Log In
Or create an account ->
Imperial Library
Home
About
News
Upload
Forum
Help
Login/SignUp
Index
Cover
Mathematisch für Anfänger,2. Auflage
ISBN 9783827428523
Vorwort
Aus dem Vorwort zur 1. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Teil I: Beweise und Beweistechnik
1 Was ist Mathematik?
1.1 Ausgewählte Antworten
1.2 Zusammenfassung
1.3 Empfehlenswerte Bücher
2 Mathematisch für Anfänger
Einführung
2.1 Lektion 1: Vom Wort zum Satz
2.2 Lektion 2: Universelles Vokabular
2.3 Lektion 3: Prädikate
2.4 Lektion 4. Konjunktionen (Überleitungen)
2.5 Lektion 5: Schlussworte, Schlusspunkte
3 Beweise, immer nur Beweise
3.1 Beweisen lernen
3.2 Der Zweck der Übungen
3.3 Unterscheide wahr und falsch
3.4 Einige Gebote und Verbote
3.5 Mathematik ist Struktur
3.6 Mathematik für und durch die Praxis
3.7 Und wie lernt man beweisen?
4 Die Beweisverfahren
4.1 Der direkte Beweis
4.1.1 Einfache Zahlentheorie
4.1.2 Aussagenlogik
4.1.3 Gesetze der Aussagenlogik
4.1.4 Mengenlehre
4.1.5 Fakultät und Binomialkoe zient
4.2 Der indirekte Beweis
4.2.1 Wurzel aus 2 ist nicht rational.
4.2.2 Es gibt unendlich viele Primzahlen
4.3 Der konstruktive Beweis
4.3.1 Nullstelle einer Funktion
5 Das Prinzip der vollständigen Induktion
5.1 Wer hat die vollständige Induktion erfunden?
5.2 Ist Induktion nur für Folgen und Reihen?
5.3 Wie funktioniert die vollständige Induktion?
5.4 Kann man sich auf die vollständige Induktion verlassen?
5.5 Kann man wirklich den Induktionsschluss unendlich oft anwenden?
5.6 Kann man Induktion immer anwenden?
5.7 Induktion ist nicht geeignet, wenn . . .
5.8 Was ist schwer an der vollständigen Induktion?
5.9 Anwendungen der vollständigen Induktion
5.9.1 Geometrie
5.9.2 Mengenlehre
5.9.3 Binomialkoeffizienten
5.9.4 Geometrisches und arithmetisches Mittel
5.9.5 Summenformeln
5.9.6 Abschätzungen
5.9.7 Teilbarkeit
5.9.8 Zahlentheorie
5.9.9 Rekursiv definierte Folgen
5.9.10 Eindeutigkeitsbeweis
5.10 Zum Schluss
6 Der unendliche Abstieg
6.1 Einführung
6.2 v2 ist irrational
6.2.1 Das übliche Verfahren
6.2.2 v2 ist irrational mit unendlichem Abstieg
6.3 Diskussion der Methode
6.3.1 Ist auch v9 irrational?
6.3.2 Ist die Wurzel aus 5 irrational?
6.3.3 Die Wurzel einer Nicht-Quadratzahl ist irrational
6.4 Inkommensurable Längen im Fünfeck
7 Über das Auswahlaxiom
7.1 Das Auswahlproblem
7.2 Das Auswahlaxiom
7.3 Wohlordnung
7.4 Lemma von Zorn
7.5 Äquivalenz der Aussagen
8 Das Kugelwunder
8.1 Einleitung
8.2 Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern
8.3 Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre
8.4 Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel
8.5 Abschluss
Teil II: Lineare Algebra
9 Lineare Algebra für absolute Anfänger
9.1 Einführung
9.2 Vektorräume
9.3 Untervektorräume
9.4 Lineare Unabhängigkeit
9.5 Schluss
10 Lineare Gleichungssysteme
10.1 Einführung
10.2 Lineare Gleichungssysteme: Was ist das?
10.2.1 Einführendes Beispiel
10.2.2 Definitionen
10.2.3 Darstellung mit Matrizen
10.3 Lösung linearer Gleichungssysteme
10.3.1 Der Gaußsche Algorithmus
10.3.2 Beispiel 1: Eindeutige Lösung
10.3.3 Beispiel 2: Keine Lösung
10.3.4 Beispiel 3: Unendlich viele Lösungen
10.4 Rangbestimmung einer Matrix
11 Lineare Abbildungen und ihre darstellenden Matrizen
11.1 Einführung
11.2 Lineare Abbildungen
11.3 Bild und Kern einer linearen Abbildung
11.4 Dimensionsformel und weitere Eigenschaften
11.5 Lineare Abbildung am Beispiel
11.6 Darstellungen linearer Abbildungen am Beispiel
11.7 Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen
11.8 Berechnung einer Darstellungsmatrix am Beispiel
