Der klassische Grenzfall

5.1 Die stationäre Phasenapproximation 5.2 Asymptotische Darstellung der δ-Funktion 5.3 Der klassische Grenzwert des Propagators 5.4 Die Bohr-Sommerfeld’sche Quantisierungsbedingung 5.5 Die Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich 5.6 Beweis der Poisson-Formel

6 Unendlich große Potenzialsprünge

6.1 Die unendlich hohe Potenzialkante

6.1.1 Der Propagator bei Anwesenheit einer unendlich hohen Potenzialwand 6.1.2 Interpretation des Propagators: die Spiegelladungsmethode

6.2 Der unendlich hohe Potenzialtopf

6.2.1 Bestimmung des Propagators mittels der Spiegelladungsmethode 6.2.2 Physikalische Interpretation des Propagators: Energieeigenzustände

7 Die Schrödinger-Gleichung

7.1 Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 7.2 Stationäre Lösungen der Schrödinger-Gleichung 7.3 Das Ehrenfest-Theorem

7.3.1 Die Zeitentwicklung von Erwartungswerten 7.3.2 Beispiele 7.3.3 Analogie zur klassischen Mechanik 7.3.4 Der quantenmechanische Virialsatz

7.4 Die Schrödinger-Gleichung als Euler-Lagrange-Gleichung 7.5 Die Kontinuitätsgleichung: Teilchendichte und Stromdichte 7.6 Grenzflächenverhalten der Wellenfunktion

7.6.1 Motivation von Potenzialsprüngen 7.6.2 Verhalten der Wellenfunktion an Potenzialsprüngen 7.6.3 Grenzflächenverhalten der Wellenfunktion in drei Dimensionen

8 Die eindimensionale stationäre Schrödinger-Gleichung

8.1 Qualitative Diskussion der Wellenfunktion: gebundene Zustände 8.2 Die Wellenfunktion in Abhängigkeit von der Energie 8.3 Strenge Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung 8.4 Symmetrische Potenziale: die Parität 8.5 Der unendlich hohe Potenzialtopf 8.6 Das δ-Potenzial

9 Eindimensionale Streuprobleme

9.1 Streuung an einer Potenzialstufe

9.1.1 Streuzustände 9.1.2 Transmission und Reflexion 9.1.3 Teilchenenergie unterhalb der Potenzialschwelle

9.2 Streuung am Potenzialtopf

9.2.1 Streuzustände 9.2.2 Resonanzen

9.3 Gebundene Zustände im endlichen Potenzialtopf

9.3.1 Transmissionskoeffizienten für gebundene Zustände 9.3.2 Die gebundenen Zustände des endlichen Potenzialtopfes

9.4 Die Potenzialbarriere

9.4.1 Quantentunnelung durch die Potenzialbarriere 9.4.2 Interpretation der Quantentunnelung mittels der Unschärferelation 9.4.3 Große Potenzialbarrieren 9.4.4 Kontinuierliche Potenzialberge 9.4.5 Allgemeine Form des Transmissionskoeffizienten

9.5 Pfadintegralberechnung des Transmissionskoeffizienten 9.6 Feldemission von Elektronen

10 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

10.1 Der Hilbert-Raum 10.2 Operatoren im Hilbert-Raum 10.3 Matrixdarstellung linearer Operatoren 10.4 Die Dirac-Notation 10.5 Eigenschaften hermitescher Operatoren 10.6 Projektionsoperatoren 10.7 Das Tensorprodukt

11 Axiomatische Quantenmechanik

11.1 Grundpostulate der Quantenmechanik 11.2 Verträglichkeit von Observablen 11.3 Präparation eines Quantensystems 11.4 Allgemeine Unschärferelation 11.5 Minimum der Unschärfe

12 Der harmonische Oszillator

12.1 Pfadintegralbehandlung des harmonischen Oszillators 12.2 Der Quantenoszillator 12.3 Algebraische Diagonalisierung des Hamilton-Operators 12.4 Der Besetzungszahloperator 12.5 Das Spektrum des harmonischen Oszillators 12.6 Unschärferelation 12.7 Besetzungszahldarstellung 12.8 Ortsdarstellung der Energieeigenfunktionen: Die Hermite-Polynome 12.9 Der dreidimensionale harmonische Oszillator 12.10 Das unendlich schwere Teilchen 12.11 Kohärente Zustände

13 Periodische Potenziale: das Bändermodell des Festkörpers

13.1 Der Translationsoperator 13.2 Das Bloch’sche Theorem 13.3 Qualitative Beschreibung der Energiebänder 13.4 Strenge quantenmechanische Behandlung des periodischen Potenzials

13.4.1 Periodische Randbedingungen 13.4.2 Bestimmung der Energieeigenzustände 13.4.3 Energiebänder 13.4.4 Metalle, Isolatoren und Halbleiter

14 Drehimpuls und Spin (Heuristische Behandlung)

14.1 Einführung 14.2 Geometrische Interpretation von Drehimpuls und Spin 14.3 Physikalische Konsequenzen des geometrischen Bildes vom Drehimpuls