11.9 Abbilden mit einer darstellenden Matrix
11.10 Beispiel zum Basiswechsel
12 Determinanten
12.1 Einführung
12.2 Determinante: Was ist das?
12.3 Spezialfälle
12.3.1 Der Fall n =1
12.3.2 Der Fall n =2
12.3.3 Der Fall n =3
12.4 Der allgemeine Fall
12.5 Praktische Berechnung von Determinanten
12.5.1 Der Gaußsche Algorithmus
12.5.2 Die Laplacesche Entwicklungsformel
13 Diagonalisierbarkeit
13.1 Einführung
13.2 Diagonalisierbarkeit: Was ist das?
13.3 Eigenwerte und Eigenvektoren
13.4 Eigenwerte und Eigenvektoren am Beispiel
13.5 Diagonalisierbarkeitskriterien
13.6 Eine praktische Anwendung
Teil III: Analysis
14 Die Standardlösungsverfahren für Polynomgleichungen
14.1 Lineare Gleichungen
14.2 Quadratische Gleichungen
14.3 Gleichungen dritten und vierten Grades
14.4 Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
14.4.1 n-te Wurzeln
14.4.2 Biquadratische Gleichung
14.4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
14.4.4 Ein Spezialfall des Wurzelziehens
14.4.5 Binom-Gleichungen
14.4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern
14.4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
14.5 Seltene Lösungsmethoden und Approximationen
14.5.1 Methode des Quadrat-Extrems
14.5.2 Die Newton-Iteration
14.5.3 Regula falsi
14.5.4 Das allseits beliebte Raten
14.5.5 Das "höhere Raten"
14.5.6 Symmetrische Koeffizienten
14.6 Abschluss
15 Differentialgleichungen
15.1 Einführung
15.2 Klassifikation vor der Lösung
15.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
15.3.1 Einfachstes Beispiel
15.3.2 Homogene Gleichung
15.3.3 Inhomogene Gleichung
15.4 Die Probe machen
15.5 Nichtlineare Differentialgleichungen
15.5.1 Trennung der Veränderlichen
15.5.2 Substitution
15.5.3 Bernoulli-Differentialgleichung
15.5.4 Riccati-Differentialgleichung
15.5.5 Exakte Differentialgleichung
15.5.6 Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)
15.5.7 Parametrisierung
15.5.8 Clairaut-Differentialgleichung
15.5.9 d' Alembert-Differentialgleichung
15.6 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
15.6.1 Konstante Koeffizienten
15.6.2 Eulersche Differentialgleichung
16 Die Beziehungen von Sinus und Cosinus
16.1 Additionstheoreme
16.2 Multiplikationstheoreme
16.3 Theoreme zu doppelten und halben Winkeln
16.4 Theoreme mit Arcus-Funktionen
16.5 Alternative Herleitungen mit komplexen Zahlen
16.5.1 Additionstheoreme
16.5.2 Weitere Beziehungen
17 Doppelintegrale
17.1 Einführung
17.2 Doppelintegral über einem Rechteck
17.3 Doppelintegral über einem allgemeineren Bereich
17.4 Eigenschaften und Mittelwertsätze
17.5 Koordinatentransformation
17.6 Polarkoordinaten
18 Kurvenintegrale
18.1 Begriffe und Definitionen
18.2 Kurvenlänge
18.3 Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge
18.4 Kurvenintegral über ein Vektorfeld
18.5 Eigenschaften der Kurvenintegrale
18.6 Kurvenintegrale über Gradientenfeldern
19 Oberflächenintegrale
19.1 Einführung
19.2 Oberflächeninhalt
19.3 Oberflächenintegrale einer skalaren Funktion
19.4 Flussintegrale
20 Eulers Berechnungen der Zetafunktion
21 Die Riemannsche Vermutung
21.1 Die Riemannsche Zetafunktion
21.1.1 Meromorphe Fortsetzung
21.1.2 Die Nullstellen
21.1.3 Die Vermutung
21.2 Die Primzahlfunktion
21.2.1 Die Eulersche Produktentwicklung
21.2.2 Die Primzahlfunktion
21.2.3 Die Jagd auf die Schwelle
21.2.4 Die Beweisideen
22 Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel
22.1 Vorbereitungen
22.2 Kompaktheit in normierten Räumen
22.3 Der Satz von Montel
22.4 Abschluss
23 Geometrie in der Teetasse
Literaturverzeichnis
Index
← Prev
Back
Next →
← Prev
Back
Next →