15 Der Drehimpuls

15.1 Einführung 15.2 Die Eigenwerte des Drehimpulses 15.3 Geometrische Interpretation des Drehimpulses 15.4 Matrixdarstellung 15.5 Die Eigenfunktionen des Drehimpulses im Ortsraum

15.5.1 Der Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten 15.5.2 Konstruktion der Drehimpulseigenfunktionen

15.6 Zusammenhang mit den Legendre-Funktionen 15.7 Vektoraddition von Drehimpulsen 15.8 Explizite Konstruktion der gekoppelten Drehimpulseigenzustände

16 Axialsymmetrische Potenziale

16.1 Die kinetische Energie in Zylinderkoordinaten 16.2 Die Schrödinger-Gleichung für axialsymmetrische Potenziale 16.3 Die Zylinderfunktionen 16.4 Die zylindrische Box 16.5 Der zweidimensionale rotationssymmetrische Oszillator

16.5.1 Algebraische Diagonalisierung des Hamilton-Operators 16.5.2 Analytische Lösung der Schrödinger-Gleichung

17 Kugelsymmetrische Potenziale (Zentralpotenziale)

17.1 Die kinetische Energie in Kugelkoordinaten 17.2 Kugelsymmetrische Potenziale 17.3 Bindungszustände: Grenzverhalten der Radialfunktion 17.4 Radialwellenfunktion des freien Teilchens

17.4.1 Die sphärischen Bessel-Funktionen 17.4.2 Entwicklung der ebenen Wellen nach Kugelfunktionen 17.4.3 Kugelwellen

17.5 Die sphärische Box 17.6 Der dreidimensionale isotrope harmonische Oszillator

17.6.1 Lösung der Radialgleichung 17.6.2 Energiespektrum 17.6.3 Wellenfunktionen

18 Das Wasserstoffatom

18.1 Das Zweikörperproblem: Separation in Schwerpunkts- und Relativbewegung 18.2 Qualitative Beschreibung 18.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung 18.4 Spektrum des Wasserstoffatoms 18.5 Die Wellenfunktionen 18.6 Algebraische Bestimmung des Wasserstoffspektrums

18.6.1 Der Runge-Lenz-Vektor 18.6.2 Verallgemeinerte Drehimpulsalgebra und Energieeigenwerte

18.7 Warum das Coulomb-Problem exakt lösbar ist

18.7.1 Einbettung des ℝ3 in den vierdimensionalen Raum 18.7.2 Transformation der Schrödinger-Gleichung

19 Algebraischer Zugang zur Quantenmechanik

19.1 Bestimmung des Spektrums 19.2 Beziehung zur Schrödinger-Gleichung 19.3 Algebraische Lösung der Schrödinger-Gleichung

19.3.1 Der harmonische Oszillator 19.3.2 Reflexionsfreie Potenziale

19.4 Algebraische Bestimmung des Wasserstoffspektrums

20 Störungstheorie

20.1 Stationäre Störungstheorie 20.2 Störungstheorie für zwei dicht benachbarte Niveaus 20.3 Anwendung der Störungstheorie: Grundzustandsenergie des Heliumatoms

21 Das Ritz’sche Variationsverfahren

21.1 Variationsverfahren zur Berechnung der Energieeigenzustände 21.2 Beispiele zum Ritz’schen Variationsverfahren

21.2.1 Der harmonische Oszillator 21.2.2 Der Grundzustand des Wasserstoffatoms 21.2.3 Variationsabschätzung der Helium-Grundzustandsenergie

21.3 Allgemeines Variationsprinzip

22 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

22.1 Klassische Ladungen im äußeren elektromagnetischen Feld 22.2 Quantenmechanische Ladungen im äußeren elektromagnetischen Feld

22.2.1 Hamilton-Operator der Punktladung 22.2.2 Eichinvarianz

22.3 Ladung im homogenen Magnetfeld

22.3.1 Der Zeeman-Effekt

22.4 Die Landau-Niveaus

22.4.1 Eichinvariante Diagonalisierung des Hamiltonian 22.4.2 Diagonalisierung des Hamiltonian in der Coulomb-Eichung 22.4.3 Ausdehnung und Besetzung der Landau-Niveaus

22.5 Zur Rolle des Eichpotenzials in der Quantenmechanik 22.6 Ableitung des Hamilton-Operators einer Punktladung

A Die Dirac’sche δ-Funktion

A.1 Definition und Realisierungen A.2 Eigenschaften A.3 Ableitung, Stammfunktion und Hauptwert A.4 Mehrdimensionale δ-Funktion

B Gauß-Integrale C Funktionen von Operatoren

C.1 Definition C.2 Variation C.3 Nützliche Operatoridentitäten C.4 Die Green’sche Funktion des Laplace-Operators im ℝn

D Basiselemente der Variationsrechnung

D.1 Definition von Funktionalen und ihren Variationsableitungen D.2 Regeln der Variationsableitung D.3 Funktional über einen Hilbert-Raum

Stichwortverzeichnis

